2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算课时作业 新人教A版选修1-1

3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【基础巩固】
1.下列结论
①(sin x)′=-cos x;②()′=;③(log3x)′=;④(ln x)′=.
其中正确的有( B )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
解析:在①中(sin x)′=cos x,在②中()′=-,在③中(log3x)′=,④正确.故选B.
2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于( C )
(A)0 (B)2x (C)6 (D)9
解析:因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.
故选C.
3.函数y=x2sin x的导数为( A )
(A)y′=2xsin x+x2cos x
(B)y′=2xsin x-x2cos x
(C)y′=x2sin x+2xcos x
(D)y′=x2sin x-2xcos x
解析:因为y=x2sin x,
所以y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
故选A.
4.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则其切线方程有( B )
(A)1个 (B)2个
(C)多于两个 (D)不能确定
解析:因为f′(x)=3x2,
所以令3x2=1,得x=±.
所以可得切点坐标为(,)和(-,-).
所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.故有两个切线方程.故选B.
5.(2018·大理高二检测)曲线y=在点(,)处切线的倾斜角为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:由于y=,所以y′=,于是y′=1,
所以曲线在点(,)处的切线的斜率等于1,倾斜角为.故选B.
6.(2018·葫芦岛高二检测)曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )
(A)e2(B)2e2(C)e2(D)
解析:y′=e x,所以y′x=2=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-2),
即y=e2x-e2.
当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.
所以S三角形=×1×|-e2|=.故选D.
7.(2018·大连高二双基检测)已知f(x)=x3+3xf′(0),则f′(1)= .
解析:由于f′(0)是一常数,
所以f′(x)=x2+3f′(0),
令x=0,则f′(0)=0,
所以f′(1)=12+3f′(0)=1.
答案:1
8.求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;
(2)y=(x2+1)(x-1);
(3)y=;
(4)y=.
解:(1)y′=(-ln x)′=()′-(ln x)′=-.
(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′
=(x3)′-(x2)′+x′-1′
=3x2-2x+1.
(3)y′==.
(4)y′==.
【能力提升】
9.(2018·昆明高二质检)设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,(x)=f′n(x),n∈N,则f2 018(x)等于( B )
(A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x
解析:因为f0(x)=sin x,
所以f1(x)=f′0(x)=(sin x)′=cos x,
f2(x)=f′1(x)=(cos x)′=-sin x,
f3(x)=f′2(x)=(-sin x)′=-cos x,
f4(x)=f′3(x)=(-cos x)′=sin x,
所以4为最小正周期,所以f2 018(x)=f2(x)=-sin x.
故选B.
10.(2018·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是( C )
(A)1 (B)(C)1或(D)1或-
解析:因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时,
因为k=f′(0)=2,所以l方程为y=2x,
又l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时, 设切点为(x0,-3+2x0),则k=3-6x0+2,
所以=3-6x0+2,得x0=,
所以k=-,所以l:y=-x.由
得x2+x+a=0,由题意得Δ=-4a=0,所以a=.综上得a=1或a=.故选C.
11.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为.
解析:f′(x)+g′(x)=-sin x+1≤0,所以sin x≥1,
又sin x≤1,所以sin x=1,所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:{x x=+2kπ,k∈Z}
12.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)解:f′(x)=a+.
因为点(2,f(2))在切线7x-4y-12=0上,
所以f(2)==.
又曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
7x-4y-12=0,
所以⇒⇒
所以f(x)的解析式为f(x)=x-.
(2)证明:设(x0,x0-)为曲线y=f(x)上任意一点,
则切线斜率k=1+,切线方程为
y-(x0-)=(1+)(x-x0),
令x=0,得y=-.
由得
所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积
S=|2x0|-=6,为定值.
【探究创新】
13.(2018·武夷山高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
解:设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,
如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x2-12x+16=0,x1+x2=12,
x1x2=16,
所以|AB|=|x1-x2|
=·=·=10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知k AB=.
所以k l==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5.。