第21课时 锐角三角函数及其应用

即AB≈23.7 m.
答：塔的高度约为23.7 m．(8分)
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第4题解图
第21课时 锐角三角函数及其应用
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5. (2016徐州25题8分)如图，为了测出旗杆AB的 高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆 顶部A的仰角为45°，在C、B之间选择一点D(C、 D、B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°， 且CD＝8 m. (1)求点D到CA的距离； (2)求旗杆AB的高．(注：结果保留根号)
A. 4(3) B. 3(4) C. 5(3) D. 5(4)
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4. (2019苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度， 将测角仪CD竖直放置在与数学楼水平距离为18 m的地面上， 若测角仪的高度是1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30 则教学楼的高度是( )
∴CM＝DN＝AB，MN＝CD＝42 m.
在Rt△PMC中，∵tan∠PCM＝PM ，
∴tan32.3°＝PM ，
CM
AB
∴PM≈0.63AB，
在Rt△PND中，∵tan∠PDN＝ PN ，
∴tan55.7°＝PN ，
DN
AB
∴PN≈1.47AB，
∵PM＋MN＝PN，
第6题解图
第21课时 锐角三角函数及其应用

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类型二 母子型
4. (2013徐州25题8分)如图，为了测量某风景区内一座 塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、 楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高 CD为10 m，求塔的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据： 2≈1.41， 3 ≈1.73)
第21课时 锐角三角函数及其应用
(2)若2号楼共30层，层高均为3 m，则点C位于第几层？
(参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，
sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)
第21课时 锐角三角函数及其应用
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6. 解：(1)如解图，作CM⊥PB于点M，作DN⊥PB于点N，由题意知四边形CDNM 为矩形，
第21课时 锐角三角函数及其应用
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5. 解：(1)如解图，过点D作DE⊥AC，垂足为点E. 在Rt△CDE中，∠C＝45°，
DE＝CD·sin45°＝4 2 m，
答：点D到CA的距离是4 2 m；(4分)
第5题解图
(2)∠ADE＝180°－∠CDE－∠ADB＝180°－45°－75°＝60°，
第21课时 锐角三角函数及其应用 (10年7考，考则1道，3或8分)
第21课时 锐角三角函数及其应用
玩转徐州10年中考真题
命题点 1 解直角三角形（仅2017年考查）
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1. (2017徐州25题8分)如图，已知AC⊥BC，垂足 为C，AC＝4，BC＝3 ，将线段AC绕点A按3 逆 时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB. (1)线段DC＝____4____； (2)求线段DB的长度．
第21课时 锐角三角函数及其应用
(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.
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第1题解图
在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，
则在Rt△CDE中，DE＝4sin30°＝4×1 ＝2，CE＝4cos30°＝4× 3
2
2
＝2
3
，
∴BE＝BC－CE＝3 3－2 3＝ 3，
考点精讲
锐角 三角 函数
定义
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中的一锐角
c ∠A的正弦：sinA= a
=
A的对边 斜边
b ∠A的余弦：cosA= c
= A的邻直角边 斜边
a ∠A的正切：tanA= b
A的对边 = A的邻直角边
补充：sinA=cosB= a c
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第21课时 锐角三角函数及其应用
AC＝ AD2＋CD2＝100 3≈173 km.
答：点C与点A的距离约为173 km；(4分)
(2)∵AB2＋AC2＝1002＋(100 3)2＝40000＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.
答：点C位于点A的南偏东75°方向．(8分)
第21课时 锐角三角函数及其应用
在Rt△AED中，AE＝DE·tan60°＝4 6 m，
又∵CE＝DE＝4 2 m，
∴AC＝AE＋CE＝(4 6 ＋4 2 )m， 在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝AC·sin45°＝(4＋4 3 ) m，
答：旗杆AB的高是(4＋4 3 )m.(8分)
第21课时 锐角三角函数及其应用
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∴0.63AB＋42≈1.47AB， 解得AB≈50. 答：楼间距AB约为50 m；(5分) (2)∵PM≈0.63AB＝0.63×50＝31.5 m， ∴(90－31.5)÷3＝19.5(层)． 答：点C位于第20层．(8分)
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第21课时 锐角三角函数及其应用
考点特训营
【对接教材】苏科：九下第7章P94－P121
锐角 三角 坡度（坡 函数 比）、坡 的实 角 际应 用
方向角
坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫作坡 度（坡比），用字母i表示；坡面与水平 面的夹角ɑ叫坡角，i=tanɑ=
如图，点A、B、C关于点O的方向角分别
是北偏东30°、南偏东60°、北偏西
45°（也称西北方向）
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第21课时 锐角三角函数及其应用
∴DB＝ BE2＋DE2＝ （ 3）2＋22＝ 7.(8 分)
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命题点 2 锐角三角函数的实际应用（10年6考）
类型一 背靠背型
2. (2019徐州16题3分)如图，无人机于空中A处测 得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底 部C处的俯角为17°，若无人机的飞行高度AD为 62 m，则该建筑的高度BC为___2_62____m(参考数 据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31)
6. (2018徐州26题8分)如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度 均为90 m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成 的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午， 太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的 影高为DA.已知CD＝42 m.
(1)求楼间距AB；
2
4. 解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC.
则BE＝CD＝10 m，BC＝ED，
设塔高AB＝x m， 则AE＝(x－10)m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
则DE＝ 3 (x－10)m， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝x m，
∴ 3 (x－10)＝x， 解得x＝15＋5 3 ≈23.7，
W
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第21课时 锐角三角函数及其应用
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1. (2019河北)如图，从点C观测点D的仰角是( ) A. ∠DAB B. ∠DCE C. ∠DCA D. ∠ADC
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2. (2019怀化)已知∠α为锐角，且sinα＝2(1)，则∠α＝( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. (苏科九下P103习题第1②题改编)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°， BC＝3，AC＝4，那么cosA的值等于( )
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第21课时 锐角三角函数及其应用
正弦
锐角三角 余弦 函数的定义
正切
sinα
特殊角
（30°、45°、
60°、）
cosα 的三角函数值
锐角三 锐角三角函 角函数 数及其应用
tanα
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锐角三角 函数的实 际应用
1.仰角、俯角 2.坡度、坡角
3.方向角
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A. 55.5 m B. 54 m C. 19.5 m D. 18 m
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5. (2019 凉山州)如图，在△ABC中，CA＝CB＝4， cosC＝4(1)，则sinB的值为( )
A. 2(10) B. 3(15) C. 4(6) D. 4(10)
第21课时 锐角三角函数及其应用
三角
ɑ 函数值
锐角 三角 函数
特殊角 的三角 函数值
三角 函数
sinɑ
cosɑ
tanɑ
30° 45° 60°
1 2
3 __2___
2
__2___
2 2
3 ___2__
1 ___2__
3
3
__1___
3
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第21课时 锐角三角函数及其应用
概念
图形
定义
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仰角、俯 角
视线在水平线上的角叫仰角，视线在水 平线下方的角叫俯角
第3题图
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(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D.
则∠ABC＝75°－15°＝60°，
在Rt△ABD中，
∵∠ABC＝60°，AB＝100 km，∴BD＝50 km，AD＝50 km，
3
∴CD＝BC－BD＝200－50＝150 km，
第3题解图
在Rt△ACD中，
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3. (2014徐州25题8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于 点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位 于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处． (1)求点C与点A的距离(结果精确到1 km)； (2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)
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6. (2019咸宁)如图所示，九(1)班数学课外活动小组在河边
测量河宽AB(这段河的两岸平行)，他们在C点测得∠ACB＝30°
D点测得∠ADB＝60°，CD＝80 m，则河宽AB约为 m
(结果保留整数，≈1.73).
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