教师版-初一全国联赛班选拔题

初一全国联赛班学生选拔试题
（老师：您好！请在本周课上安排45分钟做测试，试卷拿回家严格批改，下次课务必把试卷带到教学点，交给教学点负责人。

） 1.
23232561)(22)(231)x x x x x x x -+---+-+-++324当x ＝-时，代数式（3x 的值是多少？125 [解答] 将原式整理得到52x + 24125
2424152|521.12512525x x x =-⎛⎫=-
+=⨯-+= ⎪⎝⎭将代入,得 2. ,,,,,x y x y ax by cxy a b c
**=+-***≠对于任意有理数定义一种运算，规定其中的表示已知数，等式右边是通常的加，减，乘运算，又知道12＝3，23＝4，x m=x(m 0),则m 的数值是多少？
[解答] 由题设的条件得到
000.a bm c m +-=所以 0.bm =由
0,0.123,234,
23264
m b x y ax cxy a c a c ≠=*=-*=*=-=⎧*⎨-=⎩得所以等式改为，因为所以，解得a=5,c=1. 所以题设的等式即x y=5x-xy, 在这个等式中，令 x=1,y=m,得5-m=1,所以m=4
3如右图所示，a,b,c,d,e,f 均为有理数，图中各行，各列，
两条对角线上三个数之和都相等，则
ab cd ef a b c d e f
+++++++的值是多少？ [解答] 由6723;d f f d ++=++⇒=
由26,31;71379d a b a d b b d ++=++=⇒=-++=-++=
所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9，易求得4,1,5,0a e c f ====
则4(1)5310114(1)531012
ab cd ef a b c d e f ++⨯-+⨯+⨯==++++++-++++ 4.1990199219911992[19911990(19911992)]}---计算－{的值是多少？
[解答] 原式={199219911992[19911990]}1992{19911992}1992(1)1993---=--=--=
5. 如右图所示
,,,,,
p ABC AP BP CP D E F ABC 为内一点，分别交对边于把分成六个小三角形，
其中四个的面积在图中给出，
那么ABC 的面积是多少？
[解答] 设剩下两块面积分别为x,y ，如题设图，则有以下关系式： 844030842056358440353084353040315
ABC x BP y y PE x BD y DC S x y ++⎧==⎪⎧⎧⎪⎨⎨⎨+⎩⎩⎪==⎪+⎩=+++++=＋x －＝x ＝化简，得解得112+3x-4y=0y=70故
**，B 两地相距20千米，甲，乙两人分别从A,B 两地同时相相而行，两小时后相遇；然后甲回A 地，乙继续向前，当甲回A 地时，乙离A 地还有2千米 ，那么甲的速度为多少？乙的速度时是多少？
[解答] 设相遇点为C ，则甲从A 到C 与从C 到A 所需时间相同，均为2小时，共4小时，
故202 4.54
V -==乙（千米/小时）， 20 4.5 5.52
V 甲＝－＝（千米/小时）.
7.（以下两题任选其一）
（1）,)()()z a b x b c y c a z a c b
=-+-+-+-x y ＝求（的值。

a+b-c b+c-a （2）22263,129x y z y z ==++2若且xy+yz+zx=99，则2x 的值是多少？
[解答] (1)令,z a c b
=+-x y ＝a+b-c b+c-a =k 则x=k(a+b-c),y=k(b+c-a),z=k(a+c-b),以此代入求值式中， 得（a-b ）x+(b-c)y+(c-a)z=k[(a-b)(a+b-c)+(b-c)(b+c-a)+(c-a)(c+a-b)] 222222[]0k a b ac bc b c ab ac c a bc ab --++--++--+=＝
(2) 因 3,2.x y z y ==所以99xy yz zx ++= 变成21199,y = 故 2
9,y =
因此2222212966594x y z y ++==
8.（以下两题任选其一）
（1）一个自然数a ,若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b.如果a 恰是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”。

①请你举例说明：“希望数”一定存在。

②请你证明：如果a ，b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数。

（2）少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过
程是：输入的第一个整数1212,x x x x -只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现在小明将从1到1991这一千九百一十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为p ，试求出p 的最大值，并说明理由。

[解答] (1) ①由于428571=3×142857，所以428571是一个“希
望数”
说明：一个自然数a ，若将其数字重新排列可得一个新的自然
数b ．如果a 恰是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”．这实际上
给出了“希望数”的定义．考察参赛学生阅读理解定义的能力，并
能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不
到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例．
如：3105=3⨯1035, 所以3105是个“希望数
或：7425=3×2475，所以7425是个“希望数”；
或：857142=3×285714，所以857142是个“希望数”．
以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：
37124568=3×12374856
43721586=3 ×14573862
692307=3×230769
461538=3× 153846
705213=3× 235071
8579142=3 × 2859714
594712368=3 ×198237456
37421568=3×12473856 ‘
341172=3×113724．
可见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142， 594712368，37421568，341172都是希望数，事实上用3105是“希望数”，可知31053105也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无 穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个．
②由a 为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a 的数字重新排列而成的自然数P ，使得a=3p 并且a 的数字和等于P 的数字和．由a=3P,知a 为3的倍数．但a 的数字和等于P 的数字和，所以由整除判别法，知3|p -, 即p -为3的倍数，所以p -=3m(m 为正整数)， 因此 a=3 × p -
=3 ×(3m)=9m ．因此a 被9整除．但a 的数字和等于p -的数字和，所以由被9整除的判别法可得9 |p -，即p -=9k (k 是整数)．所以 a=3p -=3×(9k)=27k．于是a 是27的倍数．这样就证明了，“希望数”一定能被27整除．现已知a ，b 都是“希望数”，所以a ，b 都是27的倍数．即a=271212,27(,n b n n n =为正整数)．
所以 ab=(271n )(272n ) 1212(2727)()
729n n n n =⨯⨯=
所以ab 一定是729的倍数
(2) 由于输入的数都是非负数．当．1x ≥0，2x ≥0时，
1212,x x x x -不超过中最大的数．对1x ≥0，2x ≥0，3x ≥0，则
123123,,x x x x x x --不超过中最大的数．小明输入这1991
个数设次序是121991,...x x x ，相当于计算：12319901991......x x x x x p ----=．因此P 的值≤1991． 另外从运算奇偶性分析，12,x x 为整数． 1212x x x x -+与奇偶性相同．因此P 与12x x ++…+1991x 的奇偶性相同．但121991...12 3...1991x x x ++=+++=偶数．于是确定P ≤1990．我们证明P 可以取到1990． 对l ，2，3，4，按如下次序13420.(41)(43)(44)(42)0k k k k ---=+-+-+-+= 对k=0，1，2，…均成立．因此，1～1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后 1989199019911990--=．所以P 的最大值为1990．。