中考数学复习课件试题第四章 图形的认识[原创] 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形[配套课件]
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
逆定理 方，则这个三角形是直角三角形
等腰(边)三角形的性质与判定
例 1：(2015 年江苏宿迁)如图 4-2-23，已知 AB＝AC＝AD， 且 AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
图 4-2-23
[思路分析]根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出
∠ ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出结论. 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
即 2CD2＝8002，CD＝400 2≈566(米). 答：在直线 l 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖.
[思想方法]在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与 方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出 勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思 想的应用.
【试题精选】 6.(2014 年湖北黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通，
对称轴
(2)勾股定理
角平分线的 性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如果三角
角平分线的 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平那分么这个三
逆定理 线上
若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平
知识点
内容
方，则这个三角形是直角三角形
角平分线 垂直平分线 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距
＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD＝
12BC＝1，AF＝FC′＝ 22AC′＝1，∴图 D23 中阴
影部分的面积等于 S△AFC′－S△DEC′＝12×1×1－12× ( 2－1)2＝ 2－1.
图 D23
答案： 2－1
2.(2012年广东)如图4234，在△ABC中，AB＝AC，
图 D24
②分别以点 E，F 为圆心，以大于12EF 长为半径画弧，两 弧相交于点 G，连接 BG 交 AC 于点 D 即可.
第2课时 等腰三角形与直角三角形
1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的 性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线 及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个 底角相等的三角形是等腰三角形.
2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 60°；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或 有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质
定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单
(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等 角”； (2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边 上的中线、底边上的高互相________； (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称 轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线) 所在的直线
例 2：(2014 年浙江温州)如图 4-2-24，在等边△ABC 中，
点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，
交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数. (2)若 CD＝2，求 DF 的长.
图 4-2-24
[思路分析](1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
【试题精选】
1.(2015 年湖北黄石)如图 4-2-25，在等腰三角形 ABC 中，
AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(
)
A.36° 答案：B
B.54°
图 4-2-25 C.18°
D.64°
2.(2015 年江苏宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为 2 和
(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均 速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时 间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理 由.(不计候车时间)
图 4-2-32
解：(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E(如图D22).
∠ABC ＝72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保
留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)中作出∠ABC 的平分线 BD 后，求∠BDC 的度数.
图 4-2-34
解：(1)如图 D24，①以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧， 分别交 AB，BC 于点 E，F；
根据三角形内角和定理即可求解.
(2)易证△EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即
可求解.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°. (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形.
图 4-2-31
[思路分析]首先证明△BCD 是等腰直角三角形，再根据勾
股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算 即可.
解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°. ∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°. ∴∠D＝45°.∴CB＝CD.
在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，
答案： 3
图 4-2-30
勾股定理及其应用 例 5：(2014 年湖南湘潭)如图 4-2-31，修公路遇到一座山， 于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时
施工.为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线 l，过点 B 作一直线(在山的旁边经过)， 与 l 相交于 D 点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800 米，求在直 线 l 上距离 D 点多远的 C 处开挖？( 2≈1.414，精确到 1 米)
(1)直角三角形的两个锐角___互__余___；
直角三角
(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
形的判定 性质 的___一__半___；
与性质
(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长 的___一__半___
勾股定理 及其逆定
理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的 勾股定理
平方 勾股定理的 若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平
平分线的性质将△EBC 的周长转化为 AC＋BC.
例 4：(2015 年广西)如图 4-2-28，在△ABC 中，CD 平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC ＝4，DE＝2 ，则△BCD 的面积是________.
图 4-2-28
解析：∵CD 是∠ACB 的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝2.
图 4-2-27
解析：∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE. ∵△ABC 的周长＝AB＋AC＋BC， △EBC 的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC， ∴△ABC 的周长－△EBC 的周长＝AB. ∴AB＝40－24＝16(cm).
答案：16 [思想方法]运用转化思想是解决本题的关键，即利用垂直
若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF 的度数为(
)
A.48° 答案：A
B.36°
图 4-2-29 C.30°
D.24°
5.(2015 年山东聊城)如图 4-2-30，在△ABC 中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BD 是∠ABC 的平分线.若 AB＝6，则点 D 到 AB 的
距离是________.
1.(2014 年广东)如图 4-2-33，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45° 得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，则图中阴影 部分的面积等于__________.
图 4-2-33
解析：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△AB′C′，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′
和线段的 的性质 离相等
垂直平分 垂直平分线 到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂
线
的逆定理 直平分线上
直角三角 形的判定
与性质
判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形
(续表)
知识点
内容
图 D22
∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3. 在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300， ∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km).
(2)乘客车需时间 t1＝8600＝113h； 乘列车需时间 t2＝19820＋2400＝1910h，
∴选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案. [名师点评]解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用 勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活 运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜 边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往 要构造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转 化为直角三角形).
3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角 两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上.
4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分 线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上.
知识点
等腰三角 形的判定
与性质
判定 性质
内容
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等 边对等角”；(等腰三角形的定义) (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等 角对等边”
(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等 角”； (2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边 上(3)的对中称线性、：底等边腰上三的角高形互是相轴_对__角 线称__的上图__内形_；部，到它角的的对两称边的距 轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线) 所在的直线
∴S△BCD＝12×BC×DF＝12×4×2＝4.
答案：4 [易错陷阱]角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意 必须是垂直距离，否则不成立.
【试题精选】
4.(2015 年四川达州)如图 4-2-29，△ABC 中，BD 平分
∠ABC，BC 的中垂线交 BC 于点 E，交 BD 于点F，连接CF.
[名师点评]解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要 分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出 正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同 一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三 角形中，则通过证两个三角形全等来实现.
角平分线与垂直平分线
例3：(2015 年湖北荆州)如图 4-2-27，△ABC 中，AB＝AC， AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E.若△ABC 与 △EBC 的周长分别是 40 cm,24 cm，则 AB＝________cm.
(续表)
知识点
内容
等边三角 形的判定
与性质
角平分线 和线段的 垂直平分
线
判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
(1)等边三角形的三条边相等；
性质
(2)等边三角形的三个角都是 60°； (3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有__(_1_)条有一个角
便设计了如下问题：如图 4-2-32，以往从黄石 A 坐客车到武昌 客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青 山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB＝80 km，BC＝ 20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 21≈4.6)
5，则这个三角形的周长为(
)
A.9 C.7 或 9
B.12 D.9 或 12
答案：B
3.(2015 年北京)如图 4-2-26，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.
求证：∠CBE＝∠BAD.
图 4-2-26
证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝∠CБайду номын сангаасD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
等腰(边)三角形的性质与判定
例 1：(2015 年江苏宿迁)如图 4-2-23，已知 AB＝AC＝AD， 且 AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
图 4-2-23
[思路分析]根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出
∠ ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出结论. 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
即 2CD2＝8002，CD＝400 2≈566(米). 答：在直线 l 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖.
[思想方法]在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与 方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出 勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思 想的应用.
【试题精选】 6.(2014 年湖北黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通，
对称轴
(2)勾股定理
角平分线的 性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如果三角
角平分线的 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平那分么这个三
逆定理 线上
若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平
知识点
内容
方，则这个三角形是直角三角形
角平分线 垂直平分线 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距
＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD＝
12BC＝1，AF＝FC′＝ 22AC′＝1，∴图 D23 中阴
影部分的面积等于 S△AFC′－S△DEC′＝12×1×1－12× ( 2－1)2＝ 2－1.
图 D23
答案： 2－1
2.(2012年广东)如图4234，在△ABC中，AB＝AC，
图 D24
②分别以点 E，F 为圆心，以大于12EF 长为半径画弧，两 弧相交于点 G，连接 BG 交 AC 于点 D 即可.
第2课时 等腰三角形与直角三角形
1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的 性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线 及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个 底角相等的三角形是等腰三角形.
2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 60°；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或 有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质
定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单
(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等 角”； (2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边 上的中线、底边上的高互相________； (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称 轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线) 所在的直线
例 2：(2014 年浙江温州)如图 4-2-24，在等边△ABC 中，
点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，
交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数. (2)若 CD＝2，求 DF 的长.
图 4-2-24
[思路分析](1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
【试题精选】
1.(2015 年湖北黄石)如图 4-2-25，在等腰三角形 ABC 中，
AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(
)
A.36° 答案：B
B.54°
图 4-2-25 C.18°
D.64°
2.(2015 年江苏宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为 2 和
(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均 速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时 间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理 由.(不计候车时间)
图 4-2-32
解：(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E(如图D22).
∠ABC ＝72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保
留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)中作出∠ABC 的平分线 BD 后，求∠BDC 的度数.
图 4-2-34
解：(1)如图 D24，①以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧， 分别交 AB，BC 于点 E，F；
根据三角形内角和定理即可求解.
(2)易证△EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即
可求解.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°. (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形.
图 4-2-31
[思路分析]首先证明△BCD 是等腰直角三角形，再根据勾
股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算 即可.
解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°. ∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°. ∴∠D＝45°.∴CB＝CD.
在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，
答案： 3
图 4-2-30
勾股定理及其应用 例 5：(2014 年湖南湘潭)如图 4-2-31，修公路遇到一座山， 于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时
施工.为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线 l，过点 B 作一直线(在山的旁边经过)， 与 l 相交于 D 点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800 米，求在直 线 l 上距离 D 点多远的 C 处开挖？( 2≈1.414，精确到 1 米)
(1)直角三角形的两个锐角___互__余___；
直角三角
(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
形的判定 性质 的___一__半___；
与性质
(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长 的___一__半___
勾股定理 及其逆定
理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的 勾股定理
平方 勾股定理的 若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平
平分线的性质将△EBC 的周长转化为 AC＋BC.
例 4：(2015 年广西)如图 4-2-28，在△ABC 中，CD 平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC ＝4，DE＝2 ，则△BCD 的面积是________.
图 4-2-28
解析：∵CD 是∠ACB 的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝2.
图 4-2-27
解析：∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE. ∵△ABC 的周长＝AB＋AC＋BC， △EBC 的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC， ∴△ABC 的周长－△EBC 的周长＝AB. ∴AB＝40－24＝16(cm).
答案：16 [思想方法]运用转化思想是解决本题的关键，即利用垂直
若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF 的度数为(
)
A.48° 答案：A
B.36°
图 4-2-29 C.30°
D.24°
5.(2015 年山东聊城)如图 4-2-30，在△ABC 中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BD 是∠ABC 的平分线.若 AB＝6，则点 D 到 AB 的
距离是________.
1.(2014 年广东)如图 4-2-33，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45° 得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，则图中阴影 部分的面积等于__________.
图 4-2-33
解析：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△AB′C′，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′
和线段的 的性质 离相等
垂直平分 垂直平分线 到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂
线
的逆定理 直平分线上
直角三角 形的判定
与性质
判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形
(续表)
知识点
内容
图 D22
∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3. 在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300， ∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km).
(2)乘客车需时间 t1＝8600＝113h； 乘列车需时间 t2＝19820＋2400＝1910h，
∴选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案. [名师点评]解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用 勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活 运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜 边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往 要构造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转 化为直角三角形).
3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角 两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上.
4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分 线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上.
知识点
等腰三角 形的判定
与性质
判定 性质
内容
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等 边对等角”；(等腰三角形的定义) (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等 角对等边”
(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等 角”； (2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边 上(3)的对中称线性、：底等边腰上三的角高形互是相轴_对__角 线称__的上图__内形_；部，到它角的的对两称边的距 轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线) 所在的直线
∴S△BCD＝12×BC×DF＝12×4×2＝4.
答案：4 [易错陷阱]角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意 必须是垂直距离，否则不成立.
【试题精选】
4.(2015 年四川达州)如图 4-2-29，△ABC 中，BD 平分
∠ABC，BC 的中垂线交 BC 于点 E，交 BD 于点F，连接CF.
[名师点评]解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要 分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出 正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同 一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三 角形中，则通过证两个三角形全等来实现.
角平分线与垂直平分线
例3：(2015 年湖北荆州)如图 4-2-27，△ABC 中，AB＝AC， AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E.若△ABC 与 △EBC 的周长分别是 40 cm,24 cm，则 AB＝________cm.
(续表)
知识点
内容
等边三角 形的判定
与性质
角平分线 和线段的 垂直平分
线
判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
(1)等边三角形的三条边相等；
性质
(2)等边三角形的三个角都是 60°； (3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有__(_1_)条有一个角
便设计了如下问题：如图 4-2-32，以往从黄石 A 坐客车到武昌 客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青 山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB＝80 km，BC＝ 20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 21≈4.6)
5，则这个三角形的周长为(
)
A.9 C.7 或 9
B.12 D.9 或 12
答案：B
3.(2015 年北京)如图 4-2-26，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.
求证：∠CBE＝∠BAD.
图 4-2-26
证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝∠CБайду номын сангаасD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD. ∴∠CBE＝∠BAD.