人教版高中数学必修二课后导练：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2

后
基达
1 两条异面直的公垂指的是（）
A. 和两条异面直都垂直的直
B.和两条异面直都垂直订交的直
C.和两条异面直都垂直订交且在两交点之的段
D.和两条异面直都垂直的全部直
分析：两异面直的公垂必足两个条件：（1）与两异面直都垂直；（2）都订交
答案： B
2 两条直a、 b 分和异面直c、 d 都订交，直a、 b 的地点关系是（）
A. 必定是异面直
.
B.必定是订交直
C.可能是平行直
D.可能是异面直，也可能是订交直
分析： a 与 b 可能异面〔①〕也可能订交〔②〕.
答案： D
3 一条直和两条异面直中的一条平行
A. 平行
B.订交,它和另一条的地点关系是（）
C.异面
D. 订交或异面
分析：已知 a 与 b 异面， a∥ l, l 与 b 订交或异面（如）.答案： D
4 分在两个平面内的两条直的地点关系是 A. 异面 B. 平行 C.订交⋯（）
D.以上均有可能
分析：如正方体中：AB 与 BC 订交； AB 与 CD 异面； AE ∥ CD.
答案： D
5 方体的一条角与方体的棱所成的异面直有（）
A.2
B.3
C.6
D.12
分析：方体 ABCD-A 1B 1C1D1中，与角AC 1成异面直的棱有：BB 1； BC ；A 1B 1；
A 1D 1；DD 1；DC.
答案： C
6 四周体 PABC 中， PA⊥BC， E、 F 分 PC、 AB 的中点，若EF 与 PA、 BC 成的角分α、β，α+β等于（）
A.30 °
B.60 °
C.90 °
D.45 °
分析：如取 PB 的中点D， DE 、 DF.
∵E、 F 分别为 PC、 AB 中点，∴ DF∥ PA,DE ∥ BC.
∵PA⊥ BC, ∴∠ EDF=90° ,又∠ DEF=β,
∠D FE=α,∴ α+β=90°,应选 C.
答案： C
7“a、b 是异面直线”是指（）
① a ∩b= 且 a 不平行于 b② a平面α， b平面β且 a∩b=③ a 平面α，b 平面α④不存在平面α，使 a α且 bα建立
A. ①②
B.①③
C.①④
D.③④
分析：由异面直线的定义知：这两条直线不一样在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④ .
答案： C
8 如图，已知不共面的直线a、 b、 c 订交于 O 点， M 、 P 是直线 a 上的两点， N 、Q 分别是直线 b、 c 上的一点 .
求证： MN 和 PQ 是异面直线 .
证明：假定 MN 和 PQ 共面于α，则 M ∈α,P∈ α,又 M ∈ α,P∈ α,
∴aα,又a∩b=O,
∴O∈ α又 N ∈ α,且 O∈ b,N ∈ b,
∴bα,
∴a 与 b 都在平面α内，同理，可证 C 也在α内，与
因此假定错误，故MN 与 PQ 是异面直线 .
综合应用
9 把两条异面直线当作“一对”，正六棱锥的棱所在的对.a,b,c 不共面矛盾 .
12 条直线中，异面直线共有________
分析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如
面直线为 PF， PE， PD， PC 共 4 对，
∴4×6=24 对.
答案： 24
AB其异
10 一条直线和这条直线外不共线的三个点，可以确立平面的个数是（
A.1
B.4
C.3
D.1 或 3或 4
）
分析： 有三种状况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别构成平面，则有三个；③ 在②的基础上，这三个点确立一个面，则有４个 .选 D.
答案： D
11 已知 :a 、b 是异面直线， a 上有两点 A 、B ，距离为 8， b 上有两点 C 、D ，距离为 6，BD 、 AC 的中点分别为 M 、 N ，且 MN=5 ，求证： a ⊥b.
证明： 如下图，连接 BC ，取 BC 的中点 P ，连 MP 、 NP.
在四边形 ABCD 中， MP 是中位线，
∴MP ∥ DC, 且 MP=
1
DC=3. 同理， NP ∥ AB 且 NP=
1 AB=4, 2
2
在△ PMN 中，∵ MP 2+NP 2=4 2+32=52=MN 2, ∴MP ⊥ NP,即 MP 和 NP 所成的角为 90°. ∴MP ∥ CD,NP ∥AB, ∴MP 和 NP 所成的角等于 a,b 所成的角 ,
∴a,b 所成的角为 90°，∴ a ⊥ b.
拓展研究
12 如图，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 、 F 分别为 D 1C 1、B 1C 1 的中点， AC ∩ BD=P,A 1C 1∩ EF=Q,求证：
（ 1） D 、 B 、F 、 E 四点共面；
（ 2）若 A 1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P 、 Q 、 R 三点共线 . 证
明：（ 1）∵ EF 是 △ C 1D 1B 1 的中位线，
∴ E F ∥B 1D 1.在正方体 AC 1 中， B 1D 1∥ BD,
∴ E F ∥BD,
∴EF 和 BD 可确立一个平面，即 D 、 B 、E 、 F 四点共面 .
（ 2）正方体 AC 1 中，设 A 1ACC 1 确立的平面为 α, 又
设平面 DBFE 为 β. ∵Q ∈A 1C 1,∴ Q ∈ α.
又 Q ∈ EF,∴ Q ∈β∴.Q 是 α与 β的公共点 . 同理， P 点也是 α与 β的公共点， ∴α∩β =PQ 又.∵ A 1C ∩β =R,
∴R ∈ α又.∵ R ∈ β,∴R ∈ α∩β =PQ.
故 P 、 Q 、R 三点共线 .。