有趣的三角尺——以三角尺为背景的中考题归类赏析

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理科考试研究•数学版
2020年8月丨0日
所以^| = f .故选D .
由此可知，构造平行线，利用平行线分线段成比例 定理及相似三角形的性质是求线段之比的通性通法.求
解这类问题的关键是选择适当的点构造某条线段的 平行线，寻求建立已知线段之比与所求线段之比之间 的联系.
(收稿日期:2020-02-18)
有赵的三角尺
-以三角尺为背景的中考题归类赏析
徐伟建
(龙游县教育局教研室浙江衢州324400)
摘要：本文对一类以三角尺为背景的考题进行归类并作简要分析，为师生教与学提供参考. 关键词：三角尺；中考题；归类赏析
三角尺是学生常用的学习用具，也是两个特殊直 角三角形的原型.近年来，以三角尺为背景，通过三角 尺的位置变化、组合变换，或将三角尺与其他图形结 合,设计出许多素材鲜活、生动有趣的中考试题.1 —块三角板1.1 作图求解型
例题丨（山西卷）已知：如图1，三角尺ABC ， /LACB ^90°, AA =30°.
(1)
作图：作〇C ,使它与/I f i 相切于点£»，与4C
交于点£，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；
(2) 按（1)中要求所作图形中，若B C = 3,求5^
的长.
1.2 图形变换型
例题2 (山东德州卷）已知，
-^B '
如图 3,三角尺/1BC ,^IC B =90。

，乙CAB = 60°,将三角尺在
平
~
面内绕点4旋转到A /IB 'C 的位 ®3置，使
的度数为（）•
A .35°
B .50°
C .65°
D .75°
答案D
例题3 (奉庄卷）已知：如图4,在平面直角坐标
系内，三角尺A BC 三个顶点的坐标分别为4 (0，3)，
fi (3,4)，C (2,2).(正方形网格中每个小正方形的边
长是一个单位长度）
(1) 画出向下平移4个单位长度得到的
，点（：,的坐标是______；
(2) 以点S 为位似中心，在网格内画出A 42B 2C 2,使A 42B 2C 2与A /IS C 位似，且位似比为2: 1，点C 2的 坐标是______;(3) 厶/12足(：2的面积是____平方单位.
答案（1)过点<：作(：£»丄/^于点£>，以点（：为 圆心，C Z )长为半径作O C ，交A C 于点£(如图2).
(2)@的长
60 60 3j 3 ^3
=T 8〇1T r = Iso 71' = Y 77,
简析以一块三角尺为背景，从中抽象得到特殊 的直角三角形，进而作三角形内角平分线、边长中垂
线、相切圆、外接圆等，并计算有关角度、线段长、图形 面积、弧长，这是此类型问题的常见考查方式.
作者简介：徐伟建（1969-)，男，浙江龙游人，本科，中学正高级教师，浙江省特级教师，研究方向：
初中数学课堂教学.
2020年8月10日理科考试研究•数学版
答案如图5，（1) C,(2,-2) (2) C2(1,0) (3)10
简析例2和例3是将一块三角尺进行各种形 式的变换，有效考查图形变换的概念及性质,有时还 巧妙融人平行线、等腰三角形、相似三角形性质等内 容的考查.
2 —副三角尺 D 2. 1叠合型 4 /
例题4(自贡卷）一副三角尺如图6
叠放，则与A D O C的面积之比
为一•厂」4：答案1:3 图6
例题5 (2019年枣庄卷）将一副三角尺如图7放置，若乙/1〇£>=2〇。

，则乙忍〇^：的大小为（)_
A. 140。

B. 160°
C. 170°
D. 150°
答案B
简析一副三角尺的叠合方法有:沿边叠合或者 沿角叠合.通过叠合计算生成的角度、线段或图形面 积（含面积比），这是一副三角尺叠合型考题的常见 形式.
D A
图7 图8
2.2拼摆型
例题6 (抚顺卷）一副直角三角尺如图8摆放，点D在S C的延长线上，抑V/BC，= 90。

，乙4=30。

，乙/^=45。

，则乙(：££>的度数是（）.
A.15°
B.25°
C.45°
D.60°
答案A
例题7 (2011年威海卷）三角板是我们学习数学的好帮手，将一对三角板如图9所示放置，点C在 的延长线上，点B在上，仙//CF，乙尸= 乙/lC fi=90。

，=45。

，乙/I =60°，4C二10,则CO 的长度是______•
K_________
F M D C
解析如图10,过点作BM丄F C于点M，在 RtAABCfp,AC= 10, BC= l(y/3.
因为 zlfi//Cf'，乙ABC= 30。

，所以乙SCA/ = 30。

.
在 Rt ABCM 中，因为 BC= 1(V5■，所以 SM=575"，CM= 15.
在 RtABDM中，因为 = 所以 C£)= 15 -5^".
简析以一副三角尺为背景，拼摆成特定的位置，计算生成的角度或线段，此类问题既需要利用三 角尺中的特殊角，还需要根据特定的位置，结合平行 线、解直角三角形等知识解题.比如，例6借助三角尺 中的特殊角，考查三角形内角和、平行线性质及角的 和差计算;例7需要添加辅助线，构造直角三角形，考 查解直角三角形、平行线性质以及线段的和差.
2.3旋转型
例题8 (2019年广州卷）一副三角尺按照如图11所示放置，将三角尺绕点逆时针旋转a(0 <a<90°)，使得三角尺的一边所在直线与BC 垂直，则a的度数为_____•
答案15。

或60。

例题9 (山东济宁卷）将一副三角尺（在Rt A/4CB 中，= 90。

，= 60。

；在 Rt厶中，乙仰F=90。

，乙£=45。

）如图12摆放，点£»为仙的中点，交4C于点经过点C.将绕点
〇顺时针方向旋转角a(0° <a <60°)后得
见'交仏于点A/，训'交B C于点/V，则的值
为（）•
A.^3
B.V3
2
C.
解析由已知条件可得，在R tA P C D中，乙/1C Z)
-3〇° m—
^CD~ 3 *
因为 APDM=厶CDN，AM j P D= AIVCD= 60。

，所以APDM〜ACDIV.
图9图10
所以PM PD^3
~C N= CD=Y
.故选C
.
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简析例8、例9先将一副三角尺进行拼合或叠 合摆放，再通过旋转其中一块三角尺，求解旋转变换 后生成的角度或线段比.例8要满足“三角尺一
边所在直线与fiC垂直”，需分别考虑£»£，4/)，/1£与 ftC垂直等三种情形，考查了分类讨论思想；例9需要 学生在图形旋转变换中发现保持不变的规律，即△ACD/V,进而考查相似三角形的判定与性质•
3三角尺与平行线
例题10 (张家界卷）已知直线a//6,将一块含30°角的直角三角尺按如图13所示方式放置(乙B/1C= 30°)，并且顶点/!，C分别落在直线a,6上，若乙1 =18°，则乙2的度数是_____.
答案48°
例题丨1(连云港卷）三角尺按如图14摆 放，乙似C=60。

，乙4BC=90。

，直线/丨//72//73，/】与 Z2之间距离是M2与^之间距离是2,且/,，Z2,/3分别 经过点令则边4C的长为______.此类考题形式多样、图形变化灵活，但万变不离其宗. 其本质是结合三角尺中特殊角的度数或三边关系，考 查平行线性质、角的和差、解直角三角形等知识.
4三角尺与圆
例题14 (2015年贵阳卷）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图17所示放置于 桌面上，此时，光盘与分别相切于点；V，M.现 从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD 向右滚动到再次与相切时，光盘的圆心经过的距 离是______•
A A
解析如图18,当圆心0移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着C Z)向右滚动到再次与4J5相 切，切点为点<?.
因为 0/V丄丄/4B,所以 O/V//P(?.
因为 O IV= PQ，所以 OH= PH.
在 Rt△丹/(?中，乙二乙S =60°,P(? = 1，所以PH= ^~.
答案
例题12 (2019年辽阳卷）将三角尺按照如图15所示放置在一张矩形纸片上，乙= 90°, = 30。

，乙1 =130。

J iU B F C的度数为（）.
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
答案C
B F C
图15
例题13 (广西北部湾卷）将一副三角板按照如 图16所示的位置摆放在直尺上，则乙1的度数为（）.
A.60°
B.65°
C.75°
D.85°
答案C
评注三角尺与平行线（平行线也常异化为矩形 或直尺的一组对边）的组合在中考试题中频频出现,
则=¥.故答案为
简析例14是将光盘、直尺和三角尺等三种物 品巧妙组合，需要学生从中抽象出几何图形，同时借 助三角尺中的特殊角.考查了全等三角形、圆的切线 性质以及解直角三角形等知识.
5三角尺与坐标系
例题15 (2015年徐州卷）如图19,平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象 限.其斜边两端点4分别落在;c轴、y轴上,且仙= 12cm,OB =6cm.
(1)求点C
的坐标；
2020年8月10日理科考试研究•数学版
(2)
若点4向右滑动的距离与点S 向上滑动的距 离相等，求滑动的距离；
(3) 点C 与点0的距离的最大值=_____cm .
解析（1)如图20,过点C 作y 轴的垂线，垂足为点/)，在 RtA/lOfi 中，4B = 12, OB =6,可得 B C =6,
乙似〇 = 30。

_ 所以乙CBD =60°,^BC />=30°.
所以 •
即点C 坐标为(-3^,9)
(2)如图21,设点4向右滑动的距离为;c ,即 =x ，则
■4S =丨2，由勾股定理，得（6/5"-X )2 + (6 + %)2 = I f .
整理，得 2i +(12-12v ^h =0.
解得;c =6^-l ).
所以滑动的距离为6(/5"-1).
(3)如图22,设点C 的坐标为U ,y ),过点C 作 C £丄x 轴，C D 丄y 轴，垂足分别为点£,0•
可得 A 4C £ ^ △BCZ ).gr-.v. CE AC pr
所以而=而=及
贝|J y =_^JC ,〇C 2 =尤2 +y 2 =尤2 + 二知-.
所以当1*1取最大值时，0C 取最大值，当C 'B '转
到与y 轴垂直时0C 最大，0C 的最大值为12.
简析将三角尺置于坐标系内，此类考题往往与 函数、方程融合，题目较为综合，考查数学核心知识与 思想方法.比如，例15通过三角尺在两坐标轴U ，y 轴）上滑动操作，需要学生经历操作、画图、观察、想 象、推理等数学学习活动，探索结论的形成过程;考查 了学生解直角三角形、勾股定理、相似三角形、方程思 想等重要知识与方法.
以三角尺为背景的中考试题，问题情境贴近学 生，注重实验操作与自主探究，灵活考查学生的动手
操作、计算求解、推理论证等综合能力.
(收稿日期：2020 - 05 - 02)
一道最值问题的多种鮮法
李玉荣
(金陵中学河西分校浙江南京210019)
摘要：几何最值问题是初中几何的难点之一.本文从三个角度用七种方法求解一道最值问题，旨在提高学生解决
问题的能力.
关键词：最值；构造;转化
4C 或再利用“垂线段最短”求解，辅助线
的添加是突破口.
解法1如图2,延长/IB 至点Z )使得在
仙上截取从=此，贝ij FD = 2仙-4C .
过点D 作DC 丄/1C ，垂足为点C ，过点f 作FW 丄 4石，交 <4C 于点 //，贝ij OC = 2fiC = 2,厶4F //4 A/ICB
(ASA ).
所以 HF = BC = l _
1
题目呈现
题目如图1，在A /lf i C 中，
Z C = 90〇，BC = 1，求 2/1B -4C 的 最大值.2
题目解析
此题设置简洁，虽有一定的难度，但思路却较为 宽泛.本文从三个角度探究其解法，供读者参考.2. 1 几何法
分析关键是怎样利用直角三角形构造24B -
作者简介：李玉荣（丨963-),男，江苏句容人，本科，中学高级教师，研究方向：
初中数学教学研究.。