《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第1章 章末检测

章末检测
一、选择题
1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是A．归纳推理B．演绎推理
C．类比推理D．特殊推理
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n≥2)，则f(k＋1)－f(k)等于()
＋＋
＋
＋＋＋…＋
3．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是() A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
4．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是
()
5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
6．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于() A．f(1)＋2f(1)＋…＋(1)
B．f()
C．n(n＋1)
f(1)
7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为() A．0个B．1个
C．2个D．3个
8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．
A．4个B．3个
C．2个D．1个
9．数列{}满足a1＝，＋1＝1－，则a2 013等于()
B．－1 C．2 D．3
10．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值
()
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
二、填空题
11．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为．
12．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有．
13．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有个“树枝”，则＋1与(n≥2)之间的关系是．
14．在平面几何中，△的内角平分线分所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—中(如图所示)，面平分二面角A——B且与相交于E，则得到的类比的结论是．三、解答题
15．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
16．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
17．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
18．设a，b，c为一个三角形的三边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2，试证：s<2a.
19．数列{}满足a1＝，前n项和＝.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜出的表达式，并用数学归纳法证明．
20．设f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．
答案
1．A23 4 5．B6．C7．B8910
11．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)212．f(2n)>(n≥2)
13．＋1＝2＋1(n≥2) 14＝
15．解(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：
证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，
则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，
∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误
的，这两个平面也可能相交．
16．解假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝－,2＝＋，
m，n为两个正整数，
消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数，
∴m≠(＋1)n.∴假设不成立．
即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
17．证明当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2)，即证a2＋b2≥2.
∵a2＋b2≥2对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
18．证明要证s<2a，由于s2＝2，所以只需证s<，即证b<s.
因为s＝(a＋b＋c)，所以只需证2b<a＋b＋c，即证b<a＋c.
由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．19．解(1)令n＝2，∵a1＝，
∴S2＝a2，
即a1＋a2＝3a2.∴a2＝.
令n＝3，得S3＝a3，
即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得S4＝a4，
即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
(2)猜想＝，
下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，
即＝，
则当n＝k＋1时，＝＝·＝，
＝＋1，
＋1
即＋＋1＝＋1.
∴＋＋1＝＋1.
∴＋1＝
＝
＝.
当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N*都有＝.
20．解当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，
得g(2)＝＝＝2，
当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，
得g(3)＝
＝＝3，
猜想g(n)＝n(n≥2)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．
①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)
＝k[f(k)－1](k≥2)成立，
那么当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，
故存在函数g(n)＝n，使等式成立．。