高考数学第1轮总复习 第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数课件 理 (广东专版)

＝sin(9°＋36°)
＝sin45°＝
2 2.
2.已知 tanα＝2，则 tan2α 的值为( )
A．－34
B．－43
C．－32
D．－23
【解析】tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×222＝－43.
3.(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1】原式＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
1．准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是 观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时
应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可运用
2 和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形， 最后运用诱导公式实现目标解决．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， 2 ( ) ( )， 2 等．对公式
⑥2cos2 1；⑦ 2tan ；⑧ a2 b2 sin( )； 1 tan2
⑨ a2 b2 cos( )；⑩1 cos2 ； 1 cos2
2
2
1.cos81°cos36°＋cos9°sin36°等于( )
2 A. 2
B．－
2 2
3 C. 2
D．－
3 2
【解析】原式＝sin9°cos36°＋cos9°sin36°
3 2.
一 给值求值
【例 1】已知 0<β<π4，π4<α<34π，cos(π4－α)＝35，sin(34π＋β)＝153， 求 sin(α＋β)的值．
【解析】因为π4<α<34π，所以－π2<4π－α<0， 所以 sin(π4－α)＝－45. 又因为 0<β<π4，所以34π<34π＋β<π， 所以 cos(34π＋β)＝－1123，
2．二倍角公式
sin 2 ④ __________ . cos 2 ⑤ __________ ⑥ __________ 1 2 sin2 . tan 2 ⑦ __________ .
3．辅助角公式
a sin bcos ⑧ __________，其中tan b .
2 会“正用”“逆用”“变形用”．
3．常见变换公式有：cos2 1 cos2 ，
2
sin2 1 cos2 ，
2
tan tan tan( )(1 tan tan )等．
4．三角函数求值的常见题型有两类： 给角求值和给式求值．
素材1
若 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，求ttaannαβ.
【解析】由 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，
得ssiinnααccoossββ－＋ccoossααssiinnββ＝＝12110
，
得 sinαcosβ＝130，cosαsinβ＝15，所以ttaannαβ＝scionsααcsoinsββ＝32.
a
a cos bsin ⑨ __________，其中tan b．
a 4.降幂公式
cos2 ⑩ __________ .sin2
【要点指南】
①sin cos cos sin ；②cos cos sin sin ；
③ tan tan ；④2sin cos；⑤ cos2 sin2 ； 1 tantan
3 2.
4.若 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则 tan(α＋π4)＝
3 22
.
【解析】tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)] ＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π4π4 ＝1＋25－25×14 14＝232.
5.若 sinα－sinβ＝1－ 23，cosα－cosβ＝12，则 cos(α－β)的值
【点评】此题若选用求 sin(α＋β)的值，则需进一步缩小 α，β 的范围，否则容易导致增解，对于此类问题，一般选择在相 应区间上具有单调性的三角函数来求解．
素材3
已知 α，β 都是锐角，并且 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β ＝0，试求 α＋2β 的大小．
【解析】由已知 3sin2α＝cos2β，① 3sin2α＝2sin2β，② ②÷①，得ssiinn22αα＝2csoisn22ββ，所以csoinsαα＝csoins22ββ， 所以 cosαcos2β－sinαsin2β＝0，所以 cos(α＋2β)＝0， 又 0<α＋2β<32π，所以 α＋2β＝2π.
(2)因为2sisniθnθ－＋3ccoossθθ＝2ttaannθθ－＋31， 所以2ttaannθθ－＋31＝－5，所以 tanθ＝2， 所以 3cos2θ＋4sin2θ＝3cos2θ－sins2iθn＋2θc＋os82θsinθcosθ ＝3－31ta＋n2tθa＋n2θ8tanθ＝75.
三 给式求角
【例 3】已知 α，β 都是锐角，且 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100， 求 α＋β 的值．
【解析】由 α，β 都是锐角，sinα＝ 55，sinβ＝ 1100， 可得 cosα＝255，cosβ＝31010， 因此 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ 22， 又 0<α＋β<π，所以 α＋β＝4π.
备选例题
(1)已知 8cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，求 tan(α＋β)·tanα 的 值；
(2)已知2sisniθnθ－＋3ccoossθθ＝－5，求 3cos2θ＋4sin2θ 的值．
【解析】(1)因为 2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α， 所以 8cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0. 展开得：13cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＝0， 同除以 cos(α＋β)cosα 得：tan(α＋β)tanα＝133.
二 化简求值
【例 2】求csoins1100°°－4cos10°的值．
【解析】csoins1100°°－4cos10° ＝cos10°－s4ins1in01°0°cos10° ＝cos10s°i－n120s°in20° ＝cos10°－s2isni1n03°0°－10° ＝cos10°－2sin30°csoins1100°°＋2cos30°sin10° ＝cos10°－cossin1100°＋° 3sin10°＝ 3.
【点评】给出非特殊角，一般考虑化为特殊角或使非特殊角 三角函数值互相抵消，约分求出值．
素材2 计算11＋ －ttaann1155°°的值．
【解析】因为 1＝tan45°， 所 以 11＋－ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
为
3 2
.
【解析】由 sinα－sinβ＝1－ 23两边平方，得 1－2sinα·sinβ
＝1－ 3＋43，
即 sinα·sinβ＝ 23－38.
由 cosα－cosβ＝21两边平方，得 1－2cosα·cosβ＝41，
即 cosα·cosβ＝38.
所以
cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式，了解它们的内在联系． 4．熟练应用公式进行化简、求值、证明．
1．两角和与差的三角函数公式
sin( ) ① __________ . cos( ) ② __________ . tan( ) ③ __________ .
所以 sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β) ＝－cos[(34π＋β)－(π4－α)] ＝－cos(34π＋β)·cos(π4－α)－sin(34π＋β)·sin(π4－α) ＝－(－1123)×35－153×(－45) ＝5665.
【点评】“凑角法”是给值求值中常用的技巧，解题时首 先要分析已知条件和结论中各个角之间的相互关系，并根 据这种关系来选择公式．