高考数学一轮复习 第1讲 坐标系同步检测 文 新人教A版

选修4-4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
一、填空题
1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．
解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0)
2．过点(2，π
4
)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．
解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 2
3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，圆心坐标为
(0,2)．又易知点A ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为
0－232
＋2－2
2
＝2 3.
答案 2 3
4．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|
12＋32
＝2. 答案 2
5．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．
解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)，
由图可知⎩⎪⎨⎪
⎧φ＝θr ＝12
ρ.
把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2≤φ≤π2，
这就是所求的轨迹方程．
由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a
2的圆．
答案 以(a 2，0)为圆心，以a
2
为半径的圆
6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π
4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，
则线段AB ＝________.
解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ＝2cos θ，θ＝π
4得⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ＝2，
θ＝π
4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.
答案
2
7．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2
＋2ρcos θ＝0，点P
的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切
值是________．
解析 圆C 的极坐标方程：ρ2
＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x
＋1)2
＋y 2
＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为
|－k ＋2|k 2＋1
＝1，∴k ＝3
4，即tan α
＝3
4.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为4
3.
答案 43
8．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2
－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
解析 注意到曲线ρ2
－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－2＋m |
5＞
1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10. 答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题
9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
解 (1)把极坐标系下的点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标
(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4
2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，
由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
10．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2
＋y 2
＝4，圆C 2：(x －2)2
＋y 2
＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨
⎪
⎧
ρ＝2，ρ＝4cos θ
得ρ＝2，θ＝±π3
，
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别
为(1，3)，(1，－3)．
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝t (－3≤t ≤3)．
⎝
⎛⎭
⎪⎫
或参数方程写成⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝y －3≤y ≤3
法二 将x ＝1代入⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝tan θ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3≤θ≤π3。