山西省大同市高一数学下学期5月月考试卷(含解析)

2016-2017学年山西省大同一高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）
A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M
2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6
3．若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
4．不等式≥2的解集为（）
A． D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
5．已知函数f（x）=，则f=（）
A．cos B．﹣cos C．D．±
6．设函数，则下列结论错误的是（）
A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数
7．函数的值域是（）
A． B． C． D．
8．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
9．已知sin（α一β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），α+β∈（，π），则cos2β的值为（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）
A．B．
C．
D．
11．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的取值范围是（）
A． B．∪（0，3] C．∪（1，4] D．∪
12．已知不等式m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤4 B．1≤m≤4 C．m≥4或m≤0 D．m≥1或m≤0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为°．
14．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．15．已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n= ．
16．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x+a＜0}．
（1）当a=﹣2时，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
19．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．
（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）求|的最大值．
20．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a n}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．
21．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）
（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
22．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{a n}的通项公式；
（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．
2016-2017学年山西省大同一高一（下）5月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）
A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M
【考点】12：元素与集合关系的判断．
【分析】化简M，即可得出结论．
【解答】解：集合M={x|（x﹣1）=0}={1}，∴0∉M，
故选D．
2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据∥，可得﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2，则•=x﹣8，运算求得结果．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），∥，∴﹣4﹣2x=0，∴x=﹣2．
则•=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10，
故选 A．
3．若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
【考点】GC：三角函数值的符号．
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．
4．不等式≥2的解集为（）
A． D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．
【解答】解：⇔⇔⇔
⇔﹣1≤x＜0
故选A
5．已知函数f（x）=，则f=（）
A．cos B．﹣cos C．D．±
【考点】3T：函数的值．
【分析】由已知得f（﹣）=cos（﹣）=cos=，从而f=f（），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣）=cos（﹣）=cos=，
f=f（）==．
故选：C．
6．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函
数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D
【解答】解：A显然正确；
∵=D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）==D（x），
∴T=1为其一个周期，
故C错误；
∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C．
7．函数的值域是（）
A． B． C． D．
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦函数的值域求得原函数的值域．【解答】解：函数
=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故该函数的值域为，
故选：B．
8．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
【考点】H5：正弦函数的单调性．
【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数ω的取值范围．
【解答】解：∵ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则
，
求得≤ω≤，
故选：A．
9．已知sin（α一β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），α+β∈
（，π），则cos2β的值为（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
【考点】GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知求出cos（α﹣β），sin（α+β）的值，再由cos2β=cos，展开两角差的余弦求解．
【解答】解：由sin（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），
α+β∈（，π），
得cos（α﹣β）
=，sin
（α+β）=，
∴cos2β=cos=cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）
=（﹣）×（﹣）+=．
故选：C．
10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）
=a x+b的图象大致为（）
A．B．
C．
D．
【考点】4A：指数函数的图象变换；53：函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．
【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；
根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；
观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，
又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，
又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；
分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；
故选A．
11．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的取值范围是（）
A． B．∪（0，3] C．∪（1，4] D．∪
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈时，f（x）单调递减，
当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；
当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；
∵函数f（x）是定义在上的奇函数，
∴当x∈∪，
故选：B．
12．已知不等式m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤4 B．1≤m≤4 C．m≥4或m≤0 D．m≥1或m≤0
【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】先利用三角函数公式将抽象不等式变为三角不等式，再由三角函数的有界性结合一次函数的性质求参数m的范围，即可选出正确选项．
【解答】解：∵m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0，
∴m2+（cos2θ﹣5）m+4（1﹣cos2θ）≥0；
∴cos2θ（m﹣4）+m2﹣5m+4≥0恒成立
⇔不等式恒成立
⇔m≤0或m≥4，
故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为60 °．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的大小．
【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，
∴sinC=．
又∵0＜C＜90°，
∴C=60°．
故答案为60°．
14．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，
则由化简得答案．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得：，
整理得：，
即
+5a1+a1+
4d．
化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴
q==．
故答案为：1．
15．已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n= 2n．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．
【解答】解：∵，∴，
∴a1=q，
∴，
∵2（a n+a n+2）=5a n+1，
∴，
∴2（1+q2）=5q，
解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）
∴．
故答案为：2n．
16．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是（﹣∞，2] ．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】，可得n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：
﹣=1．利用等差数列的通项公式可得S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵，∴n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：
=S n﹣1＞0，解得﹣=1．
n=1时，﹣1，解得a1=1=S1．
∴数列是等差数列，公差为1．
∴=1+（n﹣1）=n．
∴S n=n2．
设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，
∵2≥（m+1+n+1）2=（2k+2）2=4（k+1）2．
∴（m+1）2+（n+1）2≥2（k+1）2，
则实数c的取值范围是c≤2．
故答案为：（﹣∞，2]．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x+a＜0}．
（1）当a=﹣2时，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】（1）解不等式求出A，a=﹣2时化简集合B，根据交集的定义写出A∩B；
（2）根据A∩B=A得A⊆B，根据子集的定义写出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|2x2﹣7x+3≤0}={x|≤x≤3}，
当a=﹣2时，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，
∴A∩B={x|≤x＜2}；
（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，
又B={x|x+a＜0}={x|x＜﹣a}，
∴﹣a＞3，
解得a＜﹣3，
即实数a的取值范围是a＜﹣3．
18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
【考点】H5：正弦函数的单调性；GQ：两角和与差的正弦函数；HR：余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k
≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤
2k，k∈Z可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，
且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤
k，k∈Z；
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤
k，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是，（k∈Z）；单调递减区间是：，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，
由题意知A为锐角，所以cosA=，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．
因此S=bcsinA≤，
所以△ABC面积的最大值为．
19．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．
（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）求|的最大值．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（I）根据两个向量垂直的性质可得 sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，从而得出θ．
（II）利用向量的模的定义化简|，再根据三角函数的变换公式结合三角函数的
性质求出|的最大值．
【解答】解：（I）.，⇒•=0⇒sinθ+cosθ=0，
=
=
当=1时有最大值，此时，最大值
为．
20．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a n}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．
【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；8G：等比数列的性质．
【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，
，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n﹣
7|=，根据等差数列的求和公式可求
【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d
由题意可得，
解得或
由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7
（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比
当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件
故|a n|=|3n﹣7|=
设数列{|a n|}的前n项和为S n
当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5
当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）
=5+=，当n=2时，满足此式
综上可得
21．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如
图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）
（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）作GH⊥EF，垂足为H，过M作MT∥BC交CD于T，求出，
可得S MBCDW=S MBCT+S MTDN=，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值．
【解答】解：（1）作GH⊥EF，垂足为H，
因为DN=x，所以NH=40﹣x，NA=60﹣x，
因为，
所以，所以…
过M作MT∥BC交CD于T，
则S MBCDN=S MBCT+S MTDN=，
所以
=…由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，…
（2）
，…
所以当且仅当，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，…
所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2．…
22．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{a n}的通项公式；
（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）通过a n+2=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，
∴a3=q，a5=q2，a4=2q，
又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q2，
即q2﹣3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴a n=；
（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，
则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，
∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，
两式相减，得T n=3++++…+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣．。