乘法公式

=6(3a–b)·(3a+b) =6[(3a)2-b2] =6(9a2-b2) =54a2-6b2
(4) (a2b–ab2) (a2b+ab2)=. (a2b)2-(ab2)2
=a4b2-a2b4
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a–b)2=a2–2ab+b2 . 即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它 们的积的2倍.
(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)
= ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4)
= ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；
忽略括号,导致运算错误
计算：
1 2
x
2 3
y
2
.
错解：原式=
1 2
x
2 3
y
2
1 x2 2 1 x 2 y 2 y2
2
23 3
1 x2 2 xy 2 y2 . 233
错因分析： 运用乘法公式时,每个因式中项的系数 也应代入进行计算,错解忽略了系数而致计算出错．
计算
(1)
a 2
b
2
;
(2) 3a 2b2 ;
(3)
a2 b2
2
;
(4)a 2b2a b.
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 解：(1) (‒2m+5n)(2m‒5n)
(2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c)
= a+ (3b ‒2c) a ‒ (3b ‒2c) = a2‒ (3b ‒2c)2 = a2‒ (9b2 ‒12bc+4c2) = a2‒ 9b2‒4c2+12bc.
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2
15.3乘法公式 课标要求
(a＋b)(a－b)= a2－b2；(a＋b)2 = a2＋2ab＋ b2， 了解公式的几何背景，并能进行简单计算．
平方差公式：(a+b)(a–b) =a2–b2. 即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 平方差.
会推导：(a+b)(a–b)=a2‒ab+ba‒b2= a2–b2. 公式结构特点： ① 左 边 ： 两 个 二 项 式 a+b 与 a–b 相 乘，其中有一项完全相同，另一项互 为相反数.右边：相同项的平方减去相 反项的平方.
评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程
组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为 .
分析(1)已知与(ax+by)2的展开式结构不同，猜想它一定 是(x+a)2+(y+b)2的结构；
评述：使用乘法公 式一定注意公式的结构，
(2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c).
公式(a+b)(a–b),(ab)2中
(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) 的a、b既可以是数，也
(4) (a+b‒c)2
可以是式；既可以是单
(4) (a+b‒c)2=(a+b) ‒c 2 =(a+b)2 ‒2(a+b)c + c2 =a2+2ab+b2 ‒2ac‒2bc + c2 = a2+b2+ c2 +2ab ‒2ac‒2bc.
若两式相加得(x+y)2, 两式相减得x2–y2． 解：由已知得x2+2xy+y2=27, x2–y2= ‒3.
于是(x+y)2－(x+y)(x–y)=(x2+2xy+y2)–(x2–y2)
=27–(–3)=30. 评述：等式的性质在解决这道题起了关键的作用．
证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2
证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2 =(a+b)+c2+a2+b2+c2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2+a2+b2+c2 =(a+b)2 +(b2+2bc+c2) +(a2+2ac+c2) = (a+b)2+(b+c)2+(a+c)2. 评述：证明恒等式，可以由左证明出右，也可以由 右证明出左，还可以从两步同时变形．
有两个正方形，它们的边长之和为20 cm，面积之差 为40 cm2.求这两个正方形的面积.
解：设这两个正方形的边长分别为a cm和b cm(ab)， 依题意有：
a b 20,
a
2
b2
40,
a b 20,
a ba b 40,
a b 20,
a
b
2,
a 11,
b
9,
所以这两个正方形的面积分别为121 cm2,81 cm2.
③熟悉完全平方公式的几种常见变形： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a‒b)2=a2–2ab+b2. (a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2, (a+b)2–(a–b)2=4ab. a2+b2=(a+b)2–2ab , a2+b2=(a–b)2+2ab. (a+b)2=(a–b)2+4ab，(a–b)2=(a+b)2–4ab.
=(a2x2+2abxy +b2y2) +(a2y2‒2abxy +b2x2) =a2x2+b2y2 +a2y2 +b2x2=9+25=34, 则(a2+b2) (x2+y2) =a2x2+b2y2 +a2y2 +b2x2=34.
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为 .
已知：m为不等于0的数，且 1 m 1 ，求代数
式
m2
1 m2
的值．
m
分析：观察 1 m m
与
m2
1 m2
的关系．
解：
m2
1 m2
m
1 m
2
2
12 2 3.
评述：分析已知与所求的关系，选择公式，是学习数学 的基本功，这里把某些代数式看成整体是很重要的．
已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(x+y)(x–y)的值． 分析：观察已知x2+xy=12,xy+y2=15．
(1)解法1：20062008‒20072=(2007‒1)(2007+1)‒20072
=(20072‒ 1)‒20072= –1.
解法2：20062008‒20072=2006(2006+2)‒ (2006+1)2
=(20062+22006) ‒ (20062+220061+12)= –1.
(2)
y2.
错因分析：受题目“形”的迷惑，没有认真观察
题目，而是生搬硬套公式,把
y
1 2
x
当作
x
1 2
y
．实
际上此题不具平方差公式的特征,不能运用公式,只能按
多项式乘法法则进行计算．
计算： (x+y)(y‒x) 错解：原式= x2‒y2．
错因分析：出错原因在于未将原式“变形”,顾头 不顾尾的生搬硬套公式．
= ‒ (2m‒5n)(2m‒5n) = ‒ (2m‒5n)2 = ‒ (4m2‒20mn+25n2) = ‒ 4m2+20mn‒25n2.
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2
会推导：(a+b)2= (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2. (a‒b)2= (a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2= a2–2ab+b2. 几何解释
公式结构特点 ①左边都是一个二项 式的完全平方；右边都 是二次三项式． ②公式中a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项 式、多项式.
19
1 2
2
20
1 2 2
202
2
20
1 2
1 2
2
380
1 4
.
3
200420032 1 200420022 200420042
200420032 1 (20042003 1)2 (20042003
1)2
200420032 1 2(200420032 1)
1 2
.
4
a
1 3
2
a
1 3
2
a
1 3
a
1 3
2
a
2
1 9
2
a4 2 a2 1 . 9 81
若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常数m. 解：由于36a2–mab+9b2是完全平方式，则
36a2–mab+9b2 =(6a)2–mab+ (3b)2
=(6a–3b)2 =36a2–36ab+9b2, 所以m=36. 评述：两个多项式相等，项数相同，对应项的次 数及系数相同．乘法公式是恒等式，既要从左到右， 又要从右到左．
④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)= a2–b2， 完 全 平 方 公 式 (ab)2=a22ab+b2 与 单 项 式 乘 以 多 项 式 a(b+c)=ab+ac ， 多 项 式 乘 以 多 项 式 ((a+b)(m+n )=am+an+bm+bn之间的关系，是一般与特殊 之间的关系.作多项式乘法时，先思考能否用乘法公式， 假如能够运用乘法公式，那么要率先运用乘法公式；假 如不具备运用乘法公式的条件，要能够正确、快速地运 用 多 项 式 乘 法 法 则 a(b+c)=ab+ac ， (a+b)(m+n )=am+an+bm+bn．
评述：乘法公式是等式，等式两边只有左右之 分．无论从左到右，还是从右到左，都应熟练掌握， 这才算掌握公式．不过从右到左，就是常说的逆用公 式，比较困难，更需要认真对待．
已知a= ‒109 , b=108 , c= ‒107， 求a2+b2+c2+ab+bc‒ac的值.
解： a2 b2 c2 ab bc ac
=(a+b)(a2+2ab+b2) =a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)
= a3+2a2b+ab2+ a2b+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3. 同理(a–b)3= a3–3a2b+3ab2–b3.
(1) 计算(a+b)3和(a–b)3 (2) 已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值. (2)解： ∵a+b=3,∴(a+b)3=27,
即a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=27, ∴9+3ab3=27, ∴ab=2. 评述：掌握了平方差和完全平方公式后,注意对公 式进行推广,这样既深化了所学知识,又能为解题带来很 大方便.
似是而非，乱套公式
计算：
x
1 2
y
y
1 2
x
错解：原式=
x
2
1 2
y
2
x2 1 4
②a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项式、多 项式.
例 计算 (1) (3a2–2b)(3a2+2b)； =(3a2)2-(2b)2 (2) (–3a2+2b)(3a2+2b)； =(2b–3a2)(2b+3a2) =(3a2)2-(2b)2 (3) (6a–2b)(9a+3b)； =2(3a–b)·3(3a+b)
1 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 2
1 2
a2 2ab b2
b2 2bc c2
a2 2ac c2
1 2
a
b2
b
c
12
12
22
3.
评述：创造条件使用公式可以帮助提高分析问题与
解决问题的能力．
(1) 计算(a+b)3和(a–b)3 (2) 已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值. 解：(1) (a+b)3=(a+b)(a+b)2
解：由已知x2+y2‒6x+10y+34=0得 (x2‒6x+9)+( y2+10y+25)= (x‒3)2+(y+5)2=0， 则x=3，y= ‒5, 故x+y= ‒2. (2)分析所求，(a2+b2) (x2+y2)= a2x2+a2y2+ b2x2+b2y2与 已知式的平方有关． 解：由已知得(ax+by)2+(ay‒bx)2
项式，也可以是多项 式．当a或b是多项式时， 需要分组变形，是指将 因式中的项分组结合起 来，作为一个整体来考
虑的变形．
应用乘法公式进行计算：
(1)20062008‒20072；
(2)
19
1 2
2
3
200420032 1 200420022 200420042
4
a
1 3
2
a
1 3
2