2020学年北京市石景山区新高考高二数学下学期期末复习检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：若复数()()12,.,z a bi a b R z c di c d R +∈=+∈，则“a c
b d =⎧⎨=⎩
”是“12z z =”的充要条
件；命题q ：若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
2．ABC ∆中，若cos cos a b
B A
=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
3．已知集合{}
2
1,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ） A ．1-
B ．1
C ．3
D ．4
4．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152
B ．126
C ．90
D ．54
5．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
6．下列命题是真命题的为（ ）
A ．若11
x y
=,则x y =
B ．若21x =,则1x =
C ．若x y =,=
D ．若x y <,则22x y <
7．已知e 为自然对数的底数，则函数x y xe =的单调递增区间是（ ） A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．[)1,+∞
D ．(],1-∞
8．已知样本数据点集合为
(){},|1,2,
,i
i x y i n =，样本中心点为(3)5，
，且其回归直线方程为ˆ 1.2y
x a =+，则当4x =时，y 的估计值为（ ） A ．4.8
B ．5.4
C ．5.8
D ．6.2
9．已知二项式(n
x
的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20
B ．－15
C ．15
D ．20
10．已知函数（），若有且仅有两个整数 ，使得，
则的取值范围为
A ．[）
B ．[）
C ．[）
D ．[）
11．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31
812863
y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元
B ．252万元
C ．200万元
D ．128万元
12．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g ）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13
袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[]499501，
内的概率为（ ）
A ．
5
13
B ．
613
C ．
713
D ．
813
二、填空题：本题共4小题 13．若函数
的图象在
处的切线方程是
，则
__________．
14．求函数()x
e f x x
=的单调增区间是__________．
15．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________．
16．已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121︒、北纬31︒，开罗的位置约为东经31︒、北纬31︒，两个城市之间的距离为______．（结果精确到1千米） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M. （1）求M ；
（2）若正实数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求：2
2
2
(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.
18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2
sin()2sin (
)24
C A B π
-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值； （Ⅱ）若
23
a b =
B ． 19．（6分）某理财公司有两种理财产品A 和B ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的
不同投资结果之间相互独立）： 产品A
产品B
注：p ＞0，q ＞0
（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A 和产品B 投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35
，求实数p 的取值范围；
（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？
20．（6分）盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球. （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取3个球，求至少抽到1个红球的概率；
（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取3个球，记每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励ξ的分布列和数学期望.
21．（6分）设函数2()e mx f x x mx =+-．
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 22．（8分）设函数2
()2f x x a x a
=-++
（0a >）. (Ⅰ)当2a =时，求不等式()3f x ≤的解集； (Ⅱ)求证:()2f x ≥，并求等号成立的条件.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
利用复数相等和函数极值点的概念可判断p ，q 的真假；利用真值表判断复合命题的真假． 【详解】
由复数相等的概念得到p ：真；若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”是错误的，当0x 是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q ：假，q ⌝为真. ∴由真值表知，()p q ∧⌝为真， 故选C ． 【点睛】
本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假． 2．D 【解析】 【分析】
利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】 因为
cos cos a b
B A
=， 所以22222222a b
a c
b b
c a ac bc
=
+-+-，
所以2
2
2
2
2
2
2
2
()()a b c a b a c b +-=+-， 所以224224a c a b c b -=-， 所以2
2
2
4
4
()c a b a b -=-， 所以2
2
2
2
2
()()0a b c a b ---=， 所以220a b -=或222c a b =+， 所以a b =或222+=a b c ，
所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D
【点睛】
本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
根据已知，将选项代入验证即可. 【详解】
由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B 【点睛】
本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题. 4．B 【解析】
试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 33=18种； ②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种； 2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种； 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种， 故选B ．
考点：排列、组合的实际应用． 5．B 【解析】 【分析】
把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等． 【详解】 由题意知，
把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人， 即从9个人中选一个正组长，
∴甲被选定为正组长的概率是19
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目． 6．A 【解析】
试题分析：B 若21x =，则1x =±，所以错误；C ．若0x y =<，=
不成立．所以错误；D ．若
21x y =-<=，此时式子22x y <不成立．所以错误，故选择A
考点：命题真假 7．A 【解析】
因(1)x
y x e =+'，故当1x ≥-时(1)0x
y x e '=+≥，函数单调递增，应选答案A 。

8．D 【解析】 【分析】
根据线性回归直线过样本中心点，可得a ，然后代值计算，可得结果. 【详解】
由题可知：5 1.23 1.4a =-⨯=
所以回归直线方程为ˆ 1.2 1.4y
x =+ 当当4x =时， 6.2y = 故选：D 【点睛】
本题考查线性回归方程，掌握回归系数的求法以及回归直线必过样本中心点，属基础题. 9．C 【解析】 【分析】
利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】 二项式(n
x
的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒=
36662166()()(1)r r r r r
r r x T C x C x x x
--+-⇒=⋅-=-
当3
6042
r r -
=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】
本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 10．D 【解析】 【分析】
设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ，对g （x ）求导，将问题转化为存在2个整数x i 使得g （x i ）在直线h （x ）=ax ﹣a 的下方，求导数可得函数的极值，解g （﹣1）﹣h （﹣1）＜0，g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，求得a 的取值范围． 【详解】
设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ， 则g′（x ）=e x （3x+2），
∴x ∈（﹣∞，﹣），g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
x ∈（﹣，+∞），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴x=﹣，取最小值，
∴g （0）=﹣1＜﹣a=h （0）， g （1）﹣h （1）=2e ＞0，
直线h （x ）=ax ﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a ， ∴g （﹣1）﹣h （﹣1）=﹣4e ﹣1+2a ＜0， ∴a ＜，
g （﹣2）=﹣，h （﹣2）=﹣3a ，
由g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，解得：a≥，
故答案为[）.
故选D. 【点睛】
本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 11．C 【解析】 【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】
由题意，函数31812863
y x x =-+-，所以2
81y x '=-+，
当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，
所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可. 【详解】
这13个数据中位于[]
499,501的个数为6，故所求概率为6.13
故选B 【点睛】
本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．3 【解析】 ∵函数的图象在
处的切线方程是
∴
，
∴
故答案为3
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程； （2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围． 14．()1,(∞+或[
)1,)∞+ 【解析】 【分析】
求()f x 的导函数，利用()f'x 0>，可得函数()x
e
f x x
=的单调递增区间．
【详解】
解：由()x e f x x =，得()x x
2
xe e f'x x
-= 令()f'x 0>，可得x 1>
故函数()x
e f x x
=的单调递增区间是()1,∞+
故答案为()1,(∞+或[
)1,)∞+. 【点睛】
本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题． 15．6 【解析】 【分析】
先设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出2116OO r =-，2322OE r =-，再由
222
OE AE OA +=，即可求出r ，从而可得结果.
【详解】
设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，因为球心到这两个平面的距离相等，则
12OO EO 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r ，2116OO r =-，2322OE r =-222
OE AE OA +=，2322216r -+=，29r =，3r =.这两个圆的半径之和为6.
【点睛】
本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解. 16．8297千米 【解析】 【分析】
设上海为点A ,开罗为点B .求两个城市之间的距离,即求两城市在地球上的球面距离.由题意可知上海和开罗都在北纬31︒的位置,即在同一纬度的圆上,计算出此圆的半径,即可求AB .在三角形BOA 由余弦定理可求得BOA ∠,结合扇形弧长公式,即可求得两个城市之间的距离. 【详解】
设上海为点A ,开罗为点B ,地球半径为R 根据纬度定义,设北纬31︒所在圆的半径为r ,可得:
cos31r
R
=︒ 上海的位置约为东经121︒,开罗的位置约为东经31︒,
∴ 故在北纬31︒所在圆上的圆心角为:1213190︒-︒=︒. ∴ 在1Rt BO A 中得2AB r =
BOA △中,根据余弦定理可得:
22
222
222
||22cos 1cos 31sin 312| 0.262|56||2OA OB AB R r BOA OA OB R
+--∠===-=≈⋅⋅ 0.26526 1.3023arccos BOA ∠=≈
根据扇形弧长公式可得:劣弧= 1.302363718297AB R θ≈=⨯ 故答案为:8297千米. 【点睛】
本题由经度,纬度求球面上两点距离,根据题意画出空间图形,理解经度和纬度的定义是解本题关键,考查空
间想象能力,属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
7
2
M=（2）3.
【解析】
【分析】
将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。

由（1）知7
a b c
++=，直接利用公式：平方平均数≥算数平均数，
222+
33
a b c a b c
+++
≥即可解出最小值。

【详解】
（1）
1
64,
2
15
()26,
24
5
64,
4
x x
f x x x
x x
⎧
-+-
⎪
⎪
⎪
=-+-
⎨
⎪
⎪
-
⎪⎩
＜
＜＜
＞
如图所示
max
57
()()
42
f x f
==
∴
7
2
M=
(2)由（1）知7
a b c
++=
∴[]2
(1)(2)(3)
a b c
++-+-
222
(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)
a b c a b a c b c
=++-+-++-++-+--
∴[]2222
()43(1)(2)(3)
a b c a b c
⎡⎤
++-≤++-+-
⎣⎦
∴[]2222
743(1)(2)(3)
a b c
⎡⎤
-≤++-+-
⎣⎦
∴222
(1)(2)(3)3
a b c
++-+-≥
当且仅当0
a=，3
b=4
c=是值最小
∴222
(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3.
【点睛】
本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题. 18． (1) 12
;(2) 6B π
=或3π．
【解析】
试题分析:(1)由已知利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简即可求值;(2)由已知利用正弦定理及(1)可得3
sin2B =
，进而可求角B . 试题解析:（Ⅰ）()sin 1cos 2A B C π⎛⎫
-=-- ⎪⎝
⎭
1sin C =- ()1sin A B =-+， 故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2
A B =
． （Ⅱ）由正弦定理得
sin 23
sin A a B b ==
由（Ⅰ）知2331
sin cos cos 2
A B B B B =
==， ∴3
sin22
B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．
19．（1）
22
53p <<； （2）当5
9
p =时，E(X)＝E(Y)，选择产品A 和产品B 一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A 和产
品B 中任选一个；
当5
09
p <<时，E(X)＞E(Y)，选择产品A 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A ； 当52
93
p <<时，E(X)＜E(Y)，选择产品B 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B ． 【解析】 【分析】
（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解； （2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况. 【详解】
（1）记事件A 为“甲选择产品A 且盈利”，事件B 为“乙选择产品B 且盈利”，事件C 为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则()
2
3
P A =
，()1P B p =-．
所以()()
()21231113335p P C P AB p =-=-
-=+>，解得25
p >． 又因为113p q ++=，q ＞0，所以2
3p <．
所以2253
p <<．
（2）假设丙选择产品A 进行投资，且记X 为获利金额（单位：万元），则随机变量X 的分布列为
则()()4021326
E X =⨯
+⨯+-⨯=． 假设丙选择产品B 进行投资，且记Y 为获利金额（单位：万元），则随机变量Y 的分布列为
则()()12
22201223033
33E Y p q p q p p p p ⎛⎫
⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-=--
=-<< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭．
讨论： 当5
9
p =
时，E(X)＝E(Y)，选择产品A 和产品B 一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A 和产品B 中任选一个；
当5
09
p <<时，E(X)＞E(Y)，选择产品A 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A ； 当52
93
p <<时，E(X)＜E(Y)，选择产品B 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B ． 【点睛】
本题考查独立事件的概率以及期望的求法，注意求概率时“正难则反”，若直接求不容易求，则求其相反的事件的概率，反推即可. 20．（1）
98
125
；（2）42元. 【解析】 【分析】
（1）分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，概率相加得到答案.
（2）随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
(1)记至少抽到1个红球的事件为A ,
法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为
2
5
， 所以1
2
2
2
3
3
3332323298
()()()()()()555
55
125
P A C C C =++=
， 答：至少抽到1个红球的概率为98
125
.
法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），
每次取到红球的概率均为
25（每次取到白球的概率均为3
5）， 所以33
3398()1()5125
P A C =-=
答：至少抽到1个红球的概率为98
125
.
(2) 由题意,随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60
03463101(30)6C C P C ξ===，12463101(40)2C C P C ξ===，21463103
(50)10C C P C ξ===，
30463101
(60)30
C C P C ξ===，
所以随机变量ξ的分布表为：
所以随机变量ξ的数学期望为3040506042621030
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力. 21．（1）()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）[1,1]-. 【解析】
（Ⅰ）()(1)2mx
f x m e
x -'=+．
若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最
小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,{
(1)(0)1,
f f e f f e -≤---≤-即
1,{1,
m m e m e e m e --≤-+≤-①，设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e =-'．当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故
当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-． 考点：导数的综合应用．
22． (Ⅰ) 4{|0}3
x x ≤≤ (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】
(Ⅰ)把2a =代入不等式中，利用零点进行分类讨论，求解出不等式的解集； (Ⅱ)证法一：对函数解析式进行变形为2
()22a a f x x x x a
=-
+-++，0a >，显然当 2a x =
时，函数有最小值，最小值为22a a +，利用基本不等式，可以证明出2
22a a
+≥，并能求出等号成立的条件；
证法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的x 的值. 【详解】
解:(Ⅰ)当2a =时，原不等式等价于2213x x -++≤， 当1x ≥时，2213x x -++≤，解得4
13
x ≤≤
当11x -<<时，2213x x -++≤，解得01x ≤< 当1x ≤-时，2213x x ---≤，x 无实数解
∴原不等式的解集为4
{|0}3
x x ≤≤
(Ⅱ)证明:法一:222()2222a a a f x x a x x x x x x a a a =-++=-+-++≥-++，当且仅当2
a x =时取等号 又222
()()2222a a a x x x x a a a
-
++≥--+=+≥，
当且仅当22
a
x a -
≤≤且2a =时，即11x -≤≤时取等号， ()2f x ∴≥，等号成立的条件是1,2x a ==
法二:23,222(),2223,a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧
-+≥⎪⎪
⎪
=-++-<<⎨⎪
⎪
-+-≤-⎪⎩
()f x ∴在(,)2a -∞上单调递减，在(,)2a
+∞上单调递增
2
()()222a a f x f a
∴≥=+≥，等号成立的条件是1,2x a ==
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．
2．在6
1(2)2
x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A ．20
B ．20-
C ．24
D ．24-
3．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）. A ．直线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
5．用数学归纳法证明()11
125
12
3124
f n n n n =
++>+++ ()n N +∈过程中，假设()n k k N +=∈时，不等式()2524f k >成立，则需证当1n k =+时，()25
124
f k +>也成立，则()()1f k f k +-=（ ）
A ．134k +
B ．11
341k k -++
C ．112323433k k k +-+++
D ．111
323334
k k k +++++
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．1
D ．2
7．若函数()()2
212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）
A ．105
a <≤
B ．105
a ≤≤
C ．105
a <<
D ．15
a >
8．下列求导运算正确的是（ ）
A ．2()x x '=
B ．()2x x
'=
C ．()x x e e --'=
D ．2ln 2
(log )x x
'=
9．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈<
D ．2,0x R x ∀∈>
10．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）
A ．96,80
B ．100,76
C ．98,78
D ．94,82
11．复数12i
1i
z +=-的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．ln21-
二、填空题：本题共4小题
13．在5
21x ax ⎫⎪⎭的展开式中5x -的系数与常数项相等，则正数a =______.
14．在10(12)x -的展开式中系数之和为______________.(结果用数值表示)
15．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.
16．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,0)，左、右焦点分别是1F ，2F ，P 点在椭圆上，且满足
1290F PF ︒∠=的P 点只有两个.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过2F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得
ANB ∠的角平分线是x 轴？若存在求出n ，若不存在，说明理由.
18．已知圆柱的底面半径为r ，上底面和下底面的圆心分别为1O 和O ，正方形ABCD 内接于下底面圆O ，
1O A 与母线所成的角为30︒.
（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；
（2）若圆柱的体积为9π，求点D 到平面1O AB 的距离.
19．（6分）某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为
1
2
．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 20．（6分）已知点O （0，0），A （2，一1），B （一4，8）． （1）若点C 满足30AB BC +=，求点C 的坐标； （2）若OA kOB -与2OA OB +垂直，求k ．
21．（6分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 3b A a =．
（1）求角B 的大小；
（2）若5a c +=，且a c >，7b =
，求cos(2)A B +
22．（8分）已知函数2
()ln ()f x x ax x a =-+-∈R ．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调时，求a 的取值范围． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为，故选D ． 考点：等可能事件的概率． 2．B 【解析】 【分析】
根据展开式中二项式系数最大的项是4T ，由此求出它的系数． 【详解】
6
122x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，二项式系数最大的项是33
334612202T C x x =⋅⋅-=-（）（）， 其系数为-1． 故选B.． 【点睛】
本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题． 3．C 【解析】 【分析】
根据题意，设至少应抽出x 个产品，由题设条件建立不等式3337
10
0.6x x
C C C -≥，由此能求出结果. 【详解】
解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出x 个产品，
则基本事件总数为10x
C ，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为33
37
x C C -，
由题设知：33
37
10
0.6x x
C C C -≥， 所以
()()123
10985
x x x --≥⨯⨯，即()()12432x x x --≥，
分别把A ，B ，C ，D 代入，得C ，D 均满足不等式， 因为求x 的最小值， 所以9x =. 故选：C. 【点睛】
本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化. 4．D 【解析】 【详解】
设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O.
在平面α上，以O 为原点、直线l 为y 轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =. 又设点P （x ， y ）.
则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm
.
从而，点P 到直线m 的距离平方等于
()2
22
1y kx a k
-++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.
因此，点P 的轨迹方程为
()2
222
1y kx a x k -+=+，即为双曲线.
5．C 【解析】
()()()()()111111
1 (1112)
31111131f k f k k k k k k k +-=+++--+-++++++++++
1111
1343332
k k k k =-
+++++++
112
343233
k k k =
+-+++
故选C 6．A 【解析】 【分析】
由正视图和侧视图得三棱锥的高2h =，由俯视图得三棱锥底面积1
1212
S =⨯⨯=，再利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高2h =，
由俯视图得三棱锥底面积1
1212S =⨯⨯=， 所以该三棱锥的体积112
12333
V Sh ==⨯⨯=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可. 【详解】
当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a
--≥，
解得1
05
a <≤
. 综上所述：105
a ≤≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 8．B 【解析】 【分析】
利用导数运算公式，对每个选项进行一一判断.
【详解】
对A ，因为2()2x x '=，故A 错；对B ，()2x x
'=
，故B 正确；
对C ，()x
x
e e --'=-，故C 错；对D ，21
(log )ln 2
x x '=
，故D 错. 所以本题选B. 【点睛】
熟记导数公式，特别是复合函数的求导，即()x x
e e --'=-，不能漏了前面的负号.
9．B 【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：
，故选B.
考点：1.全称命题；2.特称命题. 10．C 【解析】 【分析】
流程图的作用是求出11
2776
x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】
执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，
80,27;98y s x =≠=，78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.
【点睛】
本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 11．C 【解析】 【分析】 首先化简13
22
z i =-+，再求z 找其对应的象限即可. 【详解】
12(12)(1)1313
1(1)(1)222
i i i i z i i i i +++-+=
===-+--+， 13
22
z i =--，对应的象限为第三象限.
故选：C 【点睛】
本题主要考查复数对应的象限，同时考查复数的运算和共轭复数，属于简单题. 12．B 【解析】 【分析】
先求()21f =，再求()2f f ⎡⎤⎣⎦. 【详解】
由已知，得：()2211f =-= 所以()()21ln10f f f ===⎡⎤⎣⎦ 故选：B 【点睛】
本题考查了分段函数求值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项公式，求出展开式中5x -的系数、展开式中的常数项，再根据它们相等，求出a 的值. 【详解】
解：因为5
21ax ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为552151r
r
r r T C x a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令
5552
r
-=-，求得3r =， 故展开式中5x -的系数为3
35
1C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 令
5502
r
-=，求得1r =， 故展开式中5x -的系数为1515C a a
=， 所以3
35
15C a a
⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为a 为正数，
所以a =
.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 14．1 【解析】 【分析】
令1x =求解展开式的系数和即可. 【详解】
令1x =可得展开式的系数和为：()()1010
1211-=-=. 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的系数和的计算，属于基础题.
15．) 【解析】
分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得2
22
33cos 22
VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，
连接,,VD CD VC ，则2
VD VC a ==
VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，
可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<， 在三角形VDC 中由余弦定理可得，
22
22cos VC a VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22
33cos 22
a a VDC =
-∠
22030VC a VC <<⇒<<，
即VC 的取值范围是()
，
为故答案为()
.
点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 16．220. 【解析】
分析：根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论． 详解：设全校总共抽取n 人，则：
n
800=80
700+700+800
220
n ⨯
⇒= 故答案为220人.
点睛：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）2
212
x y +=；（Ⅱ）详见解析.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题得P 点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为()10x my m =+≠，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据0AN BN k k +=得到2n =. 所以存在点()2,0N ，使得ANB ∠的平分线是x 轴. 【详解】
解：（I ）由题设知P
点为椭圆的上下顶点，所以a =b=c,222b c a +=,
故a =
1b =,
故椭圆C 方程为2212
x y += .
（Ⅱ）设直线l 的方程为()10x my m =+≠，联立
222201
x y x my ⎧+-=⎨
=+⎩ 消x 得()22
2210m y my ++-= 设A ，B 坐标为()11,A x y ，()22,B x y 则有
12222m y y m +=-
+，122
1
·2
y y m =-+，又111x my =+，221x my =+ 假设在x 轴上存在这样的点(),0N n ，使得x 轴是ANB ∠的平分线，则有0AN BN k k += 而121200
AN BN y y k k x n x n --+=
+-- ()()()()
122112y x n y x n x n x n -+-=-- ()()()()12211211y my n y my n x n x n +-++-=
-- ()()
()()
121212210my y n y y x n x n +-+=
=--
将，12222m y y m +=-
+，122
1
·2
y y m =-+代入()()1212210my y n y y +-+=。