齐齐哈尔市二模理科

高三数学试题（理科）
考生注意∶
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围∶高考范围。

一、选择题∶本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R ，集合{}|22A x x =-<<，2{|3
1}x B y y ==-，则U ()A B = ð A.[)
1,2- B.(]2,1-- C.(1,2)- D.[)2,1-2.已知复数102i 32i z -=
+(i 为虚数单位)，则||z =
A.1
B.4
C.
D.
3.若双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的虚轴长为2，焦距为
A.y =
B.2y x =±
C.22y x =±
D.12
y x =±4.某校拟从1200名高一新生中，采用系统抽样的方式，抽取48人参加市"抗疫表彰大会"，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能参加市"抗疫表彰大会"的是
A.327
B.387
C.937
D.1087
5.已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，c αβ= ，a α⊂，b β⊂，则"a ，b 相交"是"a ，c 相交"的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若23log 3.log 5a =，29log 4b =，0.992c =则A.a c b << B.a b c
<< C.c a b << D.c b a <<7.《孙子算经》中有如下问题∶"今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄
二，翁啄四.主责本粟.问∶三鸡各偿几何."意思是;"今有3只鸡一起吃1001
粒谷子.小鸡吃1粒，母鸡吃2粒，公鸡吃4粒.要一起吃完这堆谷子，
问：3只鸡各要吃多少?"为了研究小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程
序框图，则输出k 的值为
A.141
B.142
C.143
D.1448.已知51sin()123x π-
=，则2021cos(2)6x π-=A.2
3 B.79 C.89 D.2
3
-9.在面积为S 的△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2243tan S b c A +=+
，则a =A.1 B.3 C.2 D.3
10.函数1()sin 1
x x e f x x e -=⋅+，在[,]ππ-上的图象大致为
A B
C
D
11.把圆心角为
23π的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为A.243256 B.128243 C.128729 D.25672912.已知 ()f x 为奇函数，当[01]x ∈，时，1()12||2f x x =--；当(,1)x ∈-∞-，1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>恒成立，则实数m 的取值范围为
A.(1,2)(2,)
+∞ B.1(ln 2,2)(2,)2++∞ C.11(ln 2,1)(ln 2,)22
---++∞ D.1(2ln 2,2)(2,)2-++∞ 二、填空题∶本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知1021001210(2x)a a x a x a x -=++++ ，则12310a a a a ++++= _____________
14.在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，若BF AB AD λμ=+ ，则λ+μ的值是______
15.已知函数()sin()(04,||)2f x x πωϕωϕ=+<<<，7()()01212f f ππ==，则()f x =_______16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F
，点00(,)2p M x x >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2p x =
|MA ，若||2||
MA AF =则||AF =_________·三、解答题∶共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题∶共60分。

17.（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，0n a >，11a =，22
1126(N )n n n n a a a a n *++=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若21log n n n
a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD
为菱形，120BAD ∠=
,11122AB AA A B ===.
(1)若M 为CD 的中点，求证∶1AM B B ⊥;
(2)求直线1AD 与平面1A BD 所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
每年3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金.为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖;植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数.
(1)经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数X 近似服从正态分布N （25，25），请估计植树的棵数X 在区间（20，25]内的人数（结果四舍五入取整数）;
(2)某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量Y （单位∶元），求Y 的分布列;
(3)某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一∶甲箱内摸奖三次;方法二∶乙箱内摸奖两次;方法三∶甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次.请问∶这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大.
附∶若2
X N μσ～（，），则(X )0.6827P μσμσ-<+=≤，(2X 2)0.9545P μσμσ-<+=≤.
已知函数2()ln 2(R)a f x x a x
=-+∈(1)讨论函数()f x 的极值;
(2)设()()2ln g x f x a x x =++，若()g x 有三个零点，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2,点00(,)P x y 在椭圆C 上，
当112PF F F ⊥时，12PF F △的面积为
2
.(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求1ABF △面积的最大值;
(3)过点00(,)P x y 的直线l 与椭圆C 相切，且直线l 与圆22250x y x --=＋相交于M ，N 两点，证明∶11F M F N
⊥
（二）选考题∶共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4∶坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为32cos 0ρθρ+-=，
曲线2 C 的极坐标方程为sin()4
πρθ+
=(1)求曲线1C ，2C 的直角坐标方程;
(2)设过点(2,1)M -且与曲线2C 平行的直线交曲线1C 于A ，B 两点，求||||MA MB 的值.23.（本小题满分10分）选修4-5∶不等式选讲
已知a ，b ，c 都为正实数，且a +b ＋c =3.证明∶
(1)
(2)1111118()()()33327
a b c ---≥。