平面几何的辅助线作法

一、利用“轴对称”添加辅助线，构造全等图形。

知识基础：认识、理解常见的轴对称及其相关性质。

应用链接：（1）当没有对称轴时，作对称轴； （2）当有对称轴时，利用对称轴进行翻折； （3）利用轴对称作图，求线段的最值问题。

精讲精练：
例题1、如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥.求证：AD CD 3=.
针对性练习：1、如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 为AB 中点，BC DE ⊥于E .求证：BE BC 4=.
2、如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CE CD =，过E 点作AC EF ⊥交AD 于F. 求证：DF EF AE ==.
例题2．如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，且AC AB >. 求证：DC BC >.
例题3．如图所示，P 是BAC ∠平分线AD 上一点，P 与A 不重合，AB AC >. 求证：AB AC PB PC -<-
针对性练习：
1．如图，在ABC ∆中，已知︒=∠90C ，BC AC =，AD 是角平分线. 求证：DC AC AB +=.
2、已知：如图△ABC 中∠A=2∠B、CD 平分∠ACB。

求证：BC=AC+AD
43
21
E
D
C
B
A
3．已知：如图，AB BC >，BD 平分ABC ∠，且DC AD =. 求证：︒=∠+∠180C A .
例题5．如图，已知：在ABC ∆中，C B ∠=∠2，AD 为BC 边上的高. 求证：BD AB CD +=.
例题6、如图，已知：在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，AD 是BAC ∠的平分线，AD BE ⊥于E .求证：)(2
1
AB AC BE -=
针对性练习：
1．如图，过C 作BAC ∠的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作AB DE //交AC 于E . 求证：CE AE =.
2．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，ACB ABC ∠=∠. ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，从点C 向BD 的延长线作垂线CE ，垂足为E . 求证：CE BD 2=.
3、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB =.
例题7．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P ，2P ，连结21P P 交
OA 于M ，交OB 于N ，若cm P P 521=，则PMN ∆的周长为多少？
例题8．如图，E 、F 是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使EMF ∆的周长最小.
针对性练习：
1．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）
求作：点P ，使P 在MN 上，并且BP AP +最小.
2．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.
二、利用“旋转”或“中心对称”
例题1、如图，AD ∥BC ，AB=AD+BC E 为CD 的中点， 求证：AE 平分∠BAD.
例题2、如图，已知M 是Rt △ABC 斜边上的中点，P 、Q 分别在AB 、AC 上，且PM ⊥QM ，求证：2
2
2
CQ BP PQ +=
例题3．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分CBE ∠交CD 于F. 求证：AE CF BE +=.
针对性练习：
1．如图，已知：在边长为a 的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，若有△BEF 的周长为2a ，. 求：EDF ∠的度数.
2、如图Rt △ABC 中，四边形CDEF 是正方形，则图中阴影部分的面积是 。

3、如图，△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，斜边AC 上有D 、E 两点，且∠DBE=45，试判断AD 、DE 、EC 三边之间的数量关系，并说明理由。

A
B
C
M
P
Q
A C B
F E D A
B
C
D
E。