最新(新课标)高三数学一轮复习 第8篇 圆与方程学案 理
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程【教案】
高三一轮第八章平面解析几何
8.3 圆的方程
【教学目标】
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程．
2。
初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
【重点难点】
1。
教学重点:掌握确定圆的几何要素及圆的标准方程
与一般方程；
2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
｜
错误!—-错误!
考点三: 与圆有关的最值问题1。
已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0。
求：
(1）错误!的最大值和最小值；(2）y－x的最小值；
(3）x2＋y2的最大值和最小值．【解】(1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以3为半径的圆．
设错误!＝k，即y＝kx，则圆心(2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．。
2022版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程学案新人教A版20210519213
8.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义与方程圆心:-D 2,-E2注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D2,-E2);当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆内.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12√-3a2-4a+4的圆.()(4)点A(x1,y1),B(x2,y2),如此以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)假如点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,如此x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.()2.假如圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,如此圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=13.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=54.假如圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,如此圆C的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=15.点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,如此△AOB外接圆的方程为.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),如此圆C的方程为.(2)圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,如此圆C的方程为.解题心得求圆的方程的方法对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.(2)(多项选择)圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,如此如下说法正确的有()A.圆M的圆心坐标为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6考点与圆有关的轨迹问题【例2】直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ 的长度等于点P到原点O的距离,如此点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,如此点M的轨迹方程为.考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(1)形如u=y-bx-a(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.的最大值与最小值分别为和.对点训练3实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,如此z=y+1x考向2借助圆的几何性质求最值【例4】点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,如此|PA|+|PQ|的最小值是.解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直〞,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020某某某某模拟)两点A(0,-3),B(4,0),假如点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,如此△ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值【例5】(2020某某某某模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),如此PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为.解题心得利用函数关系求最值时,先根据条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或根本不等式求最值.对点训练5(2020某某某某模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),如此|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为.8.3圆的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.定点定长(a,b)r √D2+E2-4F22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.A因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.3.C由题意得半径r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,假如以A(-2,1)为圆心,如此所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25,假如以B(1,5)为圆心,如此所求圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=25.应当选C.4.A因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).又圆C与直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.5.(x-1)2+(y-2)2=5(方法1)由题意知OA⊥OB,如此△AOB外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△AOB外接圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(方法2)设△AOB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以{4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得{D=-2,E=-4,F=0,如此△AOB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)(x-3)2+y 2=2(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)(方法1)由得k AB =0,所以线段AB 的垂直平分线的方程为x=3.①过点B 且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. ②联立①②,解得{x =3,y =0,所以圆心坐标为(3,0),半径r=√(4-3)2+(1-0)2=√2,所以圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.(方法2)设圆C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),因为点A (4,1),B (2,1)都在圆C 上,所以{(4-a)2+(1-b)2=r 2,(2-a)2+(1-b)2=r 2,解得a=3.由题意可知b -1a -2=-1,所以b=0.所以r=√(4-3)2+(1-0)2=√2.故圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d 2+(√62)2=r 2,即(2a -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)x 2+y 2-2x=0(2)ABD(1)设点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),如此AO=AB ,所以点A 在线段OB 的垂直平分线上.又因为OB 为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB 的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y ),所以(y-1)2=1+y 2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.(2)由x 2+y 2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圆M 的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A 正确,选项C 不正确.令y=0,解得x 1=0,x 2=8,故圆M 被x 轴截得的弦长为8,同理,圆M 被y 轴截得的弦长为6,应当选项B,D 均正确.应当选ABD .例2解(1)设点C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0.又AC ⊥BC ,所以k AC ·k BC =-1. 又k AC =yx+1,k BC =yx -3, 所以yx+1·yx -3=-1,化简得x 2+y 2-2x-3=0.故直角顶点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0).(2)设点M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为点B (3,0),M 是线段BC 的中点,所以x=x 0+32,y=y 0+02,所以x 0=2x-3,y 0=2y.由(1)知,点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0),即(x-1)2+y 2=4(y ≠0),将x 0=2x-3,y 0=2y 代入得(2x-4)2+(2y )2=4(y ≠0),即(x-2)2+y 2=1(y ≠0).故点M 的轨迹方程为(x-2)2+y 2=1(y ≠0).对点训练2(1)D(2)(x-1)2+(y-3)2=2(1)由题意得,圆心C 的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ ⊥CQ ,所以|PO|2+r 2=|PC|2,所以x 2+y 2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P 的轨迹方程为6x-8y-21=0.应当选D .(2)依题意,圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心C (0,4).设点M (x ,y ),如此CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ). 由题意知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故x (2-x )+(y-4)(2-y )=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 因为点P 在圆C 的内部,所以点M 的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,如此点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点, 所以圆心C 到该直线的距离d=√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10. 所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{m -2=2√2cosθ,n -7=2√2sinθ,(θ为参数)即{m =2+2√2cosθ,n =7+2√2sinθ,(θ为参数) 所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ=16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12.因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3).如此直线MQ 的斜率k=n -3m+2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点,得√k 2+1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3,即2-√3≤n -3m+2≤2+√3.所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.对点训练34+√734-√73由题意,得y+1x表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,如此√k 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73.例42√5依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),如此{m+02+n+22+2=0,n -2m -0=1,解得{m =-4,n =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5.对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.例512由题意,知PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,-y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y ),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2-4.因为点P (x ,y )是圆x 2+(y-3)2=1上的点,所以x 2+(y-3)2=1,2≤y ≤4,所以x 2=-(y-3)2+1,所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2≤y≤4,所以当y=4时,PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,最大值为6×4-12=12.对点训练510由题意,知PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,2-y),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-2-y),所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x,-2y),所以|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以PBy2=-(x-3)2+4,所以|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x2-(x-3)2+4=2√6x-5.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.PB。
一轮复习学案圆的方程复习学案教案.doc
圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到 的距离等于 的点的集合．．．．称为圆。
我们把定点称为 ，定长称为 。
确定了圆的位置, 确定了圆的大小。
在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M 应该满足的关系式？ r MA =2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1)圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2)圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3)圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。
2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
（3） 在圆内，即 在圆内.
【用一用】
1.若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 解得 ,故选C.
√
2.圆过点 ， ，则周长最小的圆的方程为____________________.
√
√
解析：选BC.由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为 ，半径为 ,故选项A，D不正确；因为 ，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程 中，令 ，有 或 ，因为 ,所以该圆与 轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选BC.
3.(2023·广东广州模拟)过 ， 两点，且半径为4的圆的标准方程为_____________________________________.
或
解析：由题意 ,所以 中垂线的斜率为 ， 中点坐标为 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ,整理 ，故所求圆的标准方程为 或 .
4.(2022·高考全国卷甲)设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________________.
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
圆的定义和圆的方程
定义
平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆
标准方程
圆心
半径为
一般方程
充要条件：
圆心 __________
半径
定点
定长
[提醒] 当 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 ；当 时，它不表示任何图形.
解析：显然当 为直径时，圆周长最小，此时圆的方程为 ,即 .
核心考点 师生共研
02
考点一 圆的方程（自主练透）
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案理
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案理052122628．3 圆的方程[知识梳理] 1．圆的方程标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0) 2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．[诊断自测] 1．概念思辨(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A2P 120例3)过点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝10 B ．x 2＋(y ＋2)2＝10 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x －2)2＋y 2＝10答案 D解析 依据题意知圆心为CD 的垂直平分线与x 轴的交点．由已知可得CD 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，即圆心为(2,0)，所以半径为(2＋1)2＋1＝10，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.故选D.(2)(必修A2P 124A 组T 1)动圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0的圆心的轨迹方程是________．答案 x －3y －3＝0解析 圆的方程可化为(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.不论m 取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3m ，y 0＝m －1，消去参变量m ，得x 0－3y 0－3＝0，即动圆圆心的轨迹方程为x －3y －3＝0.3．小题热身(1)(2018·西城区期末)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.故选D.(2)求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程是___________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10解析 设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.题型1 求圆的方程典例 根据下列条件求圆的方程．(1)半径为5且与x 轴交于A (2,0)，B (10,0)两点；(2)圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)；(3)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． (1)(3)用待定系数法；(2)用直接法．解 (1)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 如图，∵|AB |＝10－2＝8， ∴|AD |＝4.∵|AC |＝5，∴|CD |＝3. ∴a ＝6，b ＝±3.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25或(x －6)2＋(y ＋3)2＝25.(2)过P (3，－2)与直线l ：x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与4x ＋y ＝0联立解得圆心坐标为(1，－4)，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意⎩⎪⎨⎪⎧r ＝|2b |，|a －2b |5＝55，2r 2－a 2＝2.解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a＝－1，b ＝－1，r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法技巧求圆的方程的两种方法1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见典例(2)． 2．待定系数法(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见典例(1)(3)．(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．冲关针对训练(2017·甘肃模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5 D ．(x ＋3)2＋y 2＝5答案 D解析 由题意，2a ＝－4，∴a ＝－2，∴圆的半径为|BC |2＝(－4＋2)2＋(－2－2)22＝5，圆心为(－3,0)，∴圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.故选D.题型2 与圆有关的最值问题角度1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)典例 (2018·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．求k ＝y －0x －0的最值转化为直线y ＝kx 与圆相切． 答案3 － 3解析 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.[结论探究1] 若本例中条件不变，求y －x 的最大值与最小值．解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[结论探究2] 若本例中条件不变，求x 2＋y 2的最大值与最小值．解 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度2 建立函数关系求最值典例已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4∠APB ＝90°，点P 在以AB 为直径的圆上，求m的最大值转化为求半径|OP |的最大值．答案 B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1．借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1典例． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究1.(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见结论探究2.2．建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．冲关针对训练1．(2018·福建师大附中联考)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2答案 D解析 设|PO |＝t ，向量PA →与PB →的夹角为θ，则|PA →|＝|PB →|＝ t 2－1，sin θ2＝1t，cos θ＝1－2sin2θ2＝1－2t2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2(t ＞1)，∴PA →·PB →＝t2＋2t2－3(t ＞1)，利用基本不等式可得PA →·PB →的最小值为22－3，当且仅当t ＝42时，取等号．故选D.2．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理，|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.故选A.1.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.2．(2018·山东青岛一模)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又AB ＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.故选B.3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0，2)，C (0，－2)，易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.3．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0B ．x 2＋y 2＋y －1＝0C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0 答案 B解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简得x 2＋y 2＋y －1＝0.故选B.4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0答案 D解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.5．(2018·唐山期末)若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∵半径r 满足r 2＝1－3k 24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π4.故选A.6．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.7．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.8．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆C ：x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C解析 解法一：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径长为r ＝1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.解法二：易知P (m ，m ＋1)在直线y ＝x ＋1上，由切线长公式得|PC |＝m 2－6m ＋(m ＋1)2＋8＝ 2(m －1)2＋7，由m ∈R 可得|PC |min ＝7.9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D.10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( )A ．6＋22，6－2 2B ．6＋2，6－ 2C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2答案 A解析 设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.故选A.二、填空题11．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.13．(2017·金牛期末)已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆， ∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5； 当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋2.5＝0， 此时D 2＋E 2－4F <0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为(－2，－4)．14．(2018·河北邯郸模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2,0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．答案π4解析 设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM ||MA |＝(22)2＋a 2－222×22a＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142×24a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4. 三、解答题15．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0. 又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．16．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
高三数学一轮、二轮复习配套讲义：第8篇 第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程[最新考纲]1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理1．圆的定义和圆的方程(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．辨 析 感 悟1．对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．(×) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．(×)(4)(·江西卷改编)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254. (√)2．对点与圆的位置关系的认识(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√)(6)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) [感悟·提升]1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b )．2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a |；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一 求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程． (2)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为4 2.解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．① 将P ，Q 点的坐标分别代入①得⎩⎨⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10， ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根， 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②、③、⑤组成的方程组得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎨⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.(2)法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10. 由圆心在直线y ＝2x 上，得b ＝2a .① 由圆在直线x －y ＝0上截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 整理得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.由弦长公式得 2(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝42， 化简得a －b ＝±2.②解①、②得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.法二 根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图， 由勾股定理，可得弦心距 d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4222＝10－8＝ 2. 又弦心距等于圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离， 所以d ＝|a －b |2，即|a －b |2＝ 2.③又已知b ＝2a .④解③、④得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4. 故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【训练1】 (1)(·济南模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )．A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 (1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2或－12(舍去)．故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.(2)依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，将A ，B 点坐标分别代入方程得⎩⎨⎧(5－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案 (1)A (2)(x －2)2＋y 2＝10考点二 与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， 纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 (·金华十校联考)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是 ( )．A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1，根据对称性可知，四边形P ACB 的面积为2S △APC ＝2×12|P A |r ＝|P A |＝|PC |2－r 2，要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形P ACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.答案 C考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．审题路线 (1)设圆心P 为(x ，y )，半径为r ⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r 可得点P 的轨迹方程．(2)设点P (x 0，y 0)⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P 在第(1)问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P 点坐标与圆P 的半径⇒得到圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. 规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【训练3】 已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解 (1)法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法二 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[一般解法] (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴交点是(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.[优美解法] (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.[反思感悟] 一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 【自主体验】1．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于 点A ，B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．解析 根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案 (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 解析 设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝10基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a ＜0，b ＞0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a ＞0，－ba ＞0，直线不经过第四象限． 答案 D3．(·银川模拟)圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案 B4．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－15∪[1，＋∞) 解析 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得P (a,3a )，∴(a －1)2＋(3a －1)2＜4，∴－15＜a ＜1，故应选A. 答案 A5．(·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A 二、填空题6．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝07．(·南京调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为______．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2. 答案 28．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，所以有⎩⎨⎧ 1＋m ≥0，|1＋m |2≥1. 解得m ≥－1＋ 2.故m 的取值范围是[－1＋2，＋∞)．答案 [－1＋2，＋∞)三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎨⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.法二 由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.10．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧ x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)． 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )．A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6. 答案 C2．(·烟台二模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点F 的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为( )．A ．(x －1)2＋(y －4)2＝1B ．(x －1)2＋(y ＋4)2＝1C ．(x －1)2＋(y －4)2＝16D ．(x －1)2＋(y ＋4)2＝16解析 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，所以|MF |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝8，即抛物线方程为y 2＝16x ，又m 2＝16，m ＞0，所以m ＝4，即M (1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝1.答案 A二、填空题3．已知平面区域⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝5.答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5三、解答题4．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m 5. 故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3， 此时Δ＝(－20)2－4×5×(12＋m )＝20(8－m )＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，且圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的圆心为O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.即M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 21.∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 21，即r 21＝5，|MQ |2＝r 21.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.。
2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程学案理新人教版202106221107
第三节圆的方程1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F>0圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝12_D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是() A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．(基本方法：求圆的方程)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．(基本方法：求圆的方程)△AOB 中，A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，则△AOB 外接圆的方程为________________．答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9题型一 求圆的方程[典例剖析][典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．解析：因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝（1＋m ）21＋m2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.方法总结求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，可设圆的方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：B2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝03．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________．解析：法一(几何法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a ).又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三(待定系数法)：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10题型二 与圆有关的轨迹问题[典例剖析]类型 1 直接法求与圆有关的轨迹方程[例1] 已知点M 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为________________．解析：设点M (x ，y )，由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12， 整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0. 答案：x 2＋y 2＋2x －3＝0类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程[例2] 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法； (2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法； (3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．[题组突破]1．(2020·某某模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． 解析：(1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53＜x ≤AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. 2．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解析：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).题型三 与圆有关的最值[典例剖析][典例] 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值与最小值；(2)求y －x 的最大值、最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心(2，0)到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 方法总结与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[对点训练]已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎨⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 5再研高考挖掘圆的几何性质1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．455解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b ).∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.当a ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255. 答案：B 2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1，1)，⊙M 的半径为2.如图所示，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |， ∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1，0). 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1(∵在⊙M 中，－1≤x ≤1)，∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A (－1，1).又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A (－1，1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1.∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案：D素养升华数形结合求X 围若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值X 围是________． 解析：x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示圆的一半，如图，设P (x ，y )是此曲线上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1).从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求X 围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，3。
高三数学一轮复习第8篇圆与方程学案理
第四十九课时 圆与方程课前预习案1.掌握圆的定义及性质，圆的标准方程与一般方程，2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题。
1.圆的方程（1） 圆的定义：平面内 的点的集合（轨迹）叫做圆。
（2）圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是（3）圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程 ①叫做圆的一般方程.它表示圆心为 ，半径为 的圆；当2240D E F +-=时，①表示点 ；当2240D E F +-<时，①不表示任何图形。
（4）求圆的方程的方法：待定系数法．．．．．，先定式，后定量。
如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。
2.直线与圆的位置关系（1）设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为（2）判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系①⇔直线与圆相交 ；②⇔直线与圆相切 ；③⇔直线与圆相离 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，确定直线和圆的位置。
（3）过圆上一点的圆的切线方程设圆的标准方程222x y r +=,点M(x 0,y 0)为圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ; 设圆的标准方程为222:()()C x a y b r -+-=,点M(x 0,y 0)圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ;（4）求圆的切线的方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况．（5）求直线和圆相交的弦长方法一：解半径、半弦、弦心距组成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。
2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第三讲 圆的方程学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第三讲圆的方程学案（含解析）新人教版班级：科目：第三讲圆的方程知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一圆的定义及方程知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b）2＝r2,点M（x0，y0)，(1）（x0－a)2＋（y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；（2）（x0－a)2＋(y0－b）2__＞__r2⇔点在圆外；（3)（x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2⇔点在圆内．错误!错误!错误!错误!1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．两圆相切时,切点与两圆心三点共线．4．以A(x1，y1），B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1）(x－x2）＋(y－y1)（y－y2）＝0（公式推导:设圆上任一点P(x，y)，则有k P A·k PB＝－1，由斜率公式代入整理即可)．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）(1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√)（2)已知点A(x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1）（y－y2）＝0．（√）(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×）(4）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y错误!＋Dx＋Ey＋F＞0．(√）（5)方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝t2（t∈R)表示圆心为(a，b），半径为t的圆．(×）题组二走进教材2．（必修2P124A组T4）圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B（1，3),则圆C的方程为__（x－2)2＋y2＝10__．［解析]设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1,1）和B（1，3)在圆C上,∴｜CA|＝|CB|,即错误!＝错误!,解得a＝2,∴圆心为C（2，0),半径｜CA|＝错误!＝错误!，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10．3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（C）A．（x－2）2＋（y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．（x－2)2＋(y＋1）2＝9 D．（x＋2)2＋（y－1)2＝9［解析]因为圆心(2,－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝错误!＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为（x－2）2＋(y＋1）2＝9．故选C．题组三走向高考4．（2019·北京高考）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为__（x－1)2＋y2＝4__．［解析］∵抛物线的方程为y2＝4x,∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切,∴圆的半径r＝2，故圆的方程为（x－1)2＋y2＝4．5．（2020·高考全国Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]设圆心为P（x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴,y轴都相切,∴|x0|＝｜y0|＝r,又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋（r－1）2＝r2,解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!；②r＝5时,圆心P（5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!．故选B．考点突破·互动探究考点一求圆的方程——自主练透例1 (1）(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上,则圆M的方程为（C）A．(x＋3）2＋（y－1)2＝1 B．(x－3）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋3）2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1）2＝1（2）（2021·重庆一中、湖北鄂州期中）圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（B)A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0(3）（2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0)，(1,1)，(2，0）的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．(4）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,错误!)在圆C上，且圆心到直线2x－y ＝0的距离为错误!，则圆C的方程为__（x－2）2＋y2＝9__．[解析](1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离错误!＝2的一半，∴r＝1，设圆心的坐标为（a，－a－4)，则错误!＝错误!解得a＝－3，∴圆心坐标为（－3,－1），∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1)2＝1，故选C．另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0,由错误!,得圆心坐标为（－3,－1),又两平行线间距离为错误!＝2，∴圆M的半径r＝1，∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1）2＝1．故选C．(2)设圆心C(a，0)(a＞0）,由题意知错误!＝2，解得a＝2，故圆C的方程为（x－2）2＋y2＝22,即x2＋y2－4x＝0,故选B．(3）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．分别代入（0,0)，（1，1），（2,0)三点，得错误!解得错误!故圆的方程为x2＋y2－2x＝0．（4）设圆C的圆心坐标为（a,0），a＞0，半径为r,则错误!＝错误!．∵a＞0，∴a＝2．∴r2＝(2－0)2＋（0－错误!）2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．名师点拨求圆的方程的两种方法（1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2）待定系数法:①若已知条件与圆心(a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．〔变式训练1〕（1)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（A）A．（x－2）2＋（y－1）2＝1 B．（x－2)2＋（y＋1)2＝1C．（x＋2）2＋（y－1)2＝1 D．（x－3）2＋(y－1）2＝1（2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3),B(－2，－5)的圆的方程为__（x＋1)2＋(y＋2)2＝10__．[解析]（1)由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为（a,1)(a＞0)，又圆与直线4x －3y＝0相切，∴错误!＝1，解得a＝2或a＝－错误!(舍去）．∴圆的标准方程为（x－2）2＋(y－1)2＝1．故选A．(2）AB的中点为H(0,－4），且k AB＝错误!＝错误!,∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x,即2x＋y＋4＝0．由错误!得圆心C（－1，－2)，∴r2＝AC2＝10．故所求圆的方程为（x＋1）2＋(y＋2)2＝10．考点二与圆有关的最值问题-—多维探究角度1斜率型最值例2 已知点P（x,y)在圆x2＋(y－1）2＝1上运动，则错误!的最大值与最小值分别为__错误!，－错误!__．［解析］设y－1x－2＝k，则k表示点P(x,y）与点（2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由错误!＝1,解得k＝±错误!,故填错误!，－错误!．角度2截距型最值例3(2021·海南海口模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0），则m＝3x＋y 的取值范围是(B)A．（－2错误!,4) B．［－2错误!，4]C．［－4,4］D．［－4，23][解析］x2＋y2＝4（y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分,如图所示，直线错误!x＋y－m ＝0的斜率为－错误!，在y轴上的截距为m；当直线错误!x＋y－m＝0过点(－2,0）时，m＝－23．设圆心(0,0）到直线错误!x＋y－m＝0的距离为d，则错误!即错误!解得m∈[－2错误!，4]．角度3与距离有关的最值例4（2021·陕西西安一中质检）P是圆M：x2＋（y－3)2＝4上的动点，则P到直线l：错误!x－y－3＝0的最短距离为(D)A．5 B．3C．2 D．1［解析］如图，过M作MA⊥l于A,当P在线段MA上时,|P A|为最短距离,|MA|＝错误!＝3，｜P A|＝|MA｜－2＝1．［引申]本例中若P（x，y),则（1）（x＋3)2＋（y＋1)2的最大值为__49__，最小值为__9__．（2）|x－2y－2｜的取值范围为__［8－2错误!，8＋2错误!]__．［解析］（1）（x＋3）2＋(y＋1)2表示圆上的点到点N(－3，－1）距离的平方，由｜MN｜＝错误!＝5知圆上的点到N的距离的最大值为7,最小值为3,故(x＋3）2＋(y＋1)2的最大值为49,最小值为9．（2)｜x－2y－2|表示圆上的点到直线l1：x－2y－2＝0距离的错误!倍，又圆心M（0，3)到直线l1的距离为错误!＝错误!，∴圆M上的点到直线l2距离的取值范围为错误!．故｜x－2y－2｜的取值范围为［8－2错误!,8＋2错误!]．名师点拨与圆有关的最值问题的常见解法(1）形如μ＝错误!形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如（x－a）2＋(y－b）2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(4)圆上的点到定点（定直线）距离的最大值与最小值为圆心到定点（定直线)距离与半径的和与差．〔变式训练2〕已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：（1)（角度1）错误!的最大值和最小值；（2）(角度2）y－x的最大值和最小值；（3）（角度3）x2＋y2的最大值和最小值．[解析]（1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设错误!＝k,即y＝kx，则圆心（2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值．由错误!＝错误!，解得k2＝3，所以k max＝错误!，k min＝－错误!．（2)解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时错误!＝错误!,解得b＝－2±错误!．所以y－x的最大值为－2＋错误!，最小值为－2－错误!．解法二：设圆的参数方程为错误!(0≤θ＜2π），则y－x＝错误!sin θ－错误!cos θ－2＝错误!sin错误!－2，当θ＝错误!π时，取最大值错误!－2,当θ＝错误!π时,取最小值－错误!－2．（3）解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是（2＋错误!)2＝7＋4错误!．x2＋y2的最小值是(2－3）2＝7－4错误!．解法二：由（2）中的参数方程可得：x2＋y2＝（2＋错误!cos θ)2＋（错误!sin θ)2＝7＋4错误!cosθ从而得x2＋y2的最大值为7＋4错误!，最小值为7－4错误!．考点三，与圆有关的轨迹问题——师生共研例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0），B（1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．（1)求线段AP中点的轨迹方程；(2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．［解析］(1）设AP的中点为M（x，y)，由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2）2＋（2y）2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1．（2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，｜PN｜＝|BN｜，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP|2＝|ON｜2＋｜PN|2＝|ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．名师点拨求与圆有关的轨迹方程的方法错误!-错误!｜错误!—错误!|几何法—错误!｜错误!错误!〔变式训练3〕（2021·河北衡水中学调研）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1,0)，B(3,0）．求: (1）直角顶点C的轨迹方程；（2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解析］（1）解法一：设C（x,y)，因为A，B，C三点不共线,所以y≠0．因为AC⊥BC,所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1,k BC＝错误!,所以错误!·错误!＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0）．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0),由直角三角形的性质知|CD｜＝错误!｜AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4（y≠0）．(2）设M（x，y），C(x0,y0），因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝错误!，y＝错误!，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0），将x0＝2x－3,y0＝2y代入得（2x－4)2＋(2y)2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2)2＋y2＝1(y≠0）．名师讲坛·素养提升对称思想在圆中的应用例6 （1)一条光线从点（－2,－3）射出，经y 轴反射后与圆（x ＋3）2＋(y －2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ D ）A ．－53或－错误! B ．－错误!或－错误! C ．－错误!或－错误! D ．－错误!或－错误!（2）已知A （0，2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则｜P A |＋｜PQ ｜的最小值是__2错误!__．[解析] (1）圆（x ＋3)2＋（y －2)2＝1的圆心为C (－3，2）,半径r ＝1．如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3）．由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点B ．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．由反射光线与圆相切可得错误!＝1，即|5k ＋5｜＝错误!,整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4）(4k ＋3)＝0,解得k ＝－错误!或k ＝－错误!，故选D ．（2)圆C 的方程可化为(x －2）2＋（y －1）2＝5，其圆心C (2，1）关于直线l :x ＋y ＋2＝0的对称点为C ′（－3，－4)，|P A ｜＋｜PQ ｜的最小值为｜AC ′｜－错误!＝错误!－错误!＝2错误!．[引申］本例（1）中入射光线所在直线的方程为__4x －3y －1＝0或3x －4y －6＝0__．名师点拨]1．光的反射问题一般化为轴对称解决．2．求解形如|PM|＋｜PN｜(其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．3．定点到圆上动点距离的最大（小）值为定点到圆心的距离加(减）半径；圆上的点到定直线距离的最大（小）值为圆心到直线的距离加（减)半径．〔变式训练4〕已知圆C1:(x－2)2＋（y－3)2＝1,圆C2：（x－3)2＋(y－4）2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM|＋|PN｜的最小值为(A)A．5错误!－4 B．错误!－1C．6－2错误!D．错误!［解析］C1（2，3)关于x轴的对称点为C3（2，－3），又｜C2C3｜＝(2－3)2＋(－3－4)2＝52，∴|PM｜＋|PN｜的最小值为5错误!－3－1＝5错误!－4．故选A．。
高三数学一轮复习学案8.4圆的方程
8.4圆的方程考试要求1.掌握正确定圆的几何要素；2.掌握圆的标准方程和一般方程；3.了解代数方法解决几何问题的思想.基础知识1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是_______________. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是： .注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程 ③与轴轴都相切的圆方程2. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径r= .当时，方程表示一个点 .当时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：（为参数）. ②方程表示圆的充要条件是:且且③圆的直径或方程：已知3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内 ②在圆上 ③在圆外 例题选讲例 1.一圆与轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。
),(b a C r r x )],(),(,[b a b a b r -=或圆心y )],(),(,[b a b a a r -=或圆心x y )],(,[a a a r ±±=圆心022=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 0422=-+F E D 0422<-+F E D ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0422>-+AF E D 0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C M C M C y 03=-y x x y =72例2．根据下列条件，求圆的方程.(1)和圆2+2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2+3+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在轴上截得的线段长为4，求圆的方程。
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第四十九课时 圆与方程课前预习案1.掌握圆的定义及性质，圆的标准方程与一般方程，2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题。
1.圆的方程（1） 圆的定义：平面内 的点的集合（轨迹）叫做圆。
（2）圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是（3）圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程 ①叫做圆的一般方程.它表示圆心为 ，半径为 的圆；当2240D E F +-=时，①表示点 ；当2240D E F +-<时，①不表示任何图形。
（4）求圆的方程的方法：待定系数法．．．．．，先定式，后定量。
如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。
2.直线与圆的位置关系（1）设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为（2）判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系①⇔直线与圆相交 ；②⇔直线与圆相切 ；③⇔直线与圆相离 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，确定直线和圆的位置。
（3）过圆上一点的圆的切线方程设圆的标准方程222x y r +=,点M(x 0,y 0)为圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ; 设圆的标准方程为222:()()C x a y b r -+-=,点M(x 0,y 0)圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ;（4）求圆的切线的方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况．（5）求直线和圆相交的弦长方法一：解半径、半弦、弦心距组成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。
方法二：利用弦长公式。
12AB x x =-21x x - 3.圆与圆的位置关系两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断，两圆1,O r 1，O 的半径分别为r 2O 的2, 相离⇔ ； 外切⇔ ；相交⇔ ； 内切⇔ ； 内含⇔ 。
1.过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )（A ）0=x （B ）1=y （C ）01=-+y x （D ）01=+-y x2.圆⊙1C ：122=+y x ，与圆⊙2C ：03422=+-+x y x 的位置关系是（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离3.圆心为（0,0），且与直线20x y +-=相切的圆的方程为4.圆C ：022222=--++y x y x 的圆心到直线01443=++y x 的距离是5.经过圆0222=++y x x 的圆心，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是课堂探究案考点1 圆的方程【典例1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．1)37()3(22=-+-y xB ． 1)1()2(22=-+-y xC ．1)3()1(22=-+-y xD ．1)1()23(22=-+-y x【变式1】圆心在曲线()30y x x => 上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A ．()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．((229x y +=考点2 直线与圆的位置关系【典例2】过点（21--，）的直线l 被圆222210xy x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ．【变式20y +-与圆22:4O x y +=交于A 、B 两点，则OB OA ⋅（ ）A 、2B 、-2C 、4D 、-4【变式3】直线()R t t y tx ∈=+-+01与圆044222=-+-+y x y x 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离D.以上都有可能考点3：与圆有关的轨迹问题【典例3】),(,110122222a a C x y y x y ax y x --==+=++-+过点对称关于直线与圆的圆P 与y轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．08442=++-y x yB ．02222=+-+y x yC ．08442=+-+y x yD ．0122=---y x y【变式4】已知动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．122=+y xB ．122=-y xC ．x y 42=D ．0=x考点4：最值问题【典例4】已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x .（1）求x y -的最大值和最小值；（2）求22y x +的最大值和最小值.【变式5】在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．25B ．210C ．D ．2201.已知圆04222=-+-+my x y x 上两点M 、N 关于直线02=+y x 对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．23D ．22.已知圆C 经过点A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程是( )A. 50)2(22=+-y xB. 10)2(22=++y xC. 50)2(22=++y xD. 10)2(22=+-y x 3.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A 22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=4.若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为.__________课后拓展案组全员必做题1.【20xx 重庆】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心2.（20xx 山东）过点(3,1)作圆1)1(22=+-y x 的两条切线,切点分别为B A ,,则直线AB 的方程为（ ）A ．032=-+y xB ．032=--y xC ．034=--y x D. 034=-+y x3.若过点(3,0)A 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ( )A ．(3-, 3 )B ．[3-, 3 ]C ．[33-, 33 ]D ．(33-, 33 ) 4.点()2,1P -为圆()22125x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．10x y +-= B. 230x y +-= C. 30x y --= D. 250x y --=5.直线220210x y m x y x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m < 6.若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为（ ）A. -1或3B. 1或3C. -2或6D. 0或47.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-1+．[1．[1-．[-1,1+8．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A.(--0)∪(0--∞，-，+∞) 9．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣∣= .组提高选做题1．设R ,∈n m ，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（ ）（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞2.已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______.3.圆心在抛物线x 2=2y 上，与直线2x+2y+3=0相切的圆中，面积最小的圆的方程为 ．4.【20xx 江苏12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是__________6 ．（20xx 江苏卷）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.参考答案1.C2.B3.222x y +=；4.35.10x y -+=【典例1】B【变式1】A【典例2】1或177【变式2】A【变式3】A【典例3】C【变式4】C【典例4】解：方程可整理为22(2)3x y -+=．（1）令z y x =-，则0x y z -+=．≤2626-≤≤--z ．即y x -2，最小值为2．（2）max 22)(y x +222()(27max x y +==+222min()(27x y +==- 【变式5】B1.B2.D3.A4.0或2组全员必做题1.C2.A3.C4.C5.C6.D7.C8. B 9.32组提高选做题1.D3.2211(1)()22x y ++-=4.435.(13,13)-6.解：（1）圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得(3,2)C ， ∴切线斜率必存在．设过(0,3)A 的圆C 的切线方程为3y kx =+，1=，解得0k=或34k=-．∴所求切线方程为3y=或34120x y+-=．（2） 圆心在直线24y x=-上，∴圆C方程为[]22()2(2)1x a y a-+--=，设点(,)M x y，由2MA MO=，=22(1)4x y++=．∴点M在以(0,1)D-为圆心，半径为2的圆上．由题意，点(,)M x y在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，则|21|21CD-≤≤+，即13≤≤，∴285120a a-≤-≤，解得125a≤≤．∴C点横坐标a的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。