2017_2018学年高中数学第二章平面向量课时作业14向量的加法新人教B版必修4

课时作业14 向量的加法
(限时：10分钟)
1．设(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →
)＝a ，而b 是一非零向量，则下列结论中，正确的有( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①②
解析：a ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0. 答案：A
2．已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →
|等于( ) A ．1 B ．2 2 C ．3 D. 2
解析：原式＝2|AC →
|＝2 2. 答案：B
3．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＋BA →
等于( ) A ．a B ．b C ．0 D ．a ＋b
解析：BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＝AC →＋CD →＝AD →
＝b . 答案：B
4．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋DC →
|＝__________.
解析：如图，|BC →＋DC →|＝|AC →
|，在Rt △AOB 中，AB ＝1，∠CAB ＝30°，AC ＝2AO ＝2AB ·cos30°＝ 3.
答案： 3 5.
如图，△ABC 中O 为重心，化简下列三式：
(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.
解析：(1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →
.
(2)解法一：OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →
. 解法二：原式＝OE →＋(EA →＋AB →)＝OE →＋EB →＝OB →
. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.
(限时：30分钟)
1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案：A
2．下列四式中不能化简为PQ →
的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →＋CQ →) C.PC →＋CD →＋DQ → D.PA →＋AB →＋QB →
解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A ，B ，C 可化简为PQ →，D 中PA →＋AB →＋QB →
＝PB →＋QB →≠PQ →.
答案：D 3．下列说法：
①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →
＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；
④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．
其中正确说法的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：①错，若a ＋b ＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A ，B ，C 三点共线时也满足；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.
答案：B
4．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同 D ．与向量b 的方向相反
解析：根据向量加法的几何意义，a ＋b 的方向应与a 的方向一致． 答案：A
5．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →
|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定
解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →
|. 又|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →
|， ∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形． 答案：B
6．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →
)，b 是任一非零向量，有下列结论：
①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，正确的结论为( ) A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤
解析：因为a ＝0，所以①③⑤正确． 答案：C
7．当非零向量a ，b 满足__________时，a ＋b 平分a ，b 间的夹角． 答案：|a |＝|b |
8．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值是__________． 解析：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，a ，b 异向共线，此时|a ＋b |的最小值为4. 答案：4
9．若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →
，则∠ACB ＝__________.
解析：∵PA →＋PB →＝PC →
，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，
∴|PA →|＝|PB →|＝|PC →
|.因此∠ACB ＝120°. 答案：120°
10．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.
证明：如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝1
2AC ，EF ∥AC ，同
理HG ＝1
2
AC ，HG ∥AC .
所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →
同向， 所以EF →＝HG →.
11．在水流速度为10 km/h 的河中，如果要使船以10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．
解析：如图，OA →表示水流方向，OB →表示垂直于对岸横渡的方向，OC →
表示船行驶速度的方向，由OB →＝OC →＋OA →，及OA →＝CB →且∠OBC ＝90°，知|OC →
|＝20，∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向成120°角．
12．如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平柱AB 上，∠ACW ＝150°，∠
BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解析：设CE →，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →
.
因为∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°，
所以|CE →|＝|CG →|cos30°＝10×3
2＝53(N)，
|CF →|＝|CG →|cos60°＝10×1
2
＝5(N)．
即A 处所受力的大小为5 3 N ．B 处所受力的大小为5 N.。