新疆克拉玛依十三中高二数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高二（上）期末数学试卷（C层）
一、单项选择题：（每题5分，共60分）
1．x=0是x（2x﹣1）=0的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
3．直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（）
A．有1个B．有2个C．有无数个 D．不存在
4．直线a，b和平面α，β满足α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
5．若直线ax﹣2y﹣1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a的值为（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
6．若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上，则m=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．已知A（3，﹣2），B（﹣5，4），则以AB为直径的圆的方程是（）
A．（x﹣1）2+（y+1）2=25 B．（x+1）2+（y﹣1）2=25
C．（x﹣1）2+（y+1）2=100 D．（x+1）2+（y﹣1）2=100
8．圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
9．已知两点A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足|MA|﹣|MB|=4，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．抛物线
10．与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程是的双曲线方程是（）A．B．C．D．
11．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±2x B．C．D．
12．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）
A．B．C．D．
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．在x轴上的截距是﹣2，在y轴上的截距是2的直线方程是．
14．点A（2，﹣1）到直线x﹣2y+1=0的距离是．
15．抛物线的准线方程是y=﹣1，则抛物线的标准方程是．
16．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．
三、解答题：（共70分）
17．设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．
18．已知直线l的方程是
（1）求直线l的斜率和倾斜角
（2）求过点且与直线l平行的直线的方程．
19．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1
（1）求证：CD∥平面ABC1D1
（2）求证：B1C⊥平面ABC1D1．
20．已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，
（1）当直线l⊥x轴时，求线段AB的长
（2）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长．
21．已知圆C经过两点A（（﹣1，0）和B（1，2），且圆心在x轴上，
（1）求圆C的方程
（2）试直接写出经过点M（﹣1，﹣2），并且与圆C相切的直线l的方程（不用写出过程）22．已知椭圆C：和直线l：x+y﹣4=0，求椭圆上的点到直线l的距离的最小值．
2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高二（上）期末数学试卷（C层）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（每题5分，共60分）
1．x=0是x（2x﹣1）=0的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由x（2x﹣1）=0得x=0或x=，
则x=0是x（2x﹣1）=0的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．
【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，
可知几何体如图：几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．
3．直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（）
A．有1个B．有2个C．有无数个 D．不存在
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面α垂直．【解答】解：∵直线l⊥平面α，
∴由平面与平面垂直的判定定理得经过直线l的所有的平面都和平面α垂直，
∴经过l且和α垂直的平面有无数个．
故选：C．
【点评】本题考查与已知平面垂直的平面的个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意面面垂直判定定理的合理运用．
4．直线a，b和平面α，β满足α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】以正方体为载体，列举直线a，b的关系，能求出结果．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
AB⊂平面ABCD，A1B1⊂平面A1B1C1D1，AB∥A1B1，
AB⊂ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，AB与A1D1异面，
∵直线a，b和平面α，β满足α∥β，a⊂α，b⊂β，
∴直线a，b的关系是平行或异面．
故选：D．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5．若直线ax﹣2y﹣1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a的值为（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由题意可得，这两条直线的斜率之积等于﹣1，由此求得a的值．
【解答】解：∵直线ax﹣2y﹣1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴它们的斜率之积等于﹣1，即=﹣1，求得a=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
6．若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上，则m=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】三点共线．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】分别求出直线AB和BC的斜率，根据斜率相等求出m的值即可．
【解答】解：∵K AB==﹣1，K BC=，
若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上，
则=1，解得：m=2，
故选：D．
【点评】本题考察了直线的斜率问题，是一道基础题．
7．已知A（3，﹣2），B（﹣5，4），则以AB为直径的圆的方程是（）
A．（x﹣1）2+（y+1）2=25 B．（x+1）2+（y﹣1）2=25
C．（x﹣1）2+（y+1）2=100 D．（x+1）2+（y﹣1）2=100
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【分析】由中点坐标公式，确定圆的圆心，利用两点间的距离公式，确定半径，从而可得圆的方程．
【解答】解：∵A（3，﹣2），B（﹣5，4），
∴以AB为直径的圆的圆心为（﹣1，1），半径r==5，
∴圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=25
故选B．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生计算能力，属于基础题．
8．圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题．
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，
故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1，
∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1，
∴R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选C
【点评】圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）．
9．已知两点A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足|MA|﹣|MB|=4，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．抛物线
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；定义法；直线与圆．
【分析】利用双曲线定义求解．
【解答】解：∵两点A（﹣3，0），B（3，0），
∴|AB|=6，
∵动点M满足|MA|﹣|MB|=4＜|AB|=6，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支．
故选：C．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
10．与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程是的双曲线方程是（）A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线方程的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），由双曲线性质列出方程和，求出a，b，由此能求出双曲线方程．
【解答】解：∵双曲线方程与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程是，∴双曲线方程的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），
设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），
由双曲线性质得，解得a=1，b=，
∴双曲线方程为=1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、双曲线性质的合理运用．
11．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±2x B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，
又a2+b2=c2，所以b=a，
所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．
故选B．
【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．
12．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V===．
故选A．
【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．在x轴上的截距是﹣2，在y轴上的截距是2的直线方程是x﹣y+2=0 ．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用直线的截距式即可得出
【解答】解：在x轴，y轴上的截距分别是﹣2，2的直线的方程是： +=1，
化为x﹣y+2=0．
故答案为：x﹣y+2=0．
【点评】本题考查了直线的截距式，属于基础题．
14．点A（2，﹣1）到直线x﹣2y+1=0的距离是．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用点到直线的距离公式求解．
【解答】解：点A（2，﹣1）到直线x﹣2y+1=0的距离：
d==．
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
15．抛物线的准线方程是y=﹣1，则抛物线的标准方程是x2=4y ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据准线方程为y=﹣1，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，
设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），
∵抛物线的准线方程为y=﹣1，
∴=1，
∴p=2，
∴抛物线的标准方程为：x2=4y．
故答案为：x2=4y．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．
16．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交
椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为20 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．
【解答】解：∵椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，
∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，
∴△ABF2的周长为4a=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查三角形周长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆定义及性质的合理运用．
三、解答题：（共70分）
17．设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和一个球形成的组合体，分别计算长方体和球的体积及面积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和一个球形成的组合体，
长方体的体积为3×3×2=18，球的体积为： =，
故组合体的体积V=18+，
长方体的表面积为2（2×3+2×3+3×3）=42，球的表面积为：=9π，
故组合体的表面积S=42+9π．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．
18．已知直线l的方程是
（1）求直线l的斜率和倾斜角
（2）求过点且与直线l平行的直线的方程．
【考点】直线的点斜式方程；直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）根据正弦方程求出直线的斜率和倾斜角即可；（2）先求出直线的斜率，代入点斜式方程即可求出直线的方程．
【解答】解：（1）已知直线l的方程是，
即：y=x+1，
∴直线l的斜率k=，倾斜角是；
（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，
其直线方程是：y+1=（x﹣），
即x﹣y﹣4=0．
【点评】本题考察了直线的斜率和倾斜角以及求直线方程问题，是一道基础题．
19．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1
（1）求证：CD∥平面ABC1D1
（2）求证：B1C⊥平面ABC1D1．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）先证明AB∥CD，又AB⊂平面ABC1D1，CD⊄平面ABC1D1，即可证明AB∥平面ABC1D1．（2）证明B1C⊥BC1，AB⊥B1C，即可证明B1C⊥平面ABC1D1．
【解答】证明：（1）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，
又AB⊂平面ABC1D1，CD⊄平面ABC1D1，
∴AB∥平面ABC1D1．
（2）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知：B1C⊥BC1，
又∵AB⊥平面BC1B1C，
∴AB⊥B1C．
∵BC1∩AB=B，
∴B1C⊥平面ABC1D1．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20．已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，
（1）当直线l⊥x轴时，求线段AB的长
（2）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）确定抛物线的焦点坐标，当直线l⊥x轴时，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长；
（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系结合抛物线过焦点的弦长公式得答案．
【解答】解：（1）由y2=4x，得其焦点坐标为F（1，0），
当直线l⊥x轴时，x=1，y=±2，
∴|AB|=4；
（2）当直线l的斜率为1时，A、B所在直线方程为y=x﹣1．
联立抛物线，得x2﹣6x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6．
∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
21．已知圆C经过两点A（（﹣1，0）和B（1，2），且圆心在x轴上，
（1）求圆C的方程
（2）试直接写出经过点M（﹣1，﹣2），并且与圆C相切的直线l的方程（不用写出过程）
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）根据题意，设圆心为C（a，0），由两点的距离公式建立关于a的方程，解出a=1，从而算出圆心坐标和半径R，即可得到所求圆的标准方程．
（2）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可．
【解答】解：（1）设圆心为C（a，0）
由两点的距离公式，得|CA|=|a+1|，|CB|=
∵两点A（（﹣1，0）和B（1，2）在圆上
∴|CA|=|CB|，得=|a+1|，
解之得a=1，可得圆心C（1，0），半径R=2
因此可得所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4；
（2）设切线方程为y+2=k（x+1），即kx﹣y+k﹣2=0，
∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，
∴=2，解得k=0，
∴切线方程为y+2=0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=﹣1，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，
故直线x=﹣1也适合题意．
所以，所求的直线l的方程是y+2=0或x=﹣1．
【点评】本题给出圆心在定点且经过两点的圆的方程，着重考查了两点的距离公式和圆的标准方程的知识，考查圆的切线方程的求法，属于中档题．
22．已知椭圆C：和直线l：x+y﹣4=0，求椭圆上的点到直线l的距离的最小值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式和三角函数性质能求出椭圆上的点P到直线l的距离的最小值．
【解答】解：椭圆C：和直线l：x+y﹣4=0，
设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），
∴椭圆上的点P到直线l的距离：
d==，
∴当sin（）=1时，椭圆上的点到直线l的距离取最小值d min=1．
【点评】本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．。