2014年东三省一模(文科)试题

哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第一次高考模拟考试
文 科 数 学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．R
B ．{|0}x R x ∈≠
C ．{|02}x x <≤
D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =
A ．2 + 4i
B ．2 - 4i
C ．4 - 2i
D ．4 + 2i
3．命题―2,320x R x x ∀∈-+≥‖的否定是
A ．2,320x R x x ∃∈-+<
B ．2,320x R x x ∃∈-+>
C ．2,320x R x x ∃∈-+≤
D ．2,320x R x x ∃∈-+≥
4．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2 + a 4 + a 6 = 12，则S 7的值是 A ．21 B ．24 C ．28 D ．7
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1
()f x x
=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x
=
D ．2()f x x =
6．变量x ，y 满足约束条件1,2,0,y x x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪-≥⎩
则x + 3y 最大值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：
① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。

其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．已知函数()2x f x x =+，3()log g x x x =+
，()h x x =-a ，b ，c ，则
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A ．
23
π
B ．
3
π C ．29π D ．169
π
10．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且
且仅当a > b ，b < c 时称为―凹数‖（如213，312等），若,,{1,2,3,4}
a b c ∈a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是―凹数‖的概率是
A ．
16
B ．
524 C ．13
D ．
724
11．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为(,0)F c ，以原点为
圆
心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A
，则双曲线C 的离心率为
A
1
B
C
．
D
12．已知函数23log (1)1,10()32, 0x x f x x x x a -+-≤<⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩
的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是
A ．(0,1]
B
．
C ．[1,2]
D
．
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13
．若cos()sin 6
π
αα+
-=
5sin()6
π
α+=__________。

14．正方形ABCD 的边长为2，2DE EC = ，1()2
DF DC DB =+
，则BE DF ⋅= __________。

15．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16．已知函数()|cos |sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：
①2014(
)3f π=12|()||()|f x f x =，则12()x x k k Z π=+∈；③()f x 在区间[,]44
ππ
-上单调递增；④函数()f x 的周期为π；⑤()f x 的图象关于点(,0)2
π
-
成中心对称。

其中正确说法的序号是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 成公比小于1的等比数列，且sin sin()2sin 2B A C C +-=。

（1）求内角B 的余弦值； （2
）若b =ΔABC 的面积。

18．（本小题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：
关系式为：
0, 0100,4400, 100300,2000, 300.S ωωωω≤≤⎧⎪
=-<≤⎨
⎪>⎩
试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
附：
2
()()()()
K a b c d a c b d =++++
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直
于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1，点E
在SD 上，且AE ⊥SD 。

（1）证明：AE ⊥平面SDC ； （2）求三棱锥B —ECD 的体积。

20．（本小题满分12分）
椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>，且经过点P 。

过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点， l 2与椭圆M 交于B ，D 两点。

（1）求椭圆M 的方程；
（2）若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值。

21．（本小题满分12分）
已知函数1
()x
x f x e +=
（e 为自然对数的底数）。

（1）求函数()f x 的单调区间； （2）设函数1
()()'()x
x xf x tf x e ϕ=++
，存在函数12,[0,1]x x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）
选修4 – 1：几何证明选讲
如图，P A ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，C 是劣弧AB （不包括端点）上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ = ∠PBC 。

求证：
（1）
BD BC
AD AC
=
； （2）ΔADQ ∽ ΔDBQ 。

23．（本小题满分10分）
选修4 – 4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点
(3,5)P ，倾斜角为
3
π。

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||||
⋅的值。

PA PB
22．（本小题满分10分）
选修4 – 5：不等式选讲
设函数()|21||2|
=--+。

f x x x
（1）求不等式()3
f x≥的解集；
（2）若关于x的不等式2
≥-在[0,1]上无解，求实数t的取值范围。

f x t t
()3。