四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：15函数综合(1)

A15.函数综合(1)
一、基础知识
1.函数是最重要的数学思想,在处理函数综合问题时,借助函数图象数形结合处理函数综合问题是重要且有效的方法. 分类讨论、换元、等价转化是常见的处理手段.
2.一次、二次、指数、对数、幂函数、双勾、双升、双减、一二次比式、三角函数等是函数的基本载体. 二、典型例题与基本方法
1.若函数1
2()1sin 21
x x
f x x +=+++区间[,]k k -上的值域为[,].m n 则m n +的值是
2.如果函数2
()()31,x
x
f x a a a =--(0a >且1).a ≠在[0,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 3.如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =
-+-+≥≥在区间1
[,2]2
上单调递减,则mn 的最大值为 4.已知函数sin
1,0,()2
log (0,1),0.
a x
x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点恰好有3对,则实数a 的取值范围是
5.已知函数2()|log |1(0),f x a x a =+≠定义函数(),0
(),(),0
f x x F x f x x >⎧=⎨
-<⎩给出下列命题：①()|()|F x f x =；
②函数()F x 是偶函数；③当0a <时,若01,m n <<<则有()()0F m F n -<成立； ④当0a >时,函数()2y F x =-有4个零点.其中正确结论的序号是
6.
函数y =+的值域为
7.若函数()sin cos 1sin cos (,)f x a x b x b x a x a b R =+-+-∈的最大值为11,则2
2
a b += 8.在ABC ∆中
,2,AB AC BC ===点,D E 分别在边,AC BC 上,且
||||BE CD EC DA =∣∣
∣∣
,则AE BD ⋅的最大值为
9.已知在ABC ∆中,9,6ABC AB AC S ∆⋅==,若3,AC P =为线段AB 上的点,且CA
CB
CP x y
CA CB =+∣∣∣∣
,则xy 的最大值为
10.在扇形OAB 中,60,AOB C ∠=︒为弧AB 上的一个动点.若,OC xOA yOB =+,则3x y +的取值范围是
11.设(2) (4)
()1() (4)2
x f x x f x x +<⎧⎪
=⎨>⎪⎩.
(1)求2(1log 3)f +的值. (2)已知2
2
()ln[(1)(1)1]g x m x m x =---+的定义域为,R 求实数m 的取值范围.
12.已知向量(sin ,1),(4,2).a x b ==-函数(),.f x a b x R =⋅∈ (1)求函数()f x 的解析式； (2)设π()2,4g f θθ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭当3,84ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦时,()0g k θ-=有解,求实数k 的取值范围； (3)设2()
(),f x h x a
=求函数()h x 的值域.
13.已知,A B 两点的坐标分别为33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,其中,0.2x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
(1)求AB 的表达式； (2)若1
(3
OA OB O ⋅=
为坐标原点),求tan x 的值； (3)若()2
()4f x AB AB R λλ=+∈,求函数()f x 的最小值.
B15.练习 姓名：
1.关于x 的方程(
)
2
2
21
10x x k ---+=,给出下列四个命题：
①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若
2sin sin a b c B A
+=,则A ∠的大小为 3.设α为锐角,若4cos 65πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值为 4.若方程()222log log 11x x m --=+有两个不同的解,则实数m 的取值范围是 5.已知函数2
()1g x x ax =-
+的值域为[0,)+∞,设()()g x f x x
=
,若不等式()220x x
f k -⋅≥在[]1,1x ∈- 上有解,则实数k 的取值范围为
6.如图,矩形ABCD 中,3,4,,AB AD M N ==分别为线段,BC CD 的点,且满足22
11
1CM CN
+=, 若AC xAM y AN =+,则x y +的最小值为 7.已知向量()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==25
.5
a b -= (1)求()cos αβ-的值； (2)若0,02
2
π
π
αβ<<-
<<,且5
sin 13
β=-
,求sin α的值.
8.已知向量,,,a b c d 及实数,x y 满足()1,3,.a b c a x b d ya xb ===+-=-+若,a b c d ⊥⊥且10.c ≤ (1)求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域；
(2)若[]1,2x ∈时,不等式()16f x mx ≥-恒成立,求实数m 的取值范围.
A15.函数综合(1)
一、基础知识
1.函数是最重要的数学思想,在处理函数综合问题时,借助函数图象数形结合处理函数综合问题是重要且有效的方法. 分类讨论、换元、等价转化是常见的处理手段.
2.一次、二次、指数、对数、幂函数、双勾、双升、双减、一二次比式、三角函数等是函数的基本载体. 二、典型例题与基本方法
1.若函数1
2()1sin 21
x x
f x x +=+++区间[,]k k -上的值域为[,].m n 则m n +的值是
解：1221()1sin 2sin .2121x x x
x f x x x +-=++=++++由21
sin 21
x x y x -=++为奇函数,所以函数()f x 的图象关于(0,2)对称.因为函数()f x 的值域为[,],m n 所以 2.2
m n
+=于是 4.m n +=
2.如果函数2
()()31,x
x
f x a a a =--(0a >且1).a ≠在[0,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 解：令,x
t a =则2
2
()(31).f x t a t =-+
当1a >时,函数x
y a =在[0,)+∞上单调递增,且1,x
t a =>要使原函数是增函数,二次函数2
2
(31)y t a t =-+需
要满足
2311,2
a +≤
解得33a -≤≤此时无解. 当01a <<时, 函数x
y a =在[0,)+∞上单调递减,且(0,1],x
t a =∈要使原函数是增函数,二次函数
2
2
(31)y t a t =-+需要满足2311,2
a +≥
解得a ≤
a ≥
1.a ≤< 所以实数a
的取值范围是 3.如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =
-+-+≥≥在区间1
[,2]2
上单调递减,则mn 的最大值为 解：当2m =时,()(8)1,f x n x =-+若函数在区间1
[,2]2
上单调递减,则80,n -<所以08.n ≤< 所以016.mn ≤<
当2m >时,函数图象为开口向上的抛物线,若函数在区间1[,2]2上单调递减,则对称轴8
2,2n m
-≥- 即212.m n +≤当且仅当26m n ==即3,6m n ==时,mn 取得最大值18.
当02m ≤<时,函数图象为开口向下的抛物线,若函数在区间1[,2]2上单调递减,则对称轴
81
,22
n m -≤- 即218,n m +≤则109.2n m ≤≤-因为02,m ≤<所以21
916.2
mn m m ≤-< 综上mn 的最大值为18.
4.已知函数sin
1,0,()2
log (0,1),0.
a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点恰好有3对,则实数a 的取值范围是
解：sin()1sin
122x
x
y ππ=-
-=--与log (0,1)a y x a a =>≠且有三个交点,因为sin
10,2
x
y π=--≤所以
0 1.a <<log 52log 92
a
a >-⎧⎨<-⎩,故实数a 的取值范围是1(,).35 5.已知函数2()|log |1(0),f x a x a =+≠定义函数(),0
(),(),0f x x F x f x x >⎧=⎨
-<⎩
给出下列命题：①()|()|F x f x =；
②函数()F x 是偶函数；③当0a <时,若01,m n <<<则有()()0F m F n -<成立； ④当0a >时,函数()2y F x =-有4个零点.其中正确结论的序号是
解：令2x =时,()(2)1,|()||(2)||1|,F x f a f x f a ==+==+当1a <-时,()|()|.F x f x ≠所以①错误. 因为(),0(),0
()().(),0(),0
f x x f x x F x F x f x x f x x -->-<⎧⎧-===⎨
⎨-<>⎩⎩所以②正确.
当0a <时,若201,()log 1.x F x a x <<=-+函数()F x 是单调递增,所以()()0F m F n -<成立.所以③正确. 当0a >时,因为函数()F x 是偶函数,且函数()F x 的最小值是1.所以函数()2y F x =-有4个零点.所以④正确. 所以其中正确结论的序号是②③④.
6.
函数y =
+的值域为
解：由 (√2x)2
+(√4−2x)2
=4,可设 √2x =2cosα,√4−2x =2sinα,0≤α≤π
2,则
y
=√x +√4−2x
=√2cosα+2sinα=√6sin (α+θ),
其中 cosθ=
√
6
sinθ=√2
√6
. 由 0≤α≤π
2,得 θ≤α+θ≤π
2+θ,则sinθ≤sin (α+θ)≤1,即得√2≤√6sin (α+θ)≤√6.
7.若函数()sin cos 1sin cos (,)f x a x b x b x a x a b R =+-+-∈的最大值为11,则2
2
a b += 解：
f (x )=∣asinx +bcosx −1∣+∣bsinx −acosx∣
=∣∣√a 2+b 2sin (x +α)−1∣∣+∣∣√a 2+b 2cos (x +α)∣∣≤∣∣√a 2+b 2sin (x +α)∣∣+∣∣√a 2+b 2cos (x +α)∣∣+1=√a 2+b 2(∣sin (x +α)∣+∣cos (x +α)∣)+1
=√2(a 2+b 2)∣∣sin (x +α±π4)∣∣
+1,
因为函数 f (x ) 的最大值为 11,所以 √2(a 2+b 2)+1=11,可得 a 2+b 2=50.
8.在ABC ∆中,2,7,5AB AC BC ===点,D E 分别在边,AC BC 上,且
||||BE CD EC DA =∣∣
∣∣
,则AE BD ⋅的最大值为 解：3
4
-
9.已知在ABC ∆中,9,6ABC AB AC S ∆⋅==,若3,AC P =为线段AB 上的点,且CA
CB
CP x y
CA CB =+∣∣∣∣
,则xy 的最大值为
解：由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9,得 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =9,又 AC =3,所以 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =3 ①,由 S △ABC =6,得 AB ⋅sinA =4 ②,联立①②可得 AB =5,cosA =3
5,所以 BC 2=AC 2+AB 2−2AB ⋅ACcosA =16,即 BC =4,所以 △ABC 为直 角三角形,以 CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系可得 C (0,0),A (3,0),B (0,4).又 P 为线段 AB 上的点,则存在实数 λ 使得 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ,4−4λ)(0≤λ≤1), 设
CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ∣CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=e 1,
CB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∣CB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=e 2,且 e 1=(1,0),e 2=(0,1),所以 CP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0)+(0,y )=(x,y ),故 x =3λ,y =4−4λ, 则 4x +3y =12,又 4x +3y ≥2√4x ⋅3y ,所以 xy ≤3,故 xy 的最大值为 3.
10.如图,在扇形OAB 中,60,AOB C ∠=︒为弧AB 上的一个动点.若,OC xOA yOB =+,则3x y +的取值范围 是
解：设半径为 1,由已知可设 OB 为 x 轴的正半轴,O 为坐标原点,建立直角坐标系. 那么 B (1,0),A (12,
√3
2
),C (cosθ,sinθ).由题意得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (12,
√3
2
)+y (1,0).
整理得{x
2
+y =cosθ√32
x =sinθ.解得{x =√
3
y =cosθ−3
故x +3y =
3
+3cosθ−√3sinθ=3cosθ−
√3
3
sinθ.(0≤θ≤π
3)
而函数 f (θ)=3cosθ−√3
3
sinθ 在 [0,π
3] 上为减函数,由单调性求得其值域为 [1,3].
11.设(2) (4)
()1() (4)2
x f x x f x x +<⎧⎪
=⎨>⎪⎩.
(1)求2(1log 3)f +的值. (2)已知2
2
()ln[(1)(1)1]g x m x m x =---+的定义域为,R 求实数m 的取值范围. 解：(1)因为221log 33,<+<所以222(1log 3)(21log 3)(3log 3).f f f +=++=+ 因为243log 35,<+<
所以22221log 3log 3log 3log 3332211111111
(1log 3)(3log 3)()
()()22.222888324
f f +-+=+==⋅=⋅=⋅=⨯=
(2)22
(1)(1)10m x m x ---+>对任意的x R ∈恒成立.
若2
10,m -=即1,m =±当1m =时,2
2
(1)(1)10m x m x ---+>对任意的x R ∈恒成立. 当1m =-时,2
2
(1)(1)10m x m x ---+>即为210x -+>对任意的x R ∈不恒成立,故 1.m = 若2
10,m -≠2
2
2
10,[(1)]4(1)0.m m m ->∆=----<解得5
3
m <-
或 1.m > 综上所述实数m 的取值范围为5(,)
[1,).3
-∞-+∞
12.已知向量(sin ,1),(4,2).a x b ==-函数(),.f x a b x R =⋅∈ (1)求函数()f x 的解析式； (2)设π()2,4g f θθ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭当3,84ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()0g k θ-=有解,求实数k 的取值范围； (3)设2()
(),f x h x a
=
求函数()h x 的值域. 解：(1)()4sin 2.f x a b x =⋅=- (2)ππ()24sin 2 2.44g f θθθ⎛⎫⎛⎫=-
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
因为3,84ππθ≤≤所以32,42ππθ≤≤所以502.4
4ππθ≤-≤ 所以sin 21,24πθ⎛
⎫
-
≤-≤ ⎪⎝
⎭所以24sin 22 2.4πθ⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭
()0g k θ-=有解,即(
)k g θ=有解,故2,2.k ⎡⎤∈-⎣⎦
(3)224sin 2
(),.1sin a b x h x x R a x
⋅-=
=∈+ 法1：设4sin 2,t x =-则2sin ,[6,2].4t x t +=
∈-216()().420
t
h x k t t t ==++ 当0t =时,()0.k t =当0t ≠时
,16
().204
k t t t
=
++ 其中20
4t t
+
+在6,⎡-
-⎣递增,在(-递减,在(0,2]递减.
所以20
4(,4[16,).t t
+
+∈-∞-+∞从而()1.h x ⎡⎤∈-⎣⎦ 法2：设2
4sin 2,1sin x y x
-=
+得2sin 4sin 20.y x x y -++=令2
()42,f t yt t y =-++其中[]sin 1,1.t x =∈- 当0y =时,[]1
1,1,2
t =
∈-即有解.
当0y ≠时,由[]
1,1t ∈-时()0f t =有解,得 ①(1)(1)0f f -≤,解得3 1.y -≤≤
②0,(1)0,(1)0,21,164(2)0y f f y y y >⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎪-+≥⎩无解. ③0,(1)0,(1)0,21,164(2)0.
y f f y y y <⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪-+≥⎩
解得1 3.y --≤≤-
从而()1.h x ⎡⎤∈-⎣⎦所以函数()h x
的值域为1.⎡⎤-⎣⎦
13.已知,A B 两点的坐标分别为33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x A B ⎛
⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,其中,0.2x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
(1)求AB 的表达式； (2)若1
(3
OA OB O ⋅=
为坐标原点),求tan x 的值； (3)若()2
()4f x AB AB
R λλ=+∈,求函数()f x 的最小值.
解：(1) 因为 x ∈[−π2
,0],所以
∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(cos 3x 2−cos x 2)2+(−sin 3x 2−sin x 2)
2
=√2−2cos2x
=√4sin 2x =−2sinx.
(2) 由已知,得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =cos2x =13, 则
sin 2x =
1−cos2x 2=1
3,cos 2x =1+cos2x 2=2
3.
因为 x ∈[−π
2,0],所以sinx =−√3
3
,cosx =
√6
3
.于是 tanx =−
√2
2
. (3) 由(1),得
f (x )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4λ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣
∣=4sin 2x −8λsinx =4(sinx −λ)2−4λ2.
由 x ∈[−π2,0],得 sinx ∈[−1,0].当 −1≤λ≤0 时,f (x ) 的最小值为 −4λ2,此时 sinx =λ.
当 λ<−1 时,f (x ) 的最小值为 4+8λ,此时 sinx =−1,当 λ>0 时,f (x ) 的最小值为 0,此时 sinx =0. 综上,f (x )min
={8λ+4,λ<−1−4λ2,−1≤λ≤00,λ>0
B15.练习 姓名：
1.关于x 的方程(
)
2
2
21
10x x k ---+=,给出下列四个命题：
①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解：A 根据题意可令 ∣x 2−1∣=t (t ≥0),则原方程化为 t 2−t +k =0,
设方程 t 2−t +k =0 的两根为 t 1,t 2(不妨设 t 1≤t 2),则 Δ=1−4k ≥0,得 k ≤1
4.
则 {t 1+t 2=1,
t 1⋅t 2=k,
结合 t =∣x 2−1∣ 的图象可知：
①当 k <0 时,t 1<0<1<t 2,所以原方程有 2 个不同的实根. ②当 k =0 时,t 1=0,t 2=1,所以原方程有 5 个不同的实根. ③当 k =1
4
时,t 1=t 2=1
2
,所以原方程有 4 个不同的实根.
④当 0<k <1
4 时,0<t 1<t 2<1,所以原方程有 8 个不同的实根.
2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A
+=,则A ∠的大小为 解： π
4
3.设α为锐角,若4cos 65πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭,则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值为 解： 17√2
50
提示：2α+π
12=(2α+π
3)−π
4.
4.若方程()222log log 11x x m --=+有两个不同的解,则实数m 的取值范围是
解：法1方程化简为 log 2
x 2x−1
=m +1,即 log 2[x −1+
1x−1
+2]=m +1,设 x −1=t >0,
则原方程转化为 t +1t
+2=2m+1,根据对勾函数的图象可得,要使 y =2m+1 与 y =t +1t
+2 的图象有两个 不同的交点,则函数 y =2m+1 的值要大于函数 y =t +1
t +2 的最小值,而其最小值是 4,
所以 2m+1>4,解得 m >1. 实数 m 的取值范围是(1,+∞)
法2由题意知 {x >0,x −1>0, 即 x >1,方程化简为 log 2x 2x−1=m +1,故 x 2
x−1=2m+1,
即 x 2−2m+1x +2m+1=0,此方程在 x >1 时有两个不同的解, 所以 {2m >1,
1−2m+1+2m+1>0,Δ=22m+2−4×2m+1>0, 得 m >1.
5.已知函数2
()1g x x ax =-
+的值域为[0,)+∞,设()()g x f x x
=
,若不等式()220x x
f k -⋅≥在[]1,1x ∈- 上有解,则实数k 的取值范围为
解：由 g (x )=x 2−√ax +1 的值域为 [0,+∞),得方程 x 2−√ax +1=0 的判别式 Δ=0,即 a =4,即 f (x )=x +1
x −2,所以 f (2k )−k ⋅2x ≥0 可化为 2x +1
2x −2≥k ⋅2x ,即 1+(12x )2
−2⋅1
2x ≥k ,令 t =1
2x ,则 k ≤t 2−2t +1,因为 x ∈[−1,1],故 t ∈[1
2,2],记 ℎ(t )=t 2−2t +1,则 ℎ(t )max =1,所以 k 的取值范围为 (−∞,1].
6.如图,矩形ABCD 中,3,4,,AB AD M N ==分别为线段,BC CD 的点,且满足
22
11
1CM CN +=, 若AC xAM y AN =+,则x y +的最小值为
解：以 A 为坐标原点,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立坐标系,N 点的横
坐标为 a,M 点的纵坐标为 b .则 A (0,0),B (3,0),D (0,4),C (3,4),M (3,b ),N (a,4).因为 AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =xAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即 (3,4)=x (3,b )+y (a,4).所以 {3x +ay =3bx +4y =4
.所以 x +y =4a+3b−24ab−12.又 1CM +1CN =1,即 14−b +1
3−a =
1(0<b <3,0<a <2).
令 1
4−b =sinθ,1
3−a =cosθ,θ 为锐角,sinθ>1
4,cosθ>1
3⇒1
4<sinθ<2√2
3
. 代入 x +y =1+1
4sinθ+3cosθ−1
.所以当 sinθ=45
,b =
114
,a =4
3
时,x +y 的最小值为 54
.
7.已知向量()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==25
.5
a b -= (1)求()cos αβ-的值； (2)若0,02
2
π
π
αβ<<
-
<<,且5
sin 13
β=-
,求sin α的值.
解： (1) ∵ a =(cosα,sinα) , b ⃗ =(cosβ,sinβ) , ∴ a −b
⃗ =(cosα−cosβ,sinα−sinβ) , ∵ ∣a −b
⃗ ∣=2√55
, ∴ √(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2√55
,即 2−2cos (α−β)=45
, cos (α−β)=35
. (2) ∵ 0<α<π2
, −π2
<β<0 , ∴ 0<α−β<π , ∵ cos (α−β)=35
, ∴ sin (α−β)=4
5
,
∵ sinβ=−513
, ∴ cosβ=
1213
,
∴sinα=sin [(α−β)+β]
=sin (α−β)cosβ+cos (α−β)sinβ=4
5⋅12
12+35⋅(−5
13
)=
3365
∴ sinα=3365 .
8.已知向量,,,a b c d 及实数,x y 满足()1,3,.a b c a x b d ya xb ===+-=-+若,a b c d ⊥⊥且10.c ≤ (1)求y 关于x 的函数关系式()y f x =及其定义域；
(2)若[]1,2x ∈时,不等式()16f x mx ≥-恒成立,求实数m 的取值范围. 解：(1) 因为 a ⊥b ⃗ ,所以 a ⋅b ⃗ =0.又因为 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=1,∣c
∣≤√10,所以 ∣c
∣2
=c ⋅c
=[a +(x −3)b
⃗ ]2
=1+(x −3)2≤10.
所以 0≤x ≤6.因为 c ⊥d ,所以 c ⋅d =0.故c ⋅d =[a +(x −3)b ⃗ ]⋅[−ya +xb ⃗ ]=−y +x (x −3)=0, 所以 y =f (x )=x (x −3),其定义域为 [0,6].
(2) 当 1≤x ≤2 时,若 f (x )≥mx −16 恒成立,即 x 2−3x ≥mx −16 恒成立,亦即 m ≤x +16x
−3 恒成
立.
令 g (x )=x +
16x
−3,当 1≤x ≤2 时,g (x )min =g (2)=7,∴m ≤7.。