2020年江苏省连云港市海陵中学高二数学理测试题含解析

2020年江苏省连云港市海陵中学高二数学理测试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某公园有一个露天剧场，其场地呈正六边形，如图所示，若阴影部分可以放200个座位，则整个场地估计可以坐（）个观众
A．400 B．500 C．550 D．600
参考答案：
D
设整个场地估计可以坐个观众，由题意及随机模拟的方法可得
，解得。

即整个场地估计可以坐个观众。

选D。

2. 直角坐标化为极坐标可以是( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
3. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为、，
直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为．求点M的轨迹方程”时，将其
中的已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如
下图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论错误的是
A．时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）
D．时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）
参考答案：
D
B
略
5. 抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）
A．4 B．C．D．8
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直
线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，
经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），
AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），
∴△AKF的面积是4
故选C．
6. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线
经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴
长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆
壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（）
A． B． C．
D．以上答案均有可能
参考答案：
D
7. 有一段演绎推理是这样的：“幂函数在(0,+∞)上是增函数；已知是幂函数；则
在(0,+∞)上是增函数”，其结论显然是错误的，这是因为（）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
参考答案：
A
【分析】
分别判断大前提、小前提、以及推理形式是否正确即可.
【详解】因为“幂函数在上是增函数”是错误的，
所以得到结论错误，结论错误的原因是大前提错误，故选A.
【点睛】本题主要考查三段论的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 8. 已知函数在区间(0,2)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
9. 下列选项中，的一个充分不必要条件的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
选项A中，当时，成立，但不成立，故A不正确；
选项B中，由可得，故一定成立，反之不成立，故B正确；
选项C中，当时，成立，但不成立，故C不正确；
选项D中，由得，但不一定成立，故D不正确。

综上选项B正确。

选B。

10. 已知是等比数列，，则=……( )
A. （）
B. （）
C. 16（）
D. 16
（）
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面上画条直线,且任何两条直线都相交,任何三条直线都不共点.设这条直线将平面分成个部分,则= .
参考答案：
12. 已知a＝(4,－3), b＝(0,1),则a在b方向上的投影为 .
参考答案：
－3
13. 观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.
参考答案：
.
14. 当时，两条直线、的交点在象限．
参考答案：
二解析：
15. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由
1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个．
参考答案：
12
略
16. （1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数为．
参考答案：
﹣196
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：（1+x）2（x﹣）7=（1+2x+x2），
（x﹣）7的展开式中的通项公式：T r+1=x7﹣r=（﹣2）r x7﹣2r，
分别令7﹣2r=3，2，1，
可得r=2，无解，3．
∴T3=4x3=84x3，T4=﹣8x=﹣280x，
∴（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数=﹣280×1+84=﹣196．
故答案为：﹣196．
17. 在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是．
参考答案：
﹣1
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离等于r?sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．
【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离等于r?sin45°=×4=2，
再利用点到直线的距离公式可得=2，
∴a=﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，)和动点Q（m，n）都在离心率
为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．
①若m=﹣1，求点T的坐标；
②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；
（2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：
，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利
用斜率公式可知：k QT=，直线QT的方程为，即
，
直线QT过定点（1，0）．
【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，
∴a=2c，，
∵点在椭圆上，
∴，
解得：c=1，
∴，
∴椭圆C的标准方程为；…
（2）①设，其中0＜t＜2，
∵|QT|=2，
∴，
即，（*）…（7分）
∵点Q（m，n）在椭圆上，
∴，则，代入（*）式，
得，，
∴或，
∵0＜t＜2，
∴，…（9分）
∴，
由题意，m=﹣1，
∴，
∵n＞0，
∴，
则T点坐标，…（11分）
②证明：由①可知，，
∴直线QT的斜率，…（13分）
∴直线QT的方程为，
即，
∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
19. （本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）由得 -------------------2分
∴ -------------------4分
（2）对x∈[1,+ ）恒成立
∴ -------------------------------------6分
令 ----------------------------------8分
当时， ---------------------------10分
∴ ------------------------------------------12分
（注:分类讨论解法酌情给分）
20. （本小题满分14分）已知，函数
（1）求的单调区间；
（2）若关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（1）函数的定义域，
∴由得：，由得：
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）∴ 当时，
由（1）知，单调递减；，单调递增
所以，有最小值
又，
，有最大值
作出函数在的图像与直线，显然，当且仅当
或时函数的图像与直线有且只有一个交点，方程有且只有一个实数解。

故的取值范围是
……………10分
略
21. 甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲胜的概率．
参考答案：
由题意知“甲胜”意味着两次取出的都是红球，因为袋里有3红1白四个球，把3个红球记为a1，a2，a3,1个白球记为b，两次取球的不同结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种情况，
其中“两次取出的都是红球”的不同结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a3，a1)，(a3，a2)，共6种情况，所以甲胜的概率是P＝＝．
22. 等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{a n}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求S n.
参考答案：
(1)∵S1，S3，S2成等差数列，。