【数学】江西省南昌市进贤一中高二上学期入学考试试卷

江西省南昌市进贤一中2019-2020学年
高二上学期入学考试试卷
第I 卷（选择题)
一、单选题（每小题5分，共60分） 1．函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是（ ）
A ．),3
1(+∞- B ．)1,3
1(- C. )3
1,31(- D.)3
1,(--∞ 2．函数的零点所在的大致区间是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知向量()()1,3,1a m b ==-，，且(2)a b b -⊥，则m =( ) A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
则的值为
4．若， A ．
B ．
C ．
D ．
5．将函数y=2sin （2x+π3）的图象向左平移1
4
个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）
A ．πy 2sin 2x 3⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭ B ．πy 2sin 2x 3⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．πy 2cos 2x 3⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭ D ．πy 2os 2x 3⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
6．在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cosB 的值为（ ） A ．1
4
-
B ．
78
C ．
14
D ．
1116
7．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若1155S =，则279a a a ++=（ ） A ．15
B ．27
C ．18
D ．12
8．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ． B. C. D.
9．小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种，则他们选择相同颜色自行车的概率为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
10．设0,0.a b >>若3
3是3a 与3b 的等比中项，则
11
a b
+的最小值为（ ） A ．12 B ．4 C ．
3
4
D ．
43
11．如图，给定两个平面向量→OA 和→
OB ，它们的夹角为120o ，点c 在以o 为圆心的圆弧AB 上，且→OC =x →OA +y →
OB （其中），则满足x+y≥2的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为（ ） A ．180
B ．200
C ．128
D ．162
第II 卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．幂函数y=(m 2-2m-2)x -4m-2在上为减函数，则实数的值是 .
14．若不等式08
3
22
≥-
+kx kx 的解集为空集,则实数k 的取值范围是 _________．
15．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝8，c ＝6，A ＝3
π
，∠BAC 的角平分线交边BC 于点D ，则|AD |＝___________.
16．若f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x≥0时，f （x ）=()πsin x 1,0x 22
f x 1,x 2-+≤≤⎧⎪
->⎨⎪⎩
，
若方程f （x ）=kx 恰有3个不同的根，则实数k 的取值范围是______ ． 三、解答题(17小题10分，18-22每小题12分，共70分) 17．记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

18．已知向量→m =（cosx ，-1），→
n =（
sinx ，cos 2x ），设函数f （x ）=→m ·→n +1
2
．
（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈（0， 2
π
）时，求函数f （x ）的值域．
19．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y=bx+a ； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
x
6 8 10 12 y
2
3
5
6
相关公式：12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑
∑，a
y bx =-.
20．2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（
）分成六段：［60,65），［65,70），［70,75）［75,80）,［80,85）,
［85,90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在［60,70）的车辆中任抽取2辆，求车速在［65,70）的车辆恰有一辆的概率．
21．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7,c ABC △=的面积为
33
2
，求ABC △的周长．
a
b
22．已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求a的取值范围.
参考答案
1．B 2． B 3．B
4． A 5． C 6． B 7． A 8． A 9．B 10．D 11．B 12．B 【解析】取弧AB 的中点M ，设
,向量
与
的夹角为，则，
,
，
相加得.又
即
，当
，.所以
概率为
12．B 【解析】
根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。

可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B 。

13．3 14．（-3，0] 15．
16．[-
13，-14）∪（14，1
3
] 【详解】∵当x ＞2时，f （x ）=f （x-1），∴f （x ）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f （x ）的函数图象
∵方程f （x ）=kx 恰有3个不同的根，∴y=f （x ）与y=kx 有三个交点，若k ＞0，则
3111414
3k k k ≤⎧∴<≤⎨
>⎩若k ＜0，由对称性可知11
34k -≤<-. 故答案为[-
13，-14）∪（14，13
]. 17． 试题解析：（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得()()12
112{
16
a q a q q
+=++=- ，解得2q =-，
12a =-.
故{}n a 的通项公式为()2n
n a =-. （2）由（1）可得(
)()
1
1122113
3
n
n n
n a q S q
+-=
=-+--.
由于()()321
21422221212333
3n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，
故1n S +， n S ， 2n S +成等差数列. 18． 试题解析：（1）依题意得
的最小正周期是：
由
解得
，
从而可得函数的单调递增区间是：
（2）由，可得 从而可得函数的值域是：
19．试题解析：
()1把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如图所示：
（2）由题意得
x =
68101294+++=，y =2356
44
+++=，
16283105126158n
i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
2
22221
1
681012344n
i x
==+++=∑，
∴158494140.734449220
b ，∧
-⨯⨯=
==-⨯ ∴40.79 2.3a y b x ∧∧
=-=-⨯=-,
∴线性回归方程为0.7 2.3.y x ∧
=-
()3由回归直线方程知，当9x =时，0.79 2.3 6.3 2.34y ∧
=⨯-=-=，
所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4． 20． 试题解析：
（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5， 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得
．
即中位数的估计值为
．
（2）从图中可知，车速在的车辆数为：
（辆），
车速在的车辆数为：
（辆），
设车速在
的车辆设为，，车速在的车辆设为，，，，则所有基本事件有： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种， 其中车速在
的车辆恰有一辆的事件有：
，
，
，
，
，
，
，
共8种． 所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为
．
21．
试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，
()2cos sin sin C ΑΒC +=． 故2sin cos sin C C C =．
可得1cos 2C =
，所以π
C 3
=． （Ⅱ）由已知，
133
sin 22ab C =． 又πC 3
=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，2
2
2cos 7a b ab C +-=． 故2
2
13a b +=，从而()2
25a b +=．
所以ΑΒC △的周长为57+． 22．(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由偶函数得
，根据对数运算法则化简得的值；（2）化简方程
得关于
一元二次方程
，先讨论
时，是否满足条
件，再根据实根分布讨论的取值范围．本题也可利用参变分离法，转化为讨论函数交点个数.
试题解析：解：（1）∵（
）是偶函数，
∴
对任意
，恒成立
即：恒成立，∴
（2）由于，所以定义域为，也就是满足
∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解
令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解
当时，解得，不合题意；
当时，记，其图象的对称轴
∴函数在上递减，而
∴方程（*）在无解
当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为
综上所述，所求的取值范围为。