第六节 函数的连续与间断

说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
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例4. 求 解: 原式
3 sin
x
ln(1
2x)
3 x
2x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
在 x R* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
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例1 求 lim x3
x3 x2 9.
解
y
x 3 可看作由 y x2 9
u
与u
x3 x2 9
复合而成，因为 lim x3
在 在
上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
证: 设函数
且
lim
x x0
(
x)
u0
.
即
于是 故复合函数
lim f (u)
uu0
f [lim (x)]. x x0
f [ (x0 )]
显然，在定理3的条件下，求复合函数f [φ(x)]的极限
时，函数符号f与极限符号lim可以交换次序.
x1
x1
lim f [(x)] lim (2 x) 3
x1
x1
故
在点 x = 1 不连续 , x = 1为第一类间断点 .
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内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
பைடு நூலகம்
x3 x2 9
1 6,
而函数
y
u 在点u 1 6
连续，所以
lim
x3
x3 x2 9
lim x 3 x3 x2 9
1
6.
66
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二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.
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思考与练习
续? 反之是否成立?
提示: “反之” 不成立 .反例
x 为有理数 x 为无理数
处处间断,
处处连续 .
作业: 22页1.3
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第二十二讲 连续函数的运算与 初等函数的连续性
主讲教师：陈殿友
总课时：128
第一章
§9连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
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一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
e xx0
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例5. 设
(x) xx, 4,
x 1 x 1
讨论复合函数
的连续性 .
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [ (x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
lim f [ (x)] lim x2 1
例如,
y 1 x2 的连续区间为
(端点为单侧连续)
y ln sin x 在连续区间(0，π)上,
lim ln sin x lnsin 0.
x
2
2
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例2. 求 解: 原式
例3. 求
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t), 原式 lim t t0 loga (1 t)
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调
递增 (递减). (证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, 其反函数