2021学年江西省南昌市某校、十七中三校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)

2021学年江西省南昌市某校、十七中三校高一（上）10月月考
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 下列五个写法：①{0}∈{1, 2, 3}；②⌀⊆{0}；③{0, 1, 2}⊆{1, 2, 0}；④0∈⌀；⑤0∩⌀=⌀，其中错误写法的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2. 若1∈{x, x 2}，则x ＝（ ）
A.1
B.−1
C.0或1
D.0或1或−1
3. 设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n 2+n ，则在映射f 下，像20的原像是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
4. 已知实数集R ，集合M ＝{x|0≤x ≤4}，集合N ＝{x|y =√x−1}，则M ∩(∁R N)＝（ ） A.{x|0≤x <1}
B.{x|0≤x ≤1}
C.{x|1<x ≤4}
D.{x|1≤x ≤4}
5. 若a =√(3−π)33，b =√(2−π)44，则a +b 的值为（ ）
A.1
B.5
C.−1
D.2π−5
6. 已知函数y ＝f(x)的定义域[−8, 1]，则函数g(x)=
f(2x+1)x+2的定义域是（ ） A.(−∞, −2)∪(−2, 3]
B.[−8, −2)∪(−2, 1]
C.[−92, −2)∪(−2, 0]
D.[−9
2, −2]
7. 已知函数f(x)＝x 2−2x 在区间[−1, t]上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ）
A.(1, 3]
B.[1, 3]
C.[−1, 3]
D.(−1, 3]
8. 已知函数f(x)为偶函数，且在区间(−∞, 0]上单调递增，若f(−3)=−2，则不等式f(x)≥−2的解集为（ ）
A.[−3, 0]
B.(−∞, −3]∪[3, +∞)
C.[−3, +∞)
D.[−3, 3]
9. 已知函数f(x)={x 2+1，x ≤12x +ax ，x >1
，若f(f(1))=4a 则实数a 等于( ) A.12 B.43 C.2 D.4
10. 已知a +1a =7，则a 12+a
−12=( ) A.3
B.9
C.−3
D.±3
11. 已知f(√x −3)=x +√x −3+1，则函数f(x)的值域为（ ）
A.[0, +∞)
B.[4, +∞)
C.[154,+∞)
D.[154,4]
12. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[k]，即[k]＝{5n +k|n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013∈[3]；②−2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④若整数a ，b 属于同一“类”，则“a −b ∈[0]”．其中正确结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
计算：(94)12+(−9.6)
0−(278)−23×(32)2=________．
将集合{(x, y)|2x +3y ＝16, x, y ∈N}用列举法表示为________．
若函数f(x)＝mx 2−x −m 在区间(−∞, 1)上是单调减函数，则实数m 的取值范围是________[0,12] ．
函数f(x)={x 2−ax +3a,(x >2),x +1,(x ≤2)
是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）
已知集合U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，A ＝{x|3≤x ≤7, 且x ∈U}，B ＝{x|x ＝3n, n ∈Z, 且x ∈U}
（1）写出集合B 的所有子集；
（2）求A∩B，A∪∁U B．
设集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，（1）若m＝4，求A∪B；
（2）若B∩A＝B，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)={1
x
,x<0
x2−2x,0≤x<3
−x+6,x≥3
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．
已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝−x2+2x．
（1）求函数f(x)在R上的解析式；
（2）若函数f(x)在区间[−1, a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=x+1
x
．
（1）判断函数f(x)在(0, 1)内的单调性，并用定义证明；
（2）当x∈[1
4,1
2
]时，x2−ax+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
函数f(x)＝2x2−2ax+3在区间[−1, 1]上的最小值记为g(a)．（1）当a＝2时，求函数f(x)在区间[−1, 2]上的值域；
（2）求g(a)的函数表达式；（3）求g(a)的最大值．
参考答案与试题解析
2021学年江西省南昌市某校、十七中三校高一（上）10月月考
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
元素与集合关系的判断
【解析】
据“∈”用于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，⌀是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对. 【解答】
解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系，故①错;
对于②，⌀是任意集合的子集，故②对;
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，故③对;
对于④，因为⌀是不含任何元素的集合，故④错;
对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错.
故①④⑤错误.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
根据题意，若1∈{x, x2}，则必有x＝1或x2＝1，进而分类讨论：①x＝1和x2＝1，每种情况下求出x的值．并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，若1∈{x, x2}，则必有x＝1或x2＝1，
进而分类讨论：
①、当x＝1时，x2＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去，
②、当x2＝1，解可得x＝−1或x＝1（舍）
当x＝−1时，x2＝1，符合题意，
综合可得，x＝−1，
3.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
A中的元素为原象，B中的元素为象，由2n+n＝20即可解出结果．
【解答】
解：由n 2+n =20求n ，用代入验证法法可知n =4．
故选C .
4.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
分别求出集合M ，N ，从而求出∁R N ，由此能求出M ∩(∁R N)的值．
【解答】
实数集R ，集合M ＝{x|0≤x ≤4}，
集合N ＝{x|y =√x−1}＝{x|x >1}，
∴ ∁R N ＝{x|x ≤1}，
∴ M ∩(∁R N)＝{x|0≤x ≤1}．
5.
【答案】
A
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
根据根式的性质化简即可．
【解答】
a =√(3−π)33=3−π，
b =√(2−π)44
=π−2，
∴ a +b ＝3−π+π−2＝1，
6.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数f(x)的定义域求出2x +1的范围，结合分母不为0求出函数g(x)的定义域即可．
【解答】
由题意得：
−8≤2x +1≤1， 解得：−92≤x ≤0， 由x +2≠0，解得：x ≠−2， 故函数的定义域是[−9
2, −2)∪(−2, 0]，
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
求出函数的对称轴，判断开口方向，然后通过函数值求解即可．
【解答】
函数f(x)＝x2−2x的对称轴为：x＝1，开口向上，而且f(−1)＝3，
函数f(x)＝x2−2x在区间[−1, t]上的最大值为3，又f(3)＝9−6＝3，
则实数t的取值范围是：(−1, 3]．
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化，结合单调性的性质进行求解即可．
【解答】
解：∵f(x)为偶函数，若f(−3)=−2，
∴f(3)=−2，则不等式f(x)≥−2等价为f(x)≥f(3)，
又f(x)在区间(−∞, 0]上单调递增，
∴f(x)在[0, +∞)上为减函数，
∴不等式f(x)≥f(3)等价为f(|x|)≥f(3)，
即|x|≤3，
得−3≤x≤3，
即不等式的解集为[−3, 3].
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数，先求出f(1)，然后利用条件f（f(1)）=4a，建立方程关系进行求解即可．
【解答】
解：由分段函数可知f(1)=1+1=2，
∴f(f(1))=f(2)=4+2a.
即4a=4+2a，
∴2a=4，
解得a=2．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
利用已知条件，通过开方运算，求解即可．
【解答】
知a +1a =7，
可得a >0，
a 12+a
−12>0， ∴ a 12+a
−12=√(a 12+a −12)2=√7+2=3． 11.
【答案】
B 【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
由已知利用配凑法求解f(x)，然后结合二次函数的性质即可求解函数的值域．
【解答】
∵ f(√x −3)=x +√x −3+1=x −3+√x −3+4，
∴ f(x)＝x 2+x +4(x ≥0)，
∵ f(x)＝x 2+x +4在[0, +∞)上单调递增，
故当x ＝0时，函数有最小值4，即函数f(x)的值域为[4, +∞)．
12.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据“类”的定义分别进行判断即可．
【解答】
①∵ 2013÷5＝402...3，∴ 2013∈[3]，故①正确；
②∵ −2＝5×(−1)+3，∴ −2∈[3]，故②错误；
③∵ 整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪
[4]，故③正确；
④∵ 整数a ，b 属于同一“类”，∴ 整数a ，b 被5除的余数相同，从而a −b 被5除的余数为0，故④正确．
正确的结论为①③④．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
【答案】
32
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
【解析】
按照分数指数幂的运算法则算得即可．
【解答】
(94)12+(−9.6)0−(278)−23×(32)2=(32)2×12+1−(32)3×(−23)×(32)2=32+1−1=32．
【答案】
{(2, 4), (5, 2), (8, 0)}
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
将方程变形，可得y为偶数且y≤5，由此可得结论．
【解答】
∵3y＝16−2x＝2(8−x)，且x∈N，y∈N，
∴y为偶数且y≤5，
∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0．
【答案】
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
由m＝0时，f(x)＝−x，可知符合题意，当m≠0时，f(x)为二次函数，由二次函数的图象和性质即可解得m的取值范围．
【解答】
当m＝0时，f(x)＝−x，此时在(−∞, 1)上单调递减，所以符合题意；
当m≠0时，因为函数f(x)＝mx2−x−m在区间(−∞, 1)上是单调减函数，
所以{m>0
1
2m
≥1，解得0<m≤
1
2
，
综上：m的取值范围为[0, 1
2
]．
【答案】
[−1, 4]
【考点】
分段函数的应用
【解析】
首先根据函数的单调性确定a的范围，进一步利用在x＝2出函数值的大小关系确定结果．
【解答】
∵函数f(x)={x2−ax+3a,(x>2),
x+1,(x≤2)
是R上的单调递增函数；
∴需满足a
2
≤2且22−2a+3a≥2+1；
∴−1≤a≤4．
∴实数a的取值范围是[−1, 4]．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）
【答案】
因为B＝{x|x＝3n, n∈Z, 且x∈U}，所以B＝{3, 6, 9}，
所以B的子集有：⌀，{3}，{6}，{9}，{3, 6}，{3, 9}，{6, 9}，{3, 6, 9}
由（1）B＝{3, 6, 9}，所以∁U B＝{1, 2, 4, 5, 7, 8}，
因为A＝{x|3≤x≤7, 且x∈U}，所以A＝{3, 4, 5, 6, 7}，
所以A∩B＝{3, 6}，A∪∁U B＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）求出集合A，B的等价条件，结合子集的定义进行求解．
（2）根据集合交集，补集，并集的定义进行计算即可．
【解答】
因为B＝{x|x＝3n, n∈Z, 且x∈U}，所以B＝{3, 6, 9}，
所以B的子集有：⌀，{3}，{6}，{9}，{3, 6}，{3, 9}，{6, 9}，{3, 6, 9}
由（1）B＝{3, 6, 9}，所以∁U B＝{1, 2, 4, 5, 7, 8}，
因为A＝{x|3≤x≤7, 且x∈U}，所以A＝{3, 4, 5, 6, 7}，
所以A∩B＝{3, 6}，A∪∁U B＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}．
【答案】
由题意：集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，
当m＝4时，B＝{x|5≤x≤7}，∴A∪B＝{x|−2≤x≤7}．
∵B∩A＝B，∴B⊆A，
当B＝Φ时，满足题意，此时m+1>2m−1，解得：m<2；
当B≠Φ时，−2≤m+1≤2m−1≤5，解得：2≤m≤3；
综上所得：当B⊆A时，m的取值范围为(−∞, 3]．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）求出集合A，B，由此能滶出A∪B．
（2）由B∩A＝B，得B⊆A，当B＝⌀时，m+1>2m−1，当B≠⌀时，−2≤m+ 1≤2m−1≤5，由此能求出当B⊆A时，m的取值范围．
【解答】
由题意：集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，
当m＝4时，B＝{x|5≤x≤7}，∴A∪B＝{x|−2≤x≤7}．
∵B∩A＝B，∴B⊆A，
当B＝Φ时，满足题意，此时m+1>2m−1，解得：m<2；
当B≠Φ时，−2≤m+1≤2m−1≤5，解得：2≤m≤3；
综上所得：当B⊆A时，m的取值范围为(−∞, 3]．
【答案】
图象如图所示
定义域为R，
增区间为[1, 3]，减区间为(−∞, 0)、[0, 1]、[3, +∞)，
值域为(−∞, 3]．
【考点】
函数与方程的综合运用 【解析】
（1）根据函数解析式，分别作出各段图象即可；（2）由解析式可求出函数的定义域，由图观察，即可得到单调区间以及值域． 【解答】 图象如图所示 定义域为R ，
增区间为[1, 3]，减区间为(−∞, 0)、[0, 1]、[3, +∞)， 值域为(−∞, 3]．
【答案】
设x <0，−x >0，则f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ，
又f(x)为奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，于是x <0时f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x >0
0,x =0
x 2+2x,x <0 ． 画出函数f(x)的图象， 【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f(x)在R 上的解析式；
（2）由（1）画出函数f(x)的图象，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a 的取值范围． 【解答】
设x <0，−x >0，则f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ，
又f(x)为奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，于是x <0时f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x >0
0,x =0
x 2
+2x,x <0 ． 画出函数f(x)的图象，
【答案】
任意取x 1，x 2∈(0, 1)且x 1<x 2，
则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1
)−(x 2+1x 2
)=(x 1−x 2)(1−1
x
1x 2
)=(x 1−x 2)(
x 1x 2−1x 1x 2
)，
因为x 1<x 2， 所以x 1−x 2<0， 且0<x 1x 2<1， 所以x 1x 2−1<0
所以f(x 1)−f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)，
所以f(x)在(0, 1)上是单调减函数． 由x 2
−ax +1≥0得a ≤
x 2+1x
=x +1
x 恒成立，
由（1），f(x)=x +1x
在x ∈[14,1
2
]为减函数，
∴ 当x =12
，f(x)=x +1x
取得最小值5
2
，
∴ a ≤5
2
．
【考点】
函数恒成立问题 【解析】
（1）直接根据单调性的定义证明即可；
（2）把参数a 分离出来，借助于第一问的结论即可求解． 【解答】
任意取x 1，x 2∈(0, 1)且x 1<x 2，
则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1
)−(x 2+1x 2
)=(x 1−x 2)(1−1
x
1x 2
)=(x 1−x 2)(
x 1x 2−1x 1x 2
)，
因为x 1<x 2， 所以x 1−x 2<0， 且0<x 1x 2<1， 所以x 1x 2−1<0
所以f(x 1)−f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)，
所以f(x)在(0, 1)上是单调减函数． 由x 2−ax +1≥0得a ≤
x 2+1x
=x +1
x 恒成立，
由（1），f(x)=x +1x
在x ∈[14,1
2
]为减函数，
∴ 当x =12，f(x)=x +1x 取得最小值5
2， ∴ a ≤5
2．
【答案】
当a ＝2时，f(x)＝2x 2−4x +3＝2(x −1)2+1， 当x ＝1时，函数有最小值为1； 当x ＝−1时，函数有最大值为9； 则函数的值域为[1, 9]．
①当a<−2时，函数f(x)的对称轴x=a
2
<−1，则g(a)＝f(−1)＝2a+5；
②当−2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x=a
2∈[−1,1]，则g(a)=f(a
2
)=3−a2
2
；
③当a>2时，函数f(x)的对称轴x=a
2
>1，则g(a)＝f(1)＝5−2a．
综上所述，g(a)={
2a+5,(a<−2)
3−a2
2
,(−2≤a≤2)
5−2a,(a>2)
．（1）①当a<−2时，g(a)<1；
②当−2≤a≤2时，g(a)∈[1, 3]；
③当a>2时，g(a)<1．
由①②③可得g(a)max＝3．
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）当a＝2时，f(x)＝2x2−4x+3＝2(x−1)2+1，利用数形结合，求得最大值和最小值即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数f(x)的单调区间，从而求出g(a)的表达式；
（3）结合g(a)的表达式，求出g(a)的最大值即可．
【解答】
当a＝2时，f(x)＝2x2−4x+3＝2(x−1)2+1，
当x＝1时，函数有最小值为1；
当x＝−1时，函数有最大值为9；
则函数的值域为[1, 9]．
①当a<−2时，函数f(x)的对称轴x=a
2
<−1，则g(a)＝f(−1)＝2a+5；
②当−2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x=a
2∈[−1,1]，则g(a)=f(a
2
)=3−a2
2
；
③当a>2时，函数f(x)的对称轴x=a
2
>1，则g(a)＝f(1)＝5−2a．
综上所述，g(a)={
2a+5,(a<−2)
3−a2
2
,(−2≤a≤2)
5−2a,(a>2)
．（1）①当a<−2时，g(a)<1；
②当−2≤a≤2时，g(a)∈[1, 3]；
③当a>2时，g(a)<1．
由①②③可得g(a)max＝3．。