天津市滨海新区2020届高三居家专题讲座学习反馈检测数学试题(B卷) Word版含答案

滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题
数学学科（B 卷）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．．．．．．．．.．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：
•如果事件A 、B 互斥，那么 •如果事件A 、B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B =+U ()()()P AB P A P B = •柱体的体积公式V Sh =. •球的表面积、体积公式：
锥体的体积公式1
3
V Sh =. 24S R =π，343V R =π，
其中S 表示柱（锥）体的底面积, 其中R 为球的半径．
h 表示柱（锥）体的高.
一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集U {|7}x x =是小于的正整数，集合{}1,3,6A =，集合{}2,3,4,5B =，则U =ðA B I
（2）设R x ∈，则“3x ≤”是“230x x -≤”的
（3）设0.31()3a -= ,21log 3b =, 3
lg 2
c =,则,,a b c 的大小关系为
（4）在2
5
2()x x
-
的二项展开式中，7x 的系数为 （A ）{3} （B ）{1,3,6} （C ）{2,4,5}
（D ）{1,6}
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（A ）b a c << （B ）c b a << （C ）b c a <<
（D ）a b c <<
（5）如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为
（6）某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组后得到的频率分布直方图如图所示.现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的
方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在[120,130)内的学生中抽取的人数为
（7）已知正实数,a b 满足1a b +=，则2241
a b a b +++
的最小值为
（8）将函数()sin(2)0<<f x x （）ϕϕπ=+的图象向左平移
512
π
个单位长度后，得到的函数的图象关于点(,0)2π对称，则函数()cos()g x x ϕ=+在[,]26
ππ
-上的最小值是
（A ）10- （B ）10 （C ）5-
（D ）5
（A ）
32
3π （B ）43
π
（C ）4π
（D ）16π
（A ）24 （B ）36 （C ）20 （D ）28
（A ）13 （B ）11 （C ）10
（D ）9
（A ）1
2-
（B ）32
-
（C ）12
（D ）3
2
（第5题图）
（第6题图）
（9）已知函数24,0,
()1log |1|,0,a x a x f x x x ⎧+>⎪=⎨+-≤⎪⎩
（0a >且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的
方程|()|3f x x =+恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题
数学学科（B 卷）
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水．．．．的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二.填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分. （10）已知i 是虚数单位. 若复数()1m i
z m R i
-=
∈+是纯虚数，则m = . （11）以点10C （，）为圆心，且被y 轴截得的弦长为2的圆的方程为 .
（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*N n ∈，若32011,-80,a S ==则10S 的值 为 .
（13）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个. 若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好
（A ）1313
[,]{}4416U
（B ）1313
[,){}4416U
（C ）33
(,)416
（D ）313
(0,){}416
U
M
A
B
C
C 1
B 1
A 1
取到两次白球”的概率为 ；若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为 .
（14）已知双曲线1C ：2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线1C 的离心率
为 ；若抛物线2
2:2(0)C y px p =>的焦点F 与双曲线1C 的一个焦点相同，M 是抛
物线2C 上一点，FM 的延长线交y 轴的正半轴于点N ，交抛物线2C 的准线l 于点P ，且
3FM MN =u u u u r u u u u r
，则||NP = .
（15）如图，在直角梯形ABCD 中，已知AB //DC,
=90=2==1DAB AB AD CD ,∠︒，，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥，则 AM BD u u u u r u u u r
g 的值为 .
三. 解答题:本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin()3
a C c A π
=+.
（I ）求角A 的大小；
（II ）设6,4b c ==，求a 和cos(2)A C -的值.
（17）（本小题满分15分）
已知三棱柱111ABC A B C -, 1AA ⊥平面ABC ,190,1BAC AA AB AC ∠=︒===. （Ⅰ）求异面直线1AC 与1A B 所成的角; （Ⅱ）求二面角11A BC A --的正弦值;
（Ⅲ）设M 为1A B 的中点,在ABC ∆的内部或边上是否存在一点N ,使得MN ⊥平面1ABC ?若存在,确定点N 的位置,若
不存在,说明理由.
（18）（本小题满分15分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22
n n n S +=，数列{}n b 满足：2log ,n n a b n =∈N*.
(第15题图)
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设1(,2)2(,n
n n
n a n c n b 为奇数）
（为偶数）⎧
⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩，{}n n T c 为数列的前n 项和，求2.n T
（19）（本小题满分15分）
已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>
的离心率为，以椭圆E 的短轴为直径的圆与直线
:3450l x y +-=相切.
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）若直线y x m =+与椭圆E 交于1122(,),(,)M x y N x y 两点，且12x x >.已知直线l 上存在点P ，使得PMN D 是以PMN Ð为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求实数m 的值.
（20）（本小题满分16分） 已知函数1
()2ln f x x a x x
=-+（其中a 是实数）. （Ⅰ）若1
2
a =
，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间;
（Ⅲ）设2()ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1212,()x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且1212()()2x x y x x g +'=-的范围是2
[ln2,)3
-+∞，求实数a 的取值范围.
滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题
数学学科（B 卷）参考答案及评分标准
一.选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.）
二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分.)
三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． 说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则. （16）（本小题满分14分） 解： (Ⅰ) 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a c
A C
=
，可得sin sin a C c A =…………1分 又由sin sin()3
a C c A π
=+
得
sin sin()sin sin()tan 33
c A c A A A A ππ
=+⇒=+⇒3分
又因为(0,)A π∈，可得3
A π
=…………5分
（II ）由2222cos a b c bc A =+-和6,4b c ==，3
A π
=得：
21
3616264282
a =+-⨯⨯⨯=
所以a =7分
由sin sin()3a C c A π
=+
得24sin()4sin sin 333C C πππ=+=⇒=……9分
因为c a <，所以cos C ==
11分
所以212743
sin 22sin cos 2C C C ===
12分 22271
cos22cos 12(
17
C C =-=⨯-=…………13分 1134313
cos(2)cos
cos 2sin
sin 23
3
2714
A C C C π
π
-=+=
⨯+=
…………14分 （17）（本小题满分15分）
解: 因为1AA ⊥平面ABC ,90BAC ∠=︒
如图,以11A B 为x 轴,11A C 为y 轴,1A A 为z 轴建立空间直角坐标系: 因为11AA AB AC ===,所以1(0,0,0)A ,1(1,0,0)B ,1(0,1,0)C , (0,0,1)A ,(1,0,1)B ,(0,1,1)C , …………2分
（Ⅰ）1(0,1,1)AC =-u u u u r ,1(1,0,1)A B =u u u u r
…………3分
111111cos ,||||AC A B AC A B AC A B ⋅<>=u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r 1
222
==-⨯……4分
所以异面直线1AC 与1A B 所成的角为60︒.………5分
（Ⅱ）1(1,1,1)BC =--u u u u r ,设平面1ABC 的法向量为1111(,,)n x y z =r
111
1
AC n BC n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u r u u u u
r u u r 1111100y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 10x =,不妨令111,1z y ==,则平面1ABC 的一个法向量为1(0,1,1)n =r
…………6分
设平面11BC A 的法向量为2222(,,)n x y z =r ,12120
A B n BC n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u r
u u u u r u u r
22222
0x z x y z +=⎧⎨
-+-=⎩ 20y =,不妨令221,1x z ==-,则平面11BC A 的一个法向量为2(1,0,1)n =-r
. …………7分
121212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>=u u r u u r
u u r u u r u u r u u u r 1
2-=………………………9分
从而123
sin ,n n <u u r u u r ,所以二面角11A BC A --3.……………………10分
（Ⅲ）假设在平面ABC 的边上或内部存在一点(,,1)N x y , 因为M 为1A B 的中点, 1(1,0,1)A B =u u u u r
所以11
(,0,)22
M , ………………………12分
所以11
(,,)22
MN x y =-u u u u r ，又1(0,1,1)AC =-u u u u r ,1(1,1,1)BC =--u u u u r
则1100AC MN BC MN ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 12y x y
⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以11(,,1)22N ………………………14分
且12
BN BC =u u u r u u u r
,所以N 是BC 的中点.
故存在点N ,N 为BC 的中点,满足条件. ………………………15分 （18）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）Q 数列{}n a 的前n 项和22
n n n S +=，
因为1n =时，111a S ==………………1分 2n ≥时，22111
[(1)(1)]()22
n S n n n n -=
-+-=- 所以1n n n a S S n -=-=(2)n ≥………………3分 又1n =时，11a =满足上式 所以n a n =………………………………5分 又2log n n a b = 所以2log n n b = 所以2n n b =………………6分
（Ⅱ）1(,2)2(,n
n n
n a n c n b 为奇数）
（为偶数）⎧
⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩由（Ⅰ）知，n a n =，2n n b =
所以1
1(,2)1(,2n n n n
n c n 为奇数）（为偶数）-⎧
⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩……………8分
21321242()()n n n T c c c c c c L L -=+++++++
221111111(
)()1335(21)(21)282
n n T n n L L -=+++++++⨯⨯-+ ……………11分 11
(1)
1111112
4(1)123352121
14
n n n L -=-+-++-+-+-……………13分 1121(1)(1)22134n n =-+-+ 71262(21)34n
n =
--+⋅……………15分 （19）（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）依题意，2
2
1,34
b =
=+.………2分
因为离心率c e a =
=222,a b c =+.………4分
解得a =
.………5分
所以椭圆E 的标准方程为2
2:13x y +=.………6分
（Ⅱ）因为直线y x m =+的倾斜角为45°，且PMN D
是以PMN Ð为顶角的等腰直角三角形，且P 在直线l 的右下方. 所以NP //x ,轴.………8分
过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以12(,)Q x y ，故122(2,)P x x y -.………9分
所以1223(2)450x x y -+-=，即1223(2)4()50x x x m -++-= 整理的126450(1)x x m L ++-=.………10分
由22221,463303x y x mx m y x m
得ìïï+=ï++-=íïï=+ïî 所以22
3648480m m D =-+>，解得22m -<<.………11分
所以123
2
x x m +=-
（2） 2
123(1)4
x x m =
-（3）.………12分 （1）-（2）得112m
x =-（4） （4）代入（2）得21x m =--（5）
（4）（5）代入（3）得2
2+10m m +=，解得-1m =(2,2)∈-.
所以m 的值为-1.………………………15分 （20）（本小题满分16分）
（I ）由12a =
得：1
()ln f x x x x =-+ 则211
()1f x x x
'=--+ ，所以(1)1f '=-,又(1)0f =.………3分
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+.………4分
（Ⅱ）因为1
()2ln f x x a x x
=
-+，所以()f x 定义域为(0,)+∞ 222
1221
()1a x ax f x x x x -+'=--+=-………5分
若1a ≤，则()0f x '≤，当且仅当1,1a x ==时，()0f x '=………6分
若1a >，()0f x '=
得12x a x a =-=+ 当12(0,)(,)x x x U ∈+∞时，()0f x '< 当12(,)x x x ∈时，()0f x '>
所以，当1a ≤时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；
1a >时，()f x 的单调递减区间
为(0,()a a ,
-++∞；单调递增区间
为(a a -+..………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若()f x 有两个极值点，则1a >，且12122,1x x a x x +== 所以1201x x <<<
21
()ln ()2g x x bx cx g x b cx x '=--⇒=
-- ，1
21212
2()()2x x g b c x x x x +'=--++ 由12()()0g x g x ==得221
12122
ln
()()x b x x c x x x =-+-.………11分 12
12()(
)2
x x y x x g +'=-22121212122()()()x x b x x c x x x x -=
----+ 121122
2()ln x x x
x x x -=
-+1
2112
2
2(
1)ln 1x x x
x x x -=
-+
令
12(0,1)x t x =∈，2(1)()ln 1
t h t t t -=-+ 22(1)()0(1)t h t t t --'=<+，所以()(0,1)h t 在上单调递减
由1212()(
)2x x y x x g +'=-的范围是2[ln2,)3
-+∞得1
(0,]2t 的取值范围.………14分 又12122,1x x a x x +==，2
222212
12121221
(2)()242x x a x x x x x x a x x =+=++⇒=
++
- 11 - 2122119422[,)2
x x a t x x t =++=++∈+∞，又1a >， 故实数a
的取值范围[
)4+∞.………16分。