人教版必修二数学圆与方程阶段复习课优秀课件
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高中数学必修二课件：第四章 圆与方程 阶段复习课
国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
高中数学必修2----第四章圆与方程单元复习课件
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
4.2.3直线与圆的方程的应用
坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论.
4.3空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系
高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a2)(y b2)r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
2.直线与圆的位置关系，及圆与圆位置关系 的判定.
3.空间两点间距离公式的应用.
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) x
y
本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时， 必须确保 D2+E2-4F否>则0 ，方程不表示圆. 2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数， 两圆有一个公共点，可能是外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐 标系.
谢Байду номын сангаас观赏
z
z M（x，y，z）
右手坐标系
O
y
y
x
x 点在空间直角坐标系中的坐标
4.3.2空间两点间的距离公式
1.平面内两点 P 1 (1 x ,y 1 ,z 1 )P ,2 (2 x ,y 2 ,z 2 )的距离公式 |P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 2.几何问题转化为代数问题求解的思想.
人教A版必修二高二数学圆的方程复习课件
1)
OP
AB KOP
K AB
1
y x
y2 x 1
1
即①(x 1)2 ( y 1)2 5
2
4
当x=0时，P(0,2)也满足①式
当x=-1时，P(-1,0)满足①式
综上，所求轨迹方程为 (x 1)2 ( y 1)2 5
2
4
（方法二）∵OP⊥AB∴P的轨迹是以
c1 d c2
c1
c2
c1 c2
相关性质： I、切线问题： 1、外离d>R+r有四条公切线
2、外切d=R+r有三条公切线
3、相交R–r<d<R+r有两条公切线
4、内切d=R–r有一条公切线
5、内含d<R–r没有公切线 II、相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分 公共弦。 III、相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点， 且垂直于过切点的公切线。
高中数学课件
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一、三种位置关系：
（1）点和圆的位置关系：
已知点P(x1, y1)和圆（x a）2 （y b）2 r 2 (i)(x1 a)2 ( y1 b)2 r 2 点在圆内；
(ii)(x1 a)2 ( y1 b)2 r 2 点在圆上；
中点公式求D, kDG kMN 1
DG
O
x
M
kMN ( yM yN ) /(xM xN )
例3.求圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的方程.
解:圆(x-3)2+(y+4)2=1的圆心是C(3,-4),设对称圆圆心为
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
A
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
人教A版必修二高一数学4.1圆与方程复习课件理(10张幻灯片)新人教A版必修2
解 (1)连结 PO，PC，∵PA＝PB， OA＝BC＝1， ∴PO＝PC， 从而 a2＋b2 ＝ (a－2)2＋(b－4)2. 化简得实数 a，b 满足的等量关系为 a＋2b－5＝0. (2)由 a＋2b－5＝0，得 a＝5－2b. PA＝ PO2－OA2＝ a2＋b2－1 ＝ (5－2b)2＋b2－1＝ 5b2－20b＋24 ＝ 5(b－2)2＋4. ∴当 b＝2 时，(PA)min＝2.
与圆有关的探索性问题
例 2 已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由 圆外一点 P(a，b)引两圆的切线 PA，PB，切点分别为 A， B，满足 PA＝PB. (1)求实数 a，b 满足的等量关系； (2)求切线长 PA 的最小值； (3)是否存在以 P 为圆心的圆，使它与圆 O 相内切并且与 圆 C 相外切？若存在，求出圆 P 的方程；若不存在，请 说明理由．
(3)∵圆 O 与圆 C 的半径均为 1，若存在半径为 R 的圆 P， 与圆 O 相内切且与圆 C 相外切，则有 PO＝R－1 且 PC＝ R＋1. 于是 PC－PO＝2，即 PC＝PO＋2， 从而 (a－2)2＋(b－4)2＝ a2＋b2＋2， 两边平方，整理得 a2＋b2＝4－(a＋2b)． 将 a＋2b＝5 代入上式，得 a2＋b2＝－1<0. 故满足条件的实数 a，b 不存在， ∴不存在符合题设条件的圆 P.
(3)解 ∵CM⊥MN，∴A→M·A→N＝(A→C＋C→M)·A→N ＝A→C·A→N＋C→M·A→N＝A→C·A→N.
①当 l 与 x 轴垂直时，易得 N－1，－53， 则A→N＝0，－53. 又A→C＝(1,3)，∴A→M·A→N＝A→C·A→N＝－5.
②当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，则由 y＝k(x＋1)， x＋3y＋6＝0， 得点 N－1＋3k3－k6，1－＋53kk.∴A→N＝1－＋53k，1－＋53kk.
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件描述
方法总结二：
求圆的弦长方法 （1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 （2）代数法：求交点或韦达定理
3．已知直线 y=x+1 与圆 x2y24 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
x2y2 25
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
由
y x1
x
2
y2
消去 4
y
得 2x2 2x 3 0
( 2 ) 2 4 1 ( 3 ) 1 6
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用x1，Δ判x2 断两 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
A(x1,y1),B(x2,y2)
小结：判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
直线与圆的位置关系的判断方法:
画板
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为 零)
和的圆距(离x-为a)2+d(y-| bAa)2A=2Brb2B,则2C圆| 心(则a,b)到此直线
位置
相离
相切
相交
d与r
d>r
d=r
d<r
图形
r d
r d
r d
交点个数 0个
1个
2个
画板
练习：
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位 置关 相切
y x x2 y2
1
消 4
去
y
得 2x2 2x 3 0
x1
x2
1,
x1 x 23 2Fra biblioteky B
A
高中数学 第四章 圆的方程复习课课件 新人教A版必修2
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
人教A版 高一数学 必修2 圆与方程 复习课件
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人教A版 高一数学 必修2 圆与方程 复习课件（精品课件）
练习
求经过点M(2,－2)且过圆x2＋y2－6x＝0 与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程.
解：设所的圆的方程为：
x2＋y2－6x＋λ（ x2＋y2－4）＝0
①
∵过点M（2，－2），代入①解得： λ＝1
a. 有解，直线与圆有公共点： 有一组则相切；有两组则相交.
b. 无解，则直线与圆相离.
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(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:
设判直断线直l：线A与x＋圆B的y＋位C置＝关0，系有两种方法： 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
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3.判断两圆的位置关系的方法: (1)代数法： 由两圆的方程组成的方程组 有几组实数解确定. (2)几何法： 依据连心线的长与两圆半 径长的和或两半径的差的绝对值的大小 关系.
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在圆外：X02+y02>r2
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二、圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
xD 2 yE 2D 2E24F②
2 2
4
(1) 当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以
1 2
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( D , E ) 为圆心，
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练习
求经过点M(2,－2)且过圆x2＋y2－6x＝0 与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程.
解：设所的圆的方程为：
x2＋y2－6x＋λ（ x2＋y2－4）＝0
①
∵过点M（2，－2），代入①解得： λ＝1
a. 有解，直线与圆有公共点： 有一组则相切；有两组则相交.
b. 无解，则直线与圆相离.
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(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:
设判直断线直l：线A与x＋圆B的y＋位C置＝关0，系有两种方法： 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
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3.判断两圆的位置关系的方法: (1)代数法： 由两圆的方程组成的方程组 有几组实数解确定. (2)几何法： 依据连心线的长与两圆半 径长的和或两半径的差的绝对值的大小 关系.
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在圆外：X02+y02>r2
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二、圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
xD 2 yE 2D 2E24F②
2 2
4
(1) 当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以
1 2
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( D , E ) 为圆心，
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
人教版高中数学必修2第四章圆与方程复习课PPT
两圆内含
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
0 1 2 1 0
过点M（1，3）
2 2 x y 10x 10 y 0 例1.求半径为 3 2 ，且与圆
切于原点的圆的方程。
y
A
O C B x
过点M（1，3）
2 2 x y 10x 10 y 0 例1.求半径为 3 2 ，且与圆 M y 切于原点的圆的方程。
2
2
（2）y－x 的最小值； （3）x +y 的最大值和最小值.
2 2
例4.已知点P（10，0），Q为圆x2+y2=16上一点动 点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程。
变式:在△ABC 中,已知 BC 2 ,且 , 求点 A 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
AB m AC
例5.过直线x 2上一点M向以C为圆心 的圆( x 5) ( y 1) 1作切线，切
圆内、圆上、圆外 相切、相交、相离 相切（内切、外切）、相交、 相离(外离、内含)
判别方法 几何方法、代数方法
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
位置关系
相离 相切 相交
判断方法 d r或0
d r 或0 d r 或 0
圆与圆位置关系
位置关系 d 和R、 r关系(R>r) 交点
4.求实数m,使直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0 (1)相交;(2)相切;(3)相离.
5.已知两圆 C1 : x 2 y 2 6 x 6 0, C2 : x 2 y 2 4 y 6 0, 判断圆 C1与C2的位置关系
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
0 1 2 1 0
过点M（1，3）
2 2 x y 10x 10 y 0 例1.求半径为 3 2 ，且与圆
切于原点的圆的方程。
y
A
O C B x
过点M（1，3）
2 2 x y 10x 10 y 0 例1.求半径为 3 2 ，且与圆 M y 切于原点的圆的方程。
2
2
（2）y－x 的最小值； （3）x +y 的最大值和最小值.
2 2
例4.已知点P（10，0），Q为圆x2+y2=16上一点动 点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程。
变式:在△ABC 中,已知 BC 2 ,且 , 求点 A 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
AB m AC
例5.过直线x 2上一点M向以C为圆心 的圆( x 5) ( y 1) 1作切线，切
圆内、圆上、圆外 相切、相交、相离 相切（内切、外切）、相交、 相离(外离、内含)
判别方法 几何方法、代数方法
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
位置关系
相离 相切 相交
判断方法 d r或0
d r 或0 d r 或 0
圆与圆位置关系
位置关系 d 和R、 r关系(R>r) 交点
4.求实数m,使直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0 (1)相交;(2)相切;(3)相离.
5.已知两圆 C1 : x 2 y 2 6 x 6 0, C2 : x 2 y 2 4 y 6 0, 判断圆 C1与C2的位置关系
人教A版高中数学必修二同步学习：第四章圆与方程章末复习课PPT课件
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P 在圆外 . (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P 在圆内 . (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P 在圆上 . 3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d > r→相离；
解答
类型三 圆与圆的位置关系
例3 已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2 两点，若点A到直线P1P2的距离为 5，求这个圆的方程. 解 设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 4 3，求l的方程；
解答
(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程. 解 设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)， 则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
y－6 y－5 即x＋2· x ＝－1， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A， B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为_(_x_－__1_)_2＋__(_y_－___2_)_2＝__2___. 解析 取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB. 由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝ |CD|2＋|AD|2＝ 2， 即圆 C 的半径为 2. 又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)， 所以圆心 C(1， 2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P 在圆外 . (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P 在圆内 . (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P 在圆上 . 3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d > r→相离；
解答
类型三 圆与圆的位置关系
例3 已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2 两点，若点A到直线P1P2的距离为 5，求这个圆的方程. 解 设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 4 3，求l的方程；
解答
(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程. 解 设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)， 则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
y－6 y－5 即x＋2· x ＝－1， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A， B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为_(_x_－__1_)_2＋__(_y_－___2_)_2＝__2___. 解析 取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB. 由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝ |CD|2＋|AD|2＝ 2， 即圆 C 的半径为 2. 又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)， 所以圆心 C(1， 2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
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【补偿训练】圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=4 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4 【解析】选D.由圆的标准方程得圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
主题二 直线与圆的位置关系
D［. 0,1］
【自主解答】(1)选A.方法一：因为|PQ|=2sin 60°= 3 ，
圆心到直线的距离d= 1 ( 3 )2 1，
所以
1 1，解得k=±
k2 1 2
2
3.
2
方法二：利用数形结合．如图所示，因为直线 y=kx+1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2+y2=1上， 故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ= 120°，所以∠QPO=30°，故∠PAO=60°，所以k= 3 ，即直线 PA的斜率为 3 .同理可求得直线PB的斜率为- 3 .
小的圆的标准方程是
.
【解析】因为圆A:(x-6)2+(y-6)2=18的圆心为A(6,6),
半径r1=3 2 ,又A到l的距离为5 2 ,
所以所求圆B的直径2r2=2 2 ,即r2= 2 .
设B(m,n),则由BA⊥l得
n－6 m－6
1，
又因为B到l距离为 2 ,
所以 |m n－2| 2，解出m=2,n=2或m=0,n=0(不合题意,舍去).
【补偿训练】圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2 的点共有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心C的坐
标为(-1,-2),半径r=2 2 ,如图所示,圆心C到 直线x+y+1=0的距离为 2 ,故过圆心C与直线x+ y+1=0平行的直线l与圆的两个交点A,B到直线x+y+1=0的距离
【自主解答】(1)选A.圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0),
(3,-1),则圆心距d=
10,故2r= 10,r=
10 .
2
(2)x2+y2-10x-10y=0①;
x2+y2+6x-2y-40=0②;
②-①整理得:2x+y-5=0即为公共弦所在直线的方程.
x2+y2-10x-10y=0可化为(x-5)2+(y-5)2=50, 圆心到2x+y-5=0的距离 d |10 5－5| 2 5，
2.若直线x-y=2被圆(x－a)2+y2=4所截得的弦长为2 2，则实数 a的值为( )
A.-1或 3
B.1或3
C.-2或6
D.0或4
【解析】选D. d | a－2 | 2, |a－2|=2,a=4或a=0.
2
3.(2014·菏泽高一检测)方程 4 x2 =lgx的根的个数是 ()
【补偿训练】两圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0 的公切线有 ( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.以上都不对
【解析】选A.两圆圆心分别为(-2,2),(2,5),
所以圆心距为5,两圆半径为2,4,
所以两圆位置关系为相交,所以其公切线有2条.
主题四 数形结合思想
【解析】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=16的圆心为C(1,0), 因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2, 直线l的方程为y=2(x-1), 即2x-y-2=0. (2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的斜率为- 1 ,
2
直线l的方程为y-2=- 1 (x-2),即x+2y-6=0.
2
x－a
问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值 问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点 的距离的平方的最值问题.
7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直 角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1＋k2 |xA-xB|= (1＋k2［) (xA＋xB )2－4xAxB］. 注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【解析】选B.设f(x)= 4 x2 ,g(x)=lgx, 则方程根的个数就是f(x),g(x)两个函数
图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示.
由图可得函数f(x)= 4 x2 与g(x)=lgx仅有1个交点,所以方程 仅有1个根.
【典例4】(1)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且
∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A.± 3
B. 3
C.± 2
D. 2
(2)若直线y=kx-1与曲线y=- 1 (x 2)2 有公共点，则k的取值
范围是( )
A.(0, 4] 3
B.[1 , 4] 33
C.[0, 1 ] 2
主题一 圆的方程
【典例1】(1)方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值
范围是 ( )
A.a<1
B.a>1
C.a<-1
D.-1<a<1
(2)求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点
P(3,-2)的圆的方程.
【自主解答】(1)选A.因为方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示 圆, 所以(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0, 解得a<1.
为 2 .又圆的半径r=2 2 ,故过圆心C作直线x+y+1=0的垂线段, 并延长与圆的交点C′到直线x+y+1=0的距离为 2 ,故选C.
【强化训练】 1.(2014·北京高一检测)以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方 程是 ( ) A.x2+y2+4x-2y+7=0 B.x2+y2+8x+4y-6=0 C.x2+y2-4x+2y-5=0 D.x2+y2-8x-2y-9=0 【解题指南】求出圆心即可用排除法选出选项. 【解析】选D.因为以(5,6)和(3,-4)为直径端点,所以圆心为 (4,1),故选D.
【典例2】(1)若曲线x2+y2+a2x+(1－a2)y－4=0关于直线y－x=0
的对称曲线仍是其本身，则实数a=( )
A. 1 2
B. 2 2
C. 1 或 2
D. 1 或 2
22
22
(2)已知直线x－my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0.
①当直线与圆相切时，求实数m的值;
②当直线与圆相交，且所得弦长为 2 10 时，求实数m的值.
(2)选D.
曲线y= 1 x 22 表示的图形是一个半圆，直线y=kx－1过定
点(0,－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可 知，k的取值范围是［0,1］，故选D.
【方法技巧】对数形结合思想的认识 数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起
来的思想,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为 图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量关 系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合,取长补短”.
阶段复习课 第四章
【答案速填】 ①标准方程; ②一般方程; ③相交; ④相切;
⑤___x_1___x_2__2____y_1 ___y_2 _2____z_1___z_2__2 _.
【核心解读】 1.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
5
【自主解答】(1)选B.因为曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y－4=0关于直
线y－x=0的对称曲线仍是其本身，所以直线y-x=0过圆心
( a2 , a2－1)，即 a2 a2 1 0， 解得a=± 2 ．
22
22
2
(2)①因为圆x2+y2-6x+5=0可化为(x－3)2+y2=4，所以圆心为
22 12
所以弦长的一半为 50－20 30，公共弦长为 2 30 .
【方法技巧】判断两圆位置关系的两种方法比较 (1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆 位置关系. (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转 化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之 间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三 种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、 相交、内切和内含五种位置关系.
4.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点在
第四象限,则直线l的方程为
.
【解析】设切线方程为y=kx,代入圆方程中,得(1+k2)x2-4x+3
=0.由Δ=0,解得k= 3 (舍去k 3 ), 所以切线方程为x+