2021高考数学理一轮复习：第5章数列第2讲等差数列及其前n项和讲义2

1．等差数列的有关概念
1定义：一般地，如果一个数列从错误!＋n－md
2等差数列的前n项和公式S n＝错误!＝na1＋错误!d
3．等差数列的相关性质
已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．
1有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋a n＝错误!＋n＝＋a n＝a，n，＋n＝2＋a n m，n，，a＋2m，…仍是等差数列，公差为错误!d，m∈N*．
4S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!有两个不同的实根3，4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝________
答案1D 2－错误!
解析1因为a4，a7是函数f＝2－4＋3的两个零点，
由韦达定理可知，a4＋a7＝4，
S10＝错误!×10＝错误!×10＝20，故选D
2若m>0，则公差d＝错误!－错误!＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝错误!＝错误!
所以m＝cos错误!＝－错误!
角度2 等差数列前n项和的性质的应用
2．等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．
解记数列{a n}的前n项和为S n，由等差数列前n项和的性质知S m，S2m－S m，S3m－S2m 成等差数列，则2S2m－S m＝S m＋S3m－S2m，又S m＝30，S2m＝100，所以S2m－S m＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2S2m－S m－S m＝110，所以S3m＝110＋100＝210
角度3 等差数列前n项和的最值问题
3．12022·吉林长春一模等差数列{a n}中，已知a6＋a11＝0，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
2在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为
A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17
答案1C 2A
解析1解法一：因为a6＋a11＝0，
所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－错误!d，
所以S n＝na1＋错误!d＝错误!·n＋错误!d
＝错误!n2－16n＝错误![n－82－64]．
因为d>0，所以当n＝8时，其前n项和取最小值．
解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0
由公差d>0得等差数列{a n}是递增数列，所以a8<0，a9>0，
故当1≤n≤8时，a n<0；n≥9时，a n>0，
所以当n＝8时，其前n项和取最小值．
2∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋错误!d＝20a1＋错误!d，解得d＝－2，
∴S n＝29n＋错误!×－2＝－n2＋30n＝－n－152＋225
∴当n＝15时，S n取得最大值．
1．应用等差数列的性质解题的两个注意点
1如果{a n}为等差数列，m＋n＝＋a n＝a，n，－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m或其他项有关的条件；若求a m项，可由a m＝错误!a m－n＋a m＋n转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n＋a m－n的值．
2要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋n－md，d＝错误!，S2n－1＝2n－1a n，S n＝错误!＝错误!n，m∈N*等．
3当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶n－1．见巩固迁移3
2．求等差数列前n项和S n最值的两种方法
1函数法：等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn＝a错误!2－错误!，求“二次函数”最值．如举例说明31解法一．
2邻项变号法
①当a1＞0，d＜0时，满足错误!的项数m使得S n取得最大值为S m；
②当a1＜0，d＞0时，满足错误!的项数m使得S n取得最小值为S m如举例说明31解法二．
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为
A．6 B．7 C．12 D．13
答案 C
解析因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324n>6，则数列{a n}的项数为________．
答案18
解析由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
a n＋a n－1＋a n－2＋…＋a n－5＝180，②
①＋②得a1＋a n＋a2＋a n－1＋…＋a6＋a n－5＝6a1＋a n＝216，
∴a1＋a n＝36，
又S n＝错误!＝324，∴18n＝324，∴n＝18
3．2022·太原模拟一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d
解设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d由已知条件，得
错误!解得错误!
又S偶－S奇＝6d，所以d＝错误!＝5。