2022年安徽省黄山市第一中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年安徽省黄山市第一中学高二数学理上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知关于的不等式的解集为，则实数的值分别为( )
参考答案：
B
2. 定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f （x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣
t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）
A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]
参考答案：
D
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f （s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）
≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到
t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出
的取值范围．
【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；
∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：
s2﹣2s≥t2﹣2t；
∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；
以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；
不等式组所表示的平面区域，如图所示：
即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；
设，整理成：；
；
∴，解得：；
∴的取值范围是[]．
故选：D．
【点评】考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．
3. 对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（）
A．是的必要条件 B．是的必要条件C．是的充分条件 D．是的充分条件
参考答案：
B
略
4. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )
A．甲的极差是29 B．乙的众数是21
C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24参考答案：
D
5. “x＜0”是“＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】由＜0，化为x（x+1）＜0，解出即可判断出．
【解答】解：∵＜0，∴x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，
∴“x＜0”是“＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 命题若，则是的充分而不必要条件；
命题函数的定义域是，
则（）
A．“或”为假 B．“且”为真
C．真假D．假真
参考答案：
D
略
7. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如右图所示：
若两正数a，b满足的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 下列说法错误的是（）
A.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
B.有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体一定都是棱
台.
C.圆锥的轴截面是等腰三角形.
D.用一个平面去截球，截面是圆.
参考答案：
B
9. 将函数的图象向左平移一个单位，得到图象，再将向上平移一个单位得到图象，作出关于直线的对称图象，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
10. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
参考答案：
Ｄ
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为．参考答案：
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；数形结合法；不等式．
【分析】若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，从而化为线性规划求解即可．
【解答】解：若求目标函数的最大值，
则求2x+y的最小值，
作平面区域如下，
，
结合图象可知，
过点A（1，1）时，2x+y有最小值3，
故目标函数的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了指数函数的单调性的应用．
12. 数列前n项和为，则n为…………………( ) A．10 B．11 C．12 D．13
参考答案：
B
13. 已知数列{a n}的通项公式是，数列的通项公式是，令集合
，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n}．则数列{c n}的前28项的和
．
参考答案：
820
14. 已知集合A＝，B＝，若A∩B＝，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
[0，1]
15. 以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为；设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为；经过抛物线
的焦点作直线交抛物线于两点，若，则线段AB的长等于__________．
参考答案：
，，7；
16. 曲线在点处的切线方程
为．（化成“直线的一般式方程”）
参考答案：
17. 已知函数若函数处有极值10，则b的值为。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为
且点在椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值.
参考答案：
略
19. 已知函数f（x）=x3﹣3x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f （x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，
当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣1，1）上递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增，
当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1）=3，当x=1取到极小值f（1）=﹣1．…
（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，
∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=﹣3x
即3x+y﹣1=0．…
20. 设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0
（ I）求b；
（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（ I），
由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…
（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）知，，
…
（i）若，则，
故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…
所以，存在x0≥1，使得 a，b的充要条件为，…
即，所以，
满足，所以符合题意…
（ii）若，则，故当x∈（1，）时，f'（x）＜0，
x∈（）时，f'（x）＞0，
f（x）在（1，）上单调递减，f （x）在（）单调递增．…
所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．…
（ⅲ）若a＞1，则．所以a＞1符合题意．…
综上，a的取值范围为：…
21. 如图，已知抛物线的焦点在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、，切点为、．若、的斜率乘积为，且，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）的焦点为，所以，.
故的方程为，其准线方程为．………………………4分
（Ⅱ）任取点，设过点P的的切线方程为．………5分
由，得．………6分
由，化简得， (8)
分
记斜率分别为，则，
因为，所以………………10分
所以，
所以…………………………12分
22. （本小题满分12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证。

参考答案：
略。