重难专题07 将军饮马之一点两线与两点两线模型(解析版)

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题07 将军饮马之一点两线与两点两线模型
一、一点两线模型
条件：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小。

结论：作点P关于OA，OB的对称点P'，P"，连接P'P"，分别交OA，OB于点M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为P'P"的长。

二、两点两线模型
条件：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小
结论：作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'，交OA，OB于点M，N，此时四边形PQNM 周长最小，最小值为P'Q'+PQ。

如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是 ．
【答案】3cm
【分析】分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、，当点M 、N 在CD 上时，PMN V 的周长最小．
【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．
∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，
∴PM CM OP OC COA POA ==Ð=Ð，，；
∵点P 关于OB 的对称点为D ，
∴PN DN OP OD DOB POB ==Ð=Ð，，，
∴3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴COD △是等边三角形，
∴()3cm CD OC OD ===．
∴PMN V 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++³=．故答案为：3cm ．
（1）如图1，在直线AB 的同一侧有两点C ，D ，在AB 上找一点P ，使C ，D ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出E ，F 两点．
（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M ，N ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，M ，N 四点组
成的四边形的周长最短，找出E ，F 两点．（显示找点的过程）
【分析】（1）由于PCD D 的周长PC CD PD =++，而CD 是定值，故只需在直线AB 上找一点P ，使PC PD +最小．如果设C 关于直线AB 的对称点为C ¢，使PC PD +最小就是使PC PD ¢+最小；
（2）作P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 角OA 、OB 于E 、F ．此时PEF D 周长有最小值；（3）如图3，作M 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E ，OB 于F ，此时使得E 、F 、M 、N ，四点组成的四边形的周长最短．
【详解】解：（1）如图1，作C 关于直线AB 的对称点C ¢，
连接C D ¢交AB 于点P ．
则点P 就是所要求作的点．
理由：在AB 上取不同于P 的点P ¢，连接CP ¢、DP ¢、C P ¢¢．
C Q 和C ¢关于直线l 对称，
PC PC \=¢，P C P C ¢=¢¢，
而C P DP C P DP ¢+<¢¢+¢，
PC DP CP DP \+<¢+¢
CD CP DP CD CP DP \++<+¢+¢
即CDP D 周长小于CDP D ¢周长；
（2）如图2，作P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E ，OB 于F ，连接PC ，PD ，则点E ，F 就是所要求作的点，
理由：在OA ，OB 上取不同于E ，F 的点E ¢，F ¢，连接CE ¢、E P ¢、PF ¢、DF ¢，E F ¢¢，
C Q 和P 关于直线OA 对称，
D 和P 关于直线OB 对称，
PE CE \=，CE PE ¢=¢，PF DF =，PF DF ¢=¢，
PE EF PF CE EF DF \++=++，PE PF E F CE E F DF ¢+¢+¢¢=¢+¢¢+¢，
CE EF DF CE E F DF ++<¢+¢¢+¢Q ，
PE EF PF PE E F PF \++<¢+¢¢+¢；
（3）如图3，作M 关于OA 的对称点C ，作N 关于OB 的对称点D ，连接CD ，交OA 于E ，OB 于F ，则点E ，F 就是所要求作的点．连接MC ，ND ．
理由：在OA ，OB 上取不同于E ，F 的点E ¢，F ¢，连接CE ¢、E F ¢¢，DF ¢，
C Q 和M 关于直线OA 对称，
ME CE \=，CE ME ¢=¢，NF DF =，NF DF ¢=¢，
由（2）得知MN ME EF NF MN ME E F F D +++<+¢+¢¢+¢．
一、单选题
1．如图，若∠AOB=44°，P 为∠AOB 内一定点，点M 在OA 上，点N 在OB 上，当△PMN 的周长取最小值时，∠MPN 的度数为( )
A ．82°
B ．84°
C ．88°
D ．92°
【答案】D 【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接12PP
交OA 于M ，交OB 于N ，PMN V 的周长的最小值为12PP 长度，然后依据等腰等腰12OPP
V 中，12211802OPP OP P AOB Ð+Ð=°-Ð，即可得出1802MPN AOB Ð=°-Ð，代入求解即可．
【详解】解：如图所示：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接12PP
交OA 于M ，交OB 于N ，
∴12OP OP OP ==，1
OPM MPO Ð=Ð，2NPO NP O Ð=Ð，根据轴对称的性质可得1
MP PM =，2PN P N =，∴PMN V 的周长的最小值为12PP 长度，
由轴对称的性质可得122POP AOB Ð=Ð，
∴等腰12OPP V 中，
1221121801802OPP OP P POP AOB Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，
∴1
2MPN OPM OPN OPM OP N Ð=Ð+Ð=Ð+Ð1221OPP OP P =Ð+Ð，
1802AOB =°-Ð，
92=°，
故选：D ．
2．如图所示，点P 为O Ð内一定点，点A ，B 分别在O Ð的两边上，若PAB D 的周长最小，则O Ð与APB Ð
的关系为（ ）
A ．2O APB
Ð=ÐB ．2O APB Ð=ÐC ．180O APB Ð+Ð=°
D ．2180O APB Ð+Ð=°
【答案】D 【分析】作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB D 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称的性质可知△OP P ¢¢¢是等腰三角形，所以2P OP AOP ¢¢¢=Ð，推出180180222
P OP AOB P P ¢¢¢°-а-Т¢¢Ð=Ð==，所以1802APB P P AOB ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°-Ð，即得出答案．【详解】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，
连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，
此时PAB D 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，
由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，
2P OP AOP ¢¢¢\Ð=Ð，
180180222
P OP AOB P P ¢¢¢°-а-Т¢¢\Ð=Ð==，1802APB P P AOB ¢¢¢\Ð=Ð+Ð=°-Ð，
即2180O APB Ð+Ð=°，
故选：D ．
3．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB =40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当
V PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
A ．140 °
B ．100°
C ．80°
D ．50°
【答案】B 【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连P 1、P 2，交OA 于M ，交OB 于N ，△PMN 的周长＝P 1P 2，然后得到等腰△OP 1P 2中，∠OP 1P 2＋∠OP 2P 1＝100°，即可得出∠MPN ＝∠OPM ＋∠OPN ＝∠OP 1M ＋∠OP 2N ＝100°．
【详解】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 于M ，交OB 于N ，
则OP 1＝OP ＝OP 2，∠OP 1M ＝∠MPO ，∠NPO ＝∠NP 2O ，
根据轴对称的性质，可得MP ＝P 1M ，PN ＝P 2N ，则
△PMN 的周长的最小值＝P 1P 2，
∴∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝80°，
∴等腰△OP 1P 2中，∠OP 1P 2＋∠OP 2P 1＝100°，
∴∠MPN ＝∠OPM ＋∠OPN ＝∠OP 1M ＋∠OP 2N ＝100°，
故选：B ．
4．如图，在ABC V 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(,0)m 、(0,2)和(5,3)，则当ABC V 的周长最小时，m 的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
V的周长最小，由等腰直角三角【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时ABC
形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
5．在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小Ð=( )
值为6 cm，则ABC
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【分析】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，根据轴对称关系得到BG=BD=BH=6cm，又由△DEF的周长
=DE+DF+EF=GH=6cm，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC的度数.
【详解】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，
由轴对称得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，
∴△BGH是等边三角形，
∴∠GBH=60°，
∴∠ABC=1
∠GBH=30°，
2
故选：C.
6．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF
的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，
∴FM⊥AC，
∴∠CFE ′=90°，
故选D ．
二、填空题
7．如图，30AOB Ð=°，点P 为AOB Ð内一点，10OP =．点M 、N 分别在,OA OB 上．当△PMN 周长最小时，下列结论：①MPN Ð等于120°；②MPN Ð等于110°；③MPN Ð等于100°；④PMN V 周长最小值是5：⑤PMN V 周长最小值是10；⑥PMN V 周长最小值是15．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①⑤
【分析】分别作点P 关于,OA OB 的对称点12,P P ，连接12,P P ，交OA 于M ，交OB 于N ，可得PMN V 的周长的最小值12PP =，然后证明12OPP
V 是等边三角形，即可求解．【详解】解：分别作点P 关于,OA OB 的对称点12,P P ，连接12,P P ，交OA 于M ，交OB 于N ，则
121210,,OP OP OP POA POA POB P OB ==Ð=Ð=Ð=Ð，1
2,MP PM PN P N ==，
∴1212
PM PN MN PM P N MN PP ++=++³即PMN V 的周长的最小值12PP =，
∵30AOB Ð=°，
∴12260POP AOB Ð=Ð
=°，∴12OPP V 是等边三角形，
∴12120MPN OPM OPN OPM OP N Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，121210PP OP OP OP ====，
即PMN V 的周长的最小值为10，
∴①⑤正确，
故答案为：①⑤．
8．如图，30AOB Ð=°，M ，N 分别为射线OA ，OB 上的动点，P 为AOB Ð内一点，连接PM ，PN ，MN ．若5OP =，则PMN △周长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】首先分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA ，OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM ，PN ，易得OCD V 是等边三角形，且此时CD 的长即为PMN △周长的最小值，继而求得答案．
【详解】解：如图所示：分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA ，OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM ，PN ，
∵点P 关于OA 的对称点为点C ，
PM CM \=，OP OC =，COA POA Ð=Ð；
∵点P 关于OB 的对称点为点D ，
PN DN \=，OP OD =，DOB POB Ð=Ð，
5OC OD OP \===，223060COD AOB Ð=Ð=´°=°，
OCD \△是等边三角形，
5CD OC \==，
PMN \△的周长为：
5PN PM MN DN CM MN CD ++=++==，
PMN \△周长的最小值为5，
故答案为：5．
9．如图，点P 为AOB Ð内一点，分别作出P 点关于OB 、OA 的对称点1P ，2P ，
连接12PP 交OB 于M ，交OA 于N ，若40AOB Ð=°，则∠MPN 的度数是 ．
【答案】100°
【分析】首先求出1240P P ÐÐ+=°证明2222PNM P NPP P ÐÐÐÐ=+=，1112PMN P MPP P ÐÐÐÐ=+=，
推出12280PNM PMN P P ÐÐÐÐ+=+=°（）
，可得结论．【详解】解：∵P 点关于OB 的对称点是1P ，P 点关于OA 的对称点是2P ，
∴122211
PM PM PN P N P P PN P PPM ÐÐÐÐ====，，，，∵40AOB Ð=°，
∴21140P PP Ð=°，
∴1240P P ÐÐ+=°，
∴2222PNM P NPP P ÐÐÐÐ=+=，1112PMN P MPP P ÐÐÐÐ=+=，
∴24080PMN PNM ÐÐ+=´°=°，
∴180********MPN PMN PNM ÐÐÐ=°-+=°-°=°（），
故答案为：100°．
10．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =5cm ，点M 、N 分别是OB 、OA 边上的点，当△PMN 周长的最小值是5cm 时，则∠AOB = ．
【答案】30°
【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点D 、C ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、
OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，
∠DOA=∠POA，得出∠AOB=1
∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
2
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∠COD，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=1
2
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
三、解答题
11．（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图1所示，诗中大意是将军从山脚下的A点出发，带着马走到河边P点饮水后，再回到
B 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出P 点，使PA PB +的值最小，不说明理由；
（2）实践应用1，如图2，点P 为MON Ð内一点，请在射线OM 、ON 上分别找到两点A 、B ，使PAB V 的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用2：如图3，在ABC V 中，6AC =，8BC =，10AB =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，M 、N 分别是AD 、AC 边上的动点，求CM MN +的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CM MN +的最小值为24
5
【分析】（1）作B 点关于直线(l 小河)的对称点B ¢，连接AB ¢，交l 于P ，则PA PB +最小；
（2）分别作点P 关于OM ，ON 的对称点P ²和P ¢，连接P P ¢²交OM 于A ，ON 于B ，连接PA ，PB ，AB ，则PAB V 的周长最小；
（3）过点C 作CE AD ^，交AB 于CE ，AD 于O ，连接ME ，则CM MN +最小，证明AOC V ≌AOE △，可得OC OE =，6AE AC ==，可证得△COM ≌△EOM ，从而得到当点N ，M ，E 共线时，CM +MN 最小，最小值为EN ，且当EN ⊥AC 时，NE 最小，再根据1122ABC S AC BC AB CF =×=×V ，可得245
CF =，即可求解．【详解】解：（1）如图，作B 点关于直线(l 小河)的对称点B ¢，连接AB ¢，交l 于P ，则PA PB +最小；
理由：根据作法得：PB PB ¢=，
∴PA PB PA PB AB ¢¢+=+³，
∴当点,,A P B ¢共线时，PA PB +最小；
（2）如图2，分别作点P 关于OM ，ON 的对称点P ²和P ¢，连接P P ¢²交OM 于A ，ON 于B ，连接PA ，PB ，AB ，则PAB V 的周长最小；
理由：根据作法得：PB PB ¢=，PA PA ¢
¢=，∴PA PB AB PA PB AB P P ¢¢¢¢¢¢++=++³，
∴当点,,,P A B P ¢
¢¢共线时，PAB V 的周长最小；（3）如图3，过点C 作CE AD ^，交AB 于CE ，AD 于O ，连接ME ，则CM MN +最小，
90AOC AOE \Ð=Ð=°，
AD Q 平分BAC Ð，
CAD BAD \Ð=Ð，
在AOC V 和AOE △中，
CAD BAD AO AO
AOC AOE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî
，AOC \V ≌()AOE ASA V ，
OC OE \=，6AE AC ==，
∵90AOC AOE Ð=Ð=°，OM =OM ，
∴△COM ≌△EOM ，
CM EM \=
，
CM MN EM MN EN \+=+³，
∴当点N ，M ，E 共线时，CM +MN 最小，最小值为EN ，且当EN ⊥AC 时，NE 最小，
过点C 作CF ⊥AB 于点F ，
∵6AC =，8BC =，10AB =，90ACB Ð=°，∴1122
ABC S AC BC AB CF =×=×V ，即11681022
CF ´´=´´，解得：245CF =
，∵1122AEC S AC NE AE CF =
×=×V ，245
EN \=，∴CM MN +的最小值为
245．12．如图，直线m 是ABC V 中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点，若6AB =，4AC =，7BC =．
(1)求PA PB +的最小值，并说明理由．
(2)求APC △周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B ，故当点P 与点D 重合时，AP +CP 值的最小，求出AB 长度即可得到结论．
【详解】（1）解：当A ,B ,P 三点共线时，PA +PB 最小短
6PA PB AB +==；
原因：两点之间，线段最短．
（2）∵直线m 是BC 的垂直平分线，点P 在m 上，
∴点C 关于直线m 的对称点是点B ，
则PB PC =，
∵APC C AP PC AC =++△，
∵4AC =，
要使APC △周长最小，
即AP PC +最小，
当点P 是直线m 与AB 的交点时，PA PB +最小，
即PA PB AB +=，此时6410ARC C AB AC =+=+=△．
13．已知：如图，V ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，E 是AC 上的一点，∠ABE ＝13
∠ABC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于点P ．
(1)直接写出图中除V ABC 外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD ＝1
2PC ；
(3)点H 、G 分别为AC 、BC 边上的动点，当V DHG 周长取取小值时，求∠HDG 的度数．
【答案】(1)△ADC ，△CPE ，△BCE 都是等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)45°
【分析】（1）△ADC ，△CPE ，△BCE 都是等腰三角形，分别证明∠BEC =∠ACB =67.5°，∠A =∠ACD =45°，∠CPE =∠CEP =67.5°，可得结论；
（2）在线段DA 上取一点H ，使得DH =DB ，连接CH ，利用全等三角形的性质证明BH =EC ，可得结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．
【详解】（1）解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB =1
2
(180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝1
3
∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除V ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴
11
22
BD BH PC
==；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=1
2
∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M =∠GDM ，∠F =∠HDF ，
∵∠DGH =∠M +∠GDM =2∠M ，∠DHG =∠F +∠HDF =2∠F ，
∴∠DGH +∠DHG =2(∠M +∠F )=135°，
∴∠GDH =180°-(∠DGH +∠DHG )=45°．
14．已知点P 在∠MON 内．
（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ．①若∠MON =50°，则∠GOH =______；
②若PO =5，连接GH ，请说明当∠MON 为多少度时，GH =10；
（2）如图2，若∠MON =60°，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当V PAB 的周长最小时，求∠APB 的度数．
【答案】（1）①100°；②当90MON Ð=°时，10GH =；（2）60APB Ð=°
【分析】（1）①根据对称性可得OG OP OM GP =^，，即可得到OM 平分POG Ð，ON 平分ÐPOH ，进而得出∠GOH 的值；
②当90MON Ð=°时，180GOH Ð=°，此时G O H ，，在同一直线上，可得=10GH GO HO +=；（2）设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P P ¢¢¢，，当点A 、B 在P P ¢¢¢上时，V PAB 周长的最小，根据轴对称的性质，可求出APB Ð的度数．
【详解】解：（1）①P Q 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，
OG OP OM GP \=^，，
OM \平分POG Ð，
同理得，ON 平分ÐPOH ，
=2250100GOH MON \ÐÐ=´°=°，
故答案为：100°；
②P Q O =5，
5
GO HO \==当90MON Ð=°时，180GOH Ð=°
G O H \，，在同一直线上，
=10GH GO HO \+=；
（2）如图，分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P P ¢¢¢，，连接OP OP P P P P ¢¢¢¢¢¢¢¢¢、、，交OM ON 、于点A 、B ，连接PA ，PB ，
则AP =AP BP BP ¢¢¢=，，此时V PAB 周长的最小值等于P P ¢¢¢的长，
由对称性可得，==,OP OP OP P OA POA P OB POB ¢¢¢¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð，，
2260120P OP MON ¢¢¢\Ð=Ð=´°=°
(180120)230OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°¸=°
30OPA OP A ¢\Ð=Ð=°
同理可得30BPO OP B ¢¢Ð=Ð=°
303060APB \Ð=°+°=°．。