Markov随机环境过程驱动的风险过程

Markov随机环境过程驱动的风险过程
唐胜达;秦永松
【摘要】本文讨论由Markov环境过程驱动的风险过程,给出了期望贴现惩罚函数的Laplace变换的表达式,利用一般Lundberg基本方程,得到了期望贴现惩罚函数的简洁表达式,并推得了给定初始环境状态,初始资金为0时破产前瞬间盈余、破产赤字的贴现联合密度及其边缘密度.同时,本文也给出了破产时间、破产前瞬间盈余以及破产时赤字的矩的计算方法.%In this paper,a risk model driven by Markovian environment process that affects both the claim sizes and rates is described. The expression of Laplace transform of the Gerber-Shiu function is obtained. By means of the general Lundberg fundamental equation,the explicit expressions for the Gerber-Shiu functions with zero initial capital, the given state of environment, the discounted joint density functions and the density marginal density of the surplus prior to and after ruin are derived, respectively. Meanwhile, the methods to compute the arbitrary moments of the time to ruin,surplus before ruin and the deficit at ruin are also given.
【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(030)001
【总页数】5页(P35-39)
【关键词】风险过程;期望贴现惩罚函数;Lundberg基本方程;随机环境
【作者】唐胜达;秦永松
【作者单位】广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004;广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004
【正文语种】中文
【中图分类】O211.9
0 引言
Lundberg于1903年引入了经典风险模型，这对保险业的运营及发展具有重要指导意义。

许多学者对其进行了广泛深入的研究并得到了许多深刻的结果，同时，这一经典风险模型的拓广也得到了巨大发展。

保险业是在随机环境下运行的，这些随机因素，如经济政策变动、相关法规的出台、季节性或气候因素突变等，不可避免地都会对保险业的运营产生重大影响。

因此，引入外界影响，考虑环境的随动因素，这使得模型更具概括性及实际意义。

文献[1-3]采用更新理论、鞅方法、随机流体
理论等方法研究了随机环境下的各种风险过程，如Sparre Andersen模型、多项
式风险模型及MarP风险模型等。

本文则引入随机环境，考虑一类索赔频率及索
赔大小同时受外界因素影响的风险过程。

定义风险盈余过程：
(1)
其中：x是初始资金;常数c>0是保险费率；N(t)表示(0，t]内发生的索赔次数；Xi 表示第i次的索赔大小；R(t)是在时刻t的盈余。

设Z={Zt,t≥0}是齐次不可约的常返Markov过程，设有限状态空间E={1,2,…,m}，称Z为环境过程，设
Q=(qij)m×m是过程Z的无穷小生成元。

令qi=-qii，Λ=diag(q1，q2，…，qm)，过程Z的内嵌Markov过程的转移矩阵P=(pij)m×m，其中对任意设风险过程的
索赔受随机环境过程控制。

具体地，设环境过程初始状态为i∈E，当环境状态不
发生转移时，则没有索赔发生；当过程由状态i转移至状态j≠i瞬间，过程发生索赔，而且索赔大小依赖于环境状态j。

设相应的索赔分布是Fj(x)，密度为fj(x)。

令是索赔分布Fi(x)的k阶矩，令设风险过程满足正的安全负荷条件：记其中πi，
i∈E，是过程Z的平稳分布，即
本文定义的随机环境下的风险过程是用一个Markov环境过程来模拟所有外界随机因素。

这较之一般考虑随机因素的风险过程在结构上更加简洁，同时，本模型也更具有一般性。

如，上述模型简化为经典风险模型；适当定义环境过程Z及索赔分布，上述模型可演化为时间间隔为Erlang(m)、PH分布等Sparre Andersen模型。

如：
(Ⅰ)当m=2，q1=q2，F1(·)=F2(·)时，风险过程(1)简化为经典风险过程；(Ⅱ)当m阶矩阵退化为原点处的0-1分布，j=1,2,…，m-1，则风险过程变成索赔间隔为Erlang(m)分布的Sparre Andersen模型[4-6]；
(Ⅲ)当Fj(·)退化为原点处的0-1分布，j=1,2,…,m-1，则风险过程变成索赔间隔为PH(α，Q)分布的Sparre Andersen模型[7-8]，其中
1 主要结果及证明
定义期望贴现惩罚函数[1]：
(2)
其中：Tx=inf{t≥0,R(t)<0}表示破产时刻；表示破产前瞬间盈余；|R(Tx)|表示破产赤字；I{·}是示性函数；w(x,y)是定义在R+×R+上的任意非负函数，称w(x,y)为惩罚函数。

对应地，w(x,y)设为不同的形式，可得风险过程不同的风险量化信息[4]。

定义函数θ(x)关于x的Laplace变换为记矩阵
下面推导mδi(x)满足的积分-微分等式。

设在初始时刻随机环境状态为i，在很小区间(0,h]内，由向后方程，有：
整理，并令h→0，有：
(3)
式(3)两端关于x取Laplace变换，对Re(s)>0，有：
(4)
其中
设于是，将式(4)写成矩阵形式：
(5)
因此，由式(5)有如下定理成立：
定理1 在风险过程(1)中，当给定初始环境状态与初始资金，期望贴现惩罚函数的Laplace变换具有如下表达形式：
(6)
其中det(Aδ(s))是Aδ(s)的行列式，是Aδ(s)的伴随阵。

对特征方程有如下性质成立：
引理1 对特征方程det(Aδ(s))=0的根具有如下性质：
①det(A0(s))=0有m个零点s1，s2，…，sm，其中，s1=0，Re(si)>0，
i=2,3,…,m；
②det(Aδ(s))=0有m个零点是s1，s2，…，sm，且Re(si)>0，i=1,2,…,m。

证明仿文献[9]可直接证明。

注：由文献[9]可知，det(Aδ(s))的零点分布在以为圆心为半径的圆周内部。

det(Aδ(s))=0是经典风险模型中Lundberg基本方程的一般形式。

显然，其零点对mδ(x)起关键作用。

对于si，显然方程组存在非平凡解，设的解为：ki=(ki1,ki2,…，kim)T，
i=1,2,…,m。

令k=(k1，k2，…,km)T，由有：
(7)
由式(7)可以得出初始资金为0时的期望贴现惩罚函数的简洁表达式。

定理2 在风险过程(1)中，对于给定初始环境状态，初始资金为0时的期望贴现惩罚函数为：
(8)
其中为det(k)的(l,i)元素的代数余子式。

证明由式(7)有：
改写成矩阵形式：
(9)
求解方程组(9)有：
证毕。

定义1 fi(y1，y2，t|x)为给定Z0=i，R0=x时，的联合密度，即
(10)
令
(11)
(12)
(13)
显然，fi(y1，y2|x)、fi(y1|x)、fi(y2|x)分别表示给定Z0=i，R0=x时，风险盈余过程在破产前瞬间的盈余及破产赤字的联合贴现密度和对应的边缘密度函数。

根据定理2，可以推得：
推论1 在风险过程(1)中，对于给定初始环境状态i，i=1,2,…,m，初始资金为0时的破产前瞬间盈余和破产赤字的联合分布及其边缘分布是：
(14)
(15)
(16)
证明令w(x1，x2)=I{x1≤y1}I{x2≤y2}，代入式(10)，令x=0，有：
而于是式(14)即得。

同理可证式(15)、(16)成立。

证毕。

下面对风险过程(1)的破产时间、破产前瞬间盈余、破产后赤字的矩进行分析：
取w(x,y)≡1，令表示破产时间的n阶矩。

令δ=0，取w(x,y)=e-ax，令表示破产前瞬间盈余的n阶矩。

类似地，w(x,y)=e-ay，令表示破产赤字的n阶矩。

令于是我们有如下定理：
定理3 在风险过程(1)中，对于给定初始环境状态、初始资金时，下列等式成立：
(17)
(18)
其中
(19)
其中
证明取w(x,y)≡1，对式(4)关于δ进行n次求导，并令δ=0，经过整理有:
写成矩阵形式:
(20)
式(20)整理即得式(17)，类似地，取w(x,y)=e-ax，w(x,y)=e-ay后分别对式(4)关于a进行n次求导，并令a=0，经整理后改写成矩阵形式即得式(18)、(19)。

证毕。

注：可由式(6)令δ=0求得，故由式(17)即可迭代求出由于通过式(8)可解得故由式(18)、(19)中可以求出取Laplace逆变换，从而最终求得破产时间、破产前瞬间盈余、破产后赤字的矩。

2 结论
本文研究了一类由Markov随机环境过程驱动的风险过程，即在随机环境下，索
赔大小及频率受同一随机过程控制。

在此模型中，主要以Lundberg基本方程的
根为突破口，由此给出了初始资金为0时的期望贴现惩罚函数的表达式和破产前
瞬间盈余、破产赤字的贴现联合密度及其边缘密度。

对于破产时间、破产前瞬间盈余以及破产时赤字的矩的计算方法，则主要是利用期望贴现惩罚函数与矩的导数关系，得到了对应的等式方程。

本文的结论具有实际可操作性，这些结论对于保险公司分析外界随机环境因素对保险业务的经营及管理产生的影响提供了理论基础，对
保险人规避风险，稳健经营具有指导意义。

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