2020版高考理科数学(经典版)复习作业：第二章 函数与基本初等函数 第3讲 配套

配套课时作业
1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
★答案★ B
解析 对于A ，y ＝x 3是奇函数；对于B ，y ＝|x |＋1为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增；对于C ，y ＝－x 2＋1为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减；对于D ，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x 是减函数．故选B.
2．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0时，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) ★答案★ B
解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．
3．(2019·安庆模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数．若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 1
24)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．c >b >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b ★答案★ B
解析 由已知得，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，b ＝f (－2)＝f (2)，而1<20.3<2<log 25，故c >b >a .故选B.
4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13的x
的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 ★答案★ A
解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23.
5．(2019·大连双基测试)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14
★答案★ B
解析 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称， 由于函数f (x )在[0,1]上是增函数， 故f (x )在[－1,0]上也是增函数，
综上函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32. 6．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数
B ．f (x )－|g (x )|是奇函数
C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数
D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 ★答案★ A
解析 由g (x )是奇函数，可得g (－x )＝－g (x )，
∴|g (x )|＝|g (－x )|，即|g (x )|为偶函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．故选A.
7．已知函数f (x )在[0,4]上是增函数，且函数y ＝f (x ＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A ．f (2)<f (4)<f (5)
B ．f (2)<f (5)<f (4)
C ．f (5)<f (4)<f (2)
D ．f (4)<f (2)<f (5) ★答案★ B
解析 因为函数y ＝f (x ＋4)是偶函数，所以函数y ＝f (x ＋4)的图象关于直线x ＝0对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以f (5)＝f (3)，又函数
y＝f(x)在[0,4]上是增函数，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(5)<f(4)．故选B.
8．(2019·湖南模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()
A．－3 B．－1 C．1 D．3
★答案★ C
解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.
9．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－
1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>1
2时，f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
2＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2.则f(6)＝()
A．－2 B．－1 C．0 D．2 ★答案★ D
解析当x>1
2时，由f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
2＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而
f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D.
10．已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R都有f(x1＋x2)－f(x1)＝f(x2)＋5，则下列命题正确的是()
A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数
C．f(x)＋5是奇函数D．f(x)＋5是偶函数
★答案★ C
解析取x1＝x2＝0，得f(0＋0)－f(0)＝f(0)＋5，所以f(0)＝－5.令x1＝x，x2＝－x，则f[x＋(－x)]－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(0)－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(－x)＋5＝－[f(x)＋5]，所以函数f(x)＋5是奇函数，故选C.
11．(2018·贵阳适应性监测)若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝()
A．{x|－2<x<0或x>2}
B．{x|0<x<2或x>4}
C．{x|x<0或2<x<4}
D．{x|x<－2或x>2}
★答案★ B
解析当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－2<x－2<0或x－2>2，即0<x<2或x>4时，有f(x－2)>0.故选B.
12．已知函数f(x)＝－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
★答案★ A
解析设F(x)＝f(x)－3＝－3x3－5x，则F(x)为奇函数，且在R上为减函数．f(a)＋f(a－2)>6等价于f(a－2)－3>－f(a)＋3＝－[f(a)－3]，即F(a－2)>－F(a)＝F(－a)，所以a－2<－a，即a<1，故选A.
13．若函数f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.
★答案★ 1
解析解法一：由题意得f(x)＝x ln (x＋a＋x2)＝f(－x)＝－x ln (a＋x2－x)，
所以a＋x2＋x＝
1
a＋x2－x
，解得a＝1.
解法二：令g(x)＝ln (x＋a＋x2)，由f(x)为偶函数，则有g(x)＝ln (x＋a＋x2)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
14．(2018·衡水模拟)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
★答案★－1
解析∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，
∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3.
因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
15．(2019·河南重点中学模拟)已知f (x ＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－2x (x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32的值为________．
★答案★ －1
2
解析 f (x ＋1)是周期为2的函数，则f (x )也是周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12. 由f (x ＋1)是奇函数，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)， 即f (x )＝－f (2－x )，
故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝－12.
16．(2019·金版创新)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f (x )
1－f (x )
，当f (1)＝2时，f (2018)＋f (2019)的值为________．
★答案★ －72
解析 由f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，f (1)＝2，得f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝1
3，f (5)
＝2，f (6)＝－3，f (7)＝－12，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (2018)＋f (2019)＝f (2)＋f (3)＝－7
2.
17．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．
解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，
∴⎩⎨⎧
－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2
≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，
∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，解得－2<m <1.② 综合①②可知－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)． 18．(2019·吉林模拟)已知函数f (x )＝ax ＋b
x 2＋1
为定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1
2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)判断并证明函数f (x )在(－1,0)上的单调性． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
f (0)＝b ＝0，f (1)＝a ＋b 2＝1
2，解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝0，
所以f (x )＝
x x 2＋1
. (2)函数f (x )在(－1,0)上单调递增． 证明如下：
任取x 1，x 2∈(－1,0)，且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 2
1－x 2
(x 21＋1)(x 22＋1)＝(1－x 1x 2)(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 2
2＋1)
<0，即f (x 1)<f (x 2)，
所以函数f (x )在(－1,0)上单调递增．
19．已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.
求证：(1)f (x )是偶函数； (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0， 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，
令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2
x 1
>1，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
20．(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x －1
2x ＋1.
(1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；
(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x ＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)∵f (x )的定义域R 关于原点对称，且 f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝(2－x －1)·2x (2－x ＋1)·2x ＝1－2x 1＋2x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
(2)f (x )在R 上单调递增． 证明如下：
设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)
(2x 2＋1)(2x 1＋1)，
∵函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴2x 2>2x 1，故2x 2－2x 1>0，∴f (x 2)>f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上单调递增． (3)∵f (k ·3x )＋f (3x －9x ＋2)<0， ∴f (k ·3x )<－f (3x －9x ＋2)， 又f (x )为奇函数， ∴f (k ·3x )<f (－3x ＋9x －2)． ∵f (x )在R 上是增函数，
∴k ·3x <－3x ＋9x －2对任意x ≥1恒成立， ∴k <3x －2
3x －1对任意x ≥1恒成立． 设t ＝3x ，则t ≥3，
∵y ＝t －2
t －1在[3，＋∞)上为增函数， ∴当t ＝3时，函数y ＝t －2
t －1取得最小值， 且y min ＝3－23－1＝4
3.
∴k <43，∴实数k 的取值范围为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，43.
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