海南省儋州市一中2024届数学高一下期末调研试题含解析

海南省儋州市一中2024届数学高一下期末调研试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在数列中，（
，为常数），若平面上的三个不共线的非零向量
、
、
满足
，三点、、共线且该直线不过点，则
等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．设
为两个不同的平面，直线
，则“
”是“
”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( ) A ．{}
2
n a
B ．1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
C ．{}3n a
D ．{}
n a
4．正方体ABCD A B C D ''''-中，AB 的中点为P ，CC '的中点为Q ，则异面直线B P '与D Q '
所成的角是( ) A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5．已知函数()sin 3f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） ①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图象关于,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称； ③()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则
12373
x x x π++=
； A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
6．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，
170，
172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．171 172
B ．170 172
C ．168 172
D ．170 175
7． 数列{a n }的通项公式是
a n ＝(n ＋2)910n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，那么在此数
列中( )
A ．a 7＝a 8最大
B ．a 8＝a 9最大
C ．有唯一项
a 8最大 D ．有唯一项
a 7最大
8．已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ） A ．7
B ．7-
C ．11
D ．11-
9．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A ．63
B ．3
C ．83
D ．12
10．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设你往圆内随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A ．
12π
B ．
1π
C ．
13
π
D ．
1π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 12．若数列{}n a 的前4项分别是
1111
,,,24816
，则它的一个通项公式是______.
13．已知直线
134
x y
+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________. 14．若数列{}n a 满足112a =,2
12323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．
15．已知过两点()4,A y ，()2,3B -的直线的倾斜角是45，则y =______． 16．若cos80k ︒=，则cos40︒=________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M N 、分别为AB PC 、的中点，
,2,2PA AD AB AD ===.
（1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：面MPC ⊥平面PCD ； （3）求点B 到平面MNC 的距离.
18．已知公差大于零的等差数列{}n a 满足：343448,14a a a a =+=． （1）求数列{}n a 通项公式；
（2）记(2)n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
1
21n n b n a =
-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．求适合下列条件的直线方程：
()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3
y x =
的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。

21．已知(2cos ,cos ),(cos ,23sin )a x x b x x ωωωω==，函数()f x a b m =⋅+（其中0,m R ω>∈），且()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6
π
，并过点(0,2).
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调增区间.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
利用等差数列的定义可知数列
为等差数列，由向量中三点共线的结论得出
，然后利用等差数列的求和公式可计算出
的值.
【题目详解】
，
，所以，数列
为等差数列，
三点、、共线且该直线不过点，，
，
因此，.
故选：A. 【题目点拨】
本题考查等差数列求和，涉及等差数列的定义以及向量中三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题. 2、A 【解题分析】 试题分析：当满足
时可得到
成立，反之，当
时，与可能相交，
可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件
点评：命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件
3、C 【解题分析】
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可． 【题目详解】 A:
22
n+1n a -a =（a n +a n+1）（a n+1﹣a n ）=d[2a 1+（2n ﹣1）d]，与n 有关系，因此不是等
差数列． B:
n+1
n 11-
a a =n+1n -d
a a ⨯=[]11-d a +nd a +n-1d ⨯（）
（） 与n 有关系，因此不是等差数列.
C:3a n+1﹣3a n =3（a n+1﹣a n ）=3d 为常数，仍然为等差数列； D: 当数列{a n }的首项为正数、公差为负数时，{|a n |}不是等差数列； 故选：C 【题目点拨】
本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4、D 【解题分析】
首先根据//A E D Q ''得到异面直线B P '与D Q '
所成的角就是直线A E '与B P '所成角，
再根据A EB B PB '''≅即可求出答案. 【题目详解】
由图知：取BB '的中点E ，连接A E '.
因为//A E D Q ''，所以异面直线B P '与D Q '
所成的角就是直线A E '与B P '所成角.
因为A EB B PB '''≅，
所以EA B PB B '''∠=∠，A EB B PB '''∠=∠. 因为2
EA B A EB π
''''∠+∠=
，
所以90PB E A EB ︒'''∠+∠=，A E PB ''⊥.
所以异面直线B P '与D Q '所成的角为90︒. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题. 5、C 【解题分析】
()=2sin()3f x x π+，由此判断①的正误，根据()06f π
-≠判断②的正误，由
22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈求出()f x 的单调递增区间，即可判断③的正误，结
合()f x 的图象判断④的正误. 【题目详解】
因为()sin 3cos =2sin()3
f x x x x π
=++，故①正确
因为()2sin 106
6
f π
π
-==≠，故②不正确
由22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得522,66
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 所以()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增，故③正确
若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解， 结合()=2sin()3
f x x π
+的图象知，必有0,2x x π== 此时()=2sin()33
f x x π
+
=，另一解为3
x π
=
即1x ，2x ，3x 满足12373
x x x π
++=，故④正确 综上可知：命题正确的是①③④ 故选：C 【题目点拨】
本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.
6、A 【解题分析】
由中位数和众数的定义，即可得到本题答案. 【题目详解】
把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为
170172
1712
+=，众数为172. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查中位数和众数的求法. 7、A 【解题分析】
n a =(n+2)⎛⎫
⎪⎝⎭
n 910，()1
19310n n a n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以1310
29
n n a n a n ++=⨯+， 令
1
1n n
a a +≥，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 本题选择A 选项.
8、A 【解题分析】
先利用韦达定理得到关于a,b 的方程组，解方程组即得a,b 的值，即得解. 【题目详解】 由题得23,1,6(2)3a
a b b -+=⎧∴==⎨
-⋅=-⎩
，
所以a+b =7. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9、A
【解题分析】
根据侧视图的宽为求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。

【题目详解】
侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，
又1
432
h ⨯⨯⇒= ∴
侧视图的面积为：3S ==【题目点拨】
理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。

10、B 【解题分析】
先根据条件计算出阴影部分的面积，然后计算出整个圆的面积，利用几何概型中的面积模型即可计算出对应的概率. 【题目详解】
设圆的半径为R ，因为OC AB ⊥，所以21
22
ABC
S R R R =⋅⋅=， 又因为2=O
S
R π，
所以落到阴影部分的概率为22
1
ABC O S R P S R ππ
===. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查几何概型中的面积模型的简单应用，难度较易.注意几何概型的常见概率公式：
P =
目标事件的区域长度（面积、体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积）
.
二、填空题：本大题共
6小题，每小题5分，共30分。

11【解题分析】
直接利用两点间的距离公式求解即可． 【题目详解】
点A （2，1），B （5，﹣1），则|AB |
==
【题目点拨】
本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查． 12、1
2n n
a =
【解题分析】
根据等比数列的定义即可判断出该数列是以
12为首项，1
2
为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式． 【题目详解】
解：∵1
11
8411224
==，
∴该数列是以
12为首项，1
2
为公比的等比数列， ∴该数列的通项公式是：1111
()222
n n n a -=
=， 故答案为：1
2
n n a =． 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式，属于基础题． 13、5 【解题分析】
分别求得A ，B 的坐标，再用两点间的距离公式求解. 【题目详解】 根据题意
令0x =得4y =所以(0,4)B 令0
y =得3x =所以(3,0)A 所以||5AB == 故答案为：5 【题目点拨】
本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14、
12
2017
【解题分析】
利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列
{}n a 的通项公式,利用所求的通项公式可以求出2017a 的值.
【题目详解】
2212121331(1)((23231))2)1(,
n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得, 122
111)1)((1n n n n n a n a n a n
n a a n +++-⇒
+==++, 所以有324
123
111123112
234
n n n a a a a n n a a a a a a n a --=
⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅=,因此2017122017
a =. 故答案为：
12
2017
【题目点拨】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力. 15、1- 【解题分析】
由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解． 【题目详解】
解：由已知可得：3
tan4514
2
AB y k +=
==-， 即32y +=，则1y =-． 故答案为1-． 【题目点拨】
本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 16【解题分析】
直接利用倍角公式展开，即可得答案. 【题目详解】
由cos80k ︒=，得2
cos(240)2cos 401k ⨯︒=︒-=， 即2
1
402
k cos +︒=
，
cos 402
∴︒=．
【题目点拨】
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
2
. 【解题分析】
(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD 内的一条直线平行于MN ，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD ，依据第一问结论知，MN 也垂直于面PCD ，利用面面垂直的判定定理即可证出；
（3）依据等积法B MNC N MBC V V --=，即可求出点B 到平面MNC 的距离．
【题目详解】
证明：（1）取PD 中点为G ，连接,,NG AG M N 、分别为AB PC 、的中点， 11,,,,22
NG CD NG CD AM CD AM CD AMNG ∴==∴∥∥是平行四边形， ,MN AG AG ⊂∥平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD 证明：（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，而CD AD ⊥,PA AD A ⋂= CD 面PAD ，而AG ⊂面PAD ，所以CD AG ⊥,
由PA AD =,G 为PD 的终点，所以AG PD ⊥
由于,,AG PD AG CD AG ⊥⊥∴⊥平面PDC ，又由（1）知，MN AG ∥ MN ∴⊥平面PDC ，MN ⊂平面MPC ，∴平面MPC ⊥平面PCD
解：（3）1132
B MN
C N MBC MBC V V S PA --==⋅△，
122MBC S BC BM ∆=⋅=，122
MNC S MN NC =⋅=△，
则点B 到平面MNC 的距离为122h PA =
= （也可构造三棱锥B PMC -）
【题目点拨】
本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力．
18、 (1)2n a n = (2) 1222n n T n n +=++-
【解题分析】
（1）由题可计算得346,8a a ==，求出公差，进而求出通项公式
（2）利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。

【题目详解】
解：（1）由公差0d >及343448,14a a a a =+=，解得346,8a a ==，
所以432d a a =-=，所以通项()332n a a n d n =+-=
（2）由（1
）有22n a n n n b a n =+=+，
所以数列{}n b 的前n 项和()12212(22)22212
n n n n n T n n +-+=+=++--．
【题目点拨】 本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式，属于简单题。

19、（1）()*153n a n n N
=-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解题分析】
（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T
.
【题目详解】 （1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，
则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，
()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；
（2）
()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=
====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦
， 因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（130y -+=（2）10x y -+=或70.x y +-=
【解题分析】
（1）根据倾斜角等于直线3y x =
的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。

（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1.
【题目详解】
（1）已知tan α，22tan tan 21tan k ααα===-
直线方程为31)y x +=+30y -+=
（2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-，
所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=
【题目点拨】
本题考查直线方程，属于基础题。

21、（1）2sin 2)1(6x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 【解题分析】
（1）根据向量的数量积得()f x 2sin 216x m πω⎛
⎫=+++ ⎪⎝⎭，结合2662
πω⨯+=ππ，
()02f =即可求解；
（2）令222,262k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈即可求得增区间.
【题目详解】
（1）由题2()2cos cos f x a b m x x x m ωωω=⋅+=++
cos 221x x m ωω=++
2sin 216x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝
⎭ ()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π，并过点(0,2) 所以2662
πω⨯+=ππ，解得1ω=， ()02sin 126f m π
=++=，解得：0m =， 所以2sin 2)1(6x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭； （2）令222,262k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈ 2222,33
k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ,36k x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈
函数()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦
. 【题目点拨】 此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点坐标和曲线上的点的坐标求参数，利用整体代入法求单调区间.。