2020-2021学年北师大版高中数学必修4《三角恒等变形》单元测试题及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修四
三角恒等变形
一.选择题
1.已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是（）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π
2
的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.
ππ
3.已知简谐运动
ππ
f(x)=2sin(x+)(||<)
32
φφ的图象（）
经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为
A. T=6，
π
=
6
φ B. T=6，
π
=
3
φ C. T=6π，
π
=
6
φ D. T=6π，
π
=
3
φ
4.函数
ππ
y=sin(2x+)+cos(2x+)
63
的最小正周期和最
大值分别为（）
A. π，1
B.
C.2π，1
D. 2
5.(文科4)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，则
f(－a)的值为（）
A.3
B.0
C.－1
D. －2
6.函数
π
y=2sin(2x)
3
-的单调递增区间是（）
A.
π5π
[kπkπ+]
1212
-，k∈R B.
5π11π
[kπ+kπ+]
1212
，k∈R
C.
ππ
[kπkπ+]
36
-，k∈R D.
π2π
[kπ+kπ+]
63
，k∈R
7.y=(sinx－cosx)2－1是（）
A.最小正周期为2π的偶像函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
8.若sinα<0且tanα>0是，则α是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
9.已知tanx=0.5，则
2
(sinα+cosα)
=
cos2α
（）
A.2
B.－2
C.3
D.－3
10设
5
a sin
7
π
=，
2
b cos
7
π
=，
2
c tan
7
π
=，则（）
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.b<a<c
11.函数f(x)=
x∈[0，2π]的值域是（）
A.
11
[]
44
-， B.
11
[]
33
-， C.
11
[]
22
-， D.
22
[]
33
-，
二.填空题
1. 已知函数f(x)=(sinx－cosx) sinx，x∈R，则
f(x)的最小正周期是.
2. 若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为．
3. 设
π
x(0)
2
∈，，则函数
2
2sin x+1
y=
sin2x
的最小值
为．
4. 化简：ππcos(+α)sin(+α)36+=．
5. 若π4sin(+)=25
θ，则cos2θ=______．
6. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1)=-u u r ），n (cos A sin A)=r ，
.若m n ⊥u u r r ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝_______.
三、解答题：
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，
以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆交于A ，B 两
点．已知A ，B (1)求tan(α+β)的值；
2. 已知函数2πf(x)=sin ωx +ωxsin(ωx +)2(ω>0）的最小正周期为π．
(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函数f(x)在区间2π[0]3，上的取值范围．
3. 已知函数22x x f(x)=cos sin sinx.22
-+(I)求函数f(x)的最小正周期；
(II)当0πx (0)4
∈，且0f(x )=
时，求0πf(x +)6的值.
答案：
一.选择题
1.D
2.A
3.A
4.A
5.B
6.B
7.D
8.C
9.C 10.D 11.C
二.填空题
1. π
2. 4
3
4. cosα
5.
7
25
6.
π
6
三.解答题
1.试题解析:
先由已知条件得cosα=
10
，cosβ=
5
第(1)问求tan(α+β)的值，运用正切的和角公式；第；
(2)问求α+2β的值，先求出tan(α+2β)的值，再根据范围确定角的值.
【考点分析】本小题主要考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式以及两角和（差）的三角函数公式，考查运算求解能力。

解: (1)
由已知条件即三角函数的定义可知，cosα=
10
，cosβ=
5
，
因α为锐角故sinα>0
，从而sin
10
α==．
同理可得
sin
5
β==，因此tanα=7，
1
tan
2
β=.
所以tan(α+β)=
1
7+
tanα+tanβ2
==3
1
1tanαgtanβ17
2
-
--⨯
．
(2) tan(α+2β)= tan[(α+β)+β]=
1
3+
2=1
1
1(3)
2
-
-
--⨯
．
又
ππ
0<α<0<β<
22
，，故
3π
0<α+2β<
2
，
从而由tan(α+2β)=－1 得α+2β=3
4
π
．
2. 解:(Ⅰ)1cos2ωx f(x)=+sin2ωx 22
-
11=ωx cos2ωx +222-π1=sin(2ωx )+62
-． 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以
2ππ2ω=，解得ω=1． (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1f(x)=sin(2x )+62
-． 因为2π0x 3≤≤，所以ππ7π2x 666
--≤≤， 所以1πsin(2x )126
--≤≤， 因此π130sin(2x )622-+≤≤，即f(x)的取值范围为3[0]2
，． 【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域.
【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定.
【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度.
3. 解：由题设有π)4+
． (I)函数f(x)的最小正周期是T=2π.
(II)由0f(x )=50π+)=45，即0π4sin(x )45
+=， 因为0π
x (0)4∈，,所以0πππx +().442
∈，
从而0π3cos(x +)===
.45
于是000πππππf(x +)=++)=+)+]6
4646
00ππππ=+)cos +cos(x +)sin ]4646
431=2(+)=525210
⨯⨯。