2021年新课标新高考数学复习课件：§9.5 抛物线

∴1
|FP|
+
1 |FQ|
=
x1
1
2
+
x2
1
2
=
x1x2
x1 x2 4 2(x1 x2 )
4
=
4
8 4k 2 k2
2(8 4k 2
k2
4 )
4
=
1 2
.故选A.
(2)解法一:过A,B作准线的垂线,垂足分别为M,N,
由抛物线的定义可知,|BN|=|BF|,|AM|=|AF|,
∵CuuBur
考点二 抛物线的几何性质
1.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0)
图形
x2=-2py(p>0)
对称轴 ① x轴
顶点 焦点
O(0,0)
F
p 2
,0
准线 方程
x=- p
2
范围 x≥0,y∈R 离心率 e=1
② y轴
F
-
p 2
,0
由y2=8x可得焦点F的坐标为(2,0),
因此直线y=k(x-2)过焦点.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
p
则|FP|=x1+ 2 =x1+2,|FQ|=x2+2.
联立
y y
k(x-2), 2 8x,
消去y,得k2x2-(8+4k2)x+4k2=0.
则x1+x2=
8
4k k2
2
,x1x2=4.
p 2
.
2.非焦点弦性质
(1)已知直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点,若OA⊥OB,则直线l过定 点(2p,0),反之亦成立; (2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称
轴上一点,则|MN|min=|a|2(apa-pp2),(a p). 3.弦中点 设AB为抛物线的一条弦,AB中点为M(x0,y0).
(1)若抛物线为y2=2px,则kAB= p ;
y0
(2)若抛物线为x2=2py,则kAB= x0 .(其中p≠0,y0≠0)
p
知能拓展
考法一 与抛物线定义有关的问题
例1 (1)(2019河南中原名校2月联考,6)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是
抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
1 |FP|
+
1 |FQ|
=
x1x2
x与抛物线方程消去y后,再根据根与系数的关系,用整体代入的技巧求解.
解析 (1)解法一:不妨设k=1,则直线方程为y=x-2,
联立
y y
x-2, 2 8x,
消去y,得x2-12x+4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
程组
y y
kx 2 2
b, px
解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.
a.当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线和抛
物线相切,有一个公共点;若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点.
b.当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点.特别地,当直
12 (-1)2
答案 (1)C (2)B
方法总结 抛物线中有关距离问题的求法 主要把握两个转化:一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的 点到准线的距离;二是把抛物线上的点到抛物线的准线距离转化为抛物线 上的点到焦点的距离.在解题时要准确把握题设条件,进行有效转化,探求 最值问题.
考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法
(4)S△AOB=
2
p2 sin
θ
(其中θ为直线AB的倾斜角);
(5) 1 + 1 = 2 为定值;
|AF| |BF| p
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;
(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.
p
③ x= 2
x≤0,y∈R
F
0,
p 2
y=- p
2
y≥0,x∈R
F
0,-
p 2
p
④ y= 2
y≤0,x∈R
2.抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径,过抛物线焦点的直
线与抛物线相交形成的线段称为抛物线的焦点弦.
设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
则x1+x2=12,x1x2=4,
由抛物线定义知|FP|=x1+2,|FQ|=x2+2,
所以 1 + 1 = 1 + 1 = x1 x2 4 = 12 4 = 1 ,故选A.
|FP| |FQ| x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 4 2 12 4 2
解法二:由题意知k≠0.
线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有两个公共点;当m
=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线相离,无公共点. (2)直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的最 小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之,二是利 用切线法求. (3)相切时,求切线斜率,一种方法是利用Δ=0求,另一种方法是利用导数求. 3.焦点弦的性质 以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是 抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则有以下结 论:
A. 3 B.1 C. 5 D. 7
4
4
4
(2)(2019湖南三湘名校联盟第二次联考,9)已知直线l1:x=-1,l2:x-y+1=0,P为抛
物线y2=4x上任意一点,则点P到直线l1与l2的距离之和的最小值为 ( )
A.2 B. 2 C.1 D. 2
2
解题导引 (1)画出图形.由M为AB中点,联想梯形中位线性质,向抛物线定
1⊥l于点B1,MM1⊥l于点M1,由抛物线的方程知p=12 ,由抛物线定义知|AA1|+|
BB1|=|AF|+|BF|=3,所以点M到y轴的距离为|MM1|-
p 2
=1
2
(|AA1|+|BB1|)-
p 2
=
1 2
×3-
1 = 5 ,故选C.
44
(2)设抛物线的焦点为F.如图所示,作PM⊥l2于点M,PN⊥l1于点N,由抛物线y 2=4x知其准线方程为x=-1,由抛物线定义可知点P到直线l1:x=-1的距离|PN| 等于点P到焦点F的距离|PF|,∴点P到直线l1的距离与点P到直线l2的距离之 和|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|取得最小值,为点F (1,0)到直线l2:x-y+1=0的距离,即d= |1-0 1| = 2 .故选B.
=4
uuur BF
,则
|AF
|
=
(
)
|BF|
A. 5 B. 5 C.3 D.2
3
2
解题导引 (1)题设中直线斜率未知,结合四个选项中的结果均与k无关,故
可考虑用特值法求解;若用一般方法,则先设出P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线的
定义知|FP|=x1+2,|FQ|=x2+2,观察所求式子
义靠拢,把所求转化为A,B到焦点距离问题,充分借助定义解题.
(2)画出图形,作PM⊥l2于点M,PN⊥l1于点N,由l1:x=-1是抛物线y2=4x的准线
知|PN|=|PF|(F为抛物线的焦点),把所求转化为求|PM|+|PF|的最小值,当P,M,
F三点共线时,取到最小值,为F到直线l2的距离. 解析 (1)如图所示,设抛物线的准线为l,AB的中点为M,作AA1⊥l于点A1,BB
(3)定义中定点与定直线的位置关系为:定点F不能在定直线l上.若定点F在 定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线,因此在用抛物线 定义解决动点轨迹问题前,应首先判断定点与定直线的位置关系. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线 的四种不同形式的标准方程y2=±2px,x2=±2py,其中p>0.
标准 方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
焦半 径长
p
p -x0
⑤ 2+x0
2
p
p -y0
⑥ 2+y0
2
焦点 弦长
p+(x1+x2)
⑦ p-(x1+x2)
p+(y1+y2)
⑧ p-(y1+y2)
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系 (1)点P(x0,y0)在抛物线内⇔ y02 <2px0; (2)点P(x0,y0)在抛物线上⇔ y02 =2px0; (3)点P(x0,y0)在抛物线外⇔ y02 >2px0. 2.直线与抛物线的位置关系 (1)设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于方
例2 (1)已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与抛物线相交于P,Q两
点,则 1 + 1 = ( )
|FP| |FQ|
A. 1 B.1 C.2 D.4
2
(2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B两点
(A在B的上方),且l与准线交于点C,若CuuBur
点弦的性质.
2.熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选择题与填
空题的关键,如例2(1).可利用焦点弦的性质 1 + 1 = 2 求解.
|AF| |BF| p
=
5 3
a
=
5
,故选A.
|AM | 5a|AM |
3
|BF| a 3
解法二:设|AF|=a(a>0),|BF|=b(b>0),
过A,B作准线的垂线,垂足分别为M,N,
则有|BF|=|BN|=b,|AF|=|AM|=a,
因为CuuBur
=4
uuur BF
,所以|CB|=4|BF|,即|CB|=4|BN|.
知识拓展 1.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点 弦),分别过A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:
(1)点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线l:y=- p ;
2
(2)两切线互相垂直,即PA⊥PB;
(3)PF⊥AB;
(4)点P的坐标为
xA
2
xB
,-
=4
uuur BF
,∴|CuuBur
uuur
|=4| BF
|,
令|
uuur BF
|=a(a>0),则|CuuBur
|=4a,|BN|=a.
∵BN∥AM,∴ |BN| =|CB| ,
|AM | |CA|
又|CA|=|CB|+|BF|+|AF|=4a+a+|AM|,
∴a=
4a
,解得|AM|=
5
a,因此 |AF |
又BN∥AM,所以△CBN∽△CAM,所以|CB| = |CA| ,
|BN| |AM |
所以|CA|=4|AM|,即有4b+b+a=4a,变形可得 a = 5,即 |AF|= 5,故选A.
b 3 |BF| 3
答案 (1)A (2)A 方法总结 1.求解与抛物线的焦点弦有关的问题时,应充分利用抛物线焦
(1)x1x2= p2 ,y1y2=-p2;
4
(2)若直线AB的倾斜角为θ,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|= p ,|
1- cos θ
BF|= p ;
1 cosθ
(3)|AB|=x1+x2+p=
2p sin 2θ
(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通
径是最短的焦点弦;
考点清单
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)定义的实质可归结为“一动三定一转化”:一个动点P,一个定点F(抛物 线的焦点),一条定直线l(抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率),一个 转化(抛物线上的点与焦点的距离可转化成该点到准线的距离).