专题31：抛物线的存在探索性问题30页

专题31：抛物线的存在探索性问题
1．已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，已知抛物线2:2(0)M x py p =>的焦点为(0,1)F ，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线相交于N ，再分别过A ，B 两点作准线的垂线，垂足分别为C ，D .
（1）求证：点N 在定直线上；
（2）是否存在点N ，使得BDN 的面积是ACN △的面积和ABN 的面积的等差中项，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.
3．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，过F 作一条直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．
（1）若直线l 的倾斜角为4
π，请用p 表示A 、B 两点之间的距离； （2）若点A 在抛物线C 的准线上的射影为点D ，求证：B 、O 、D 在同一条直线上；
（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知抛物线()2:20C y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线C 于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若点(4,0)P -，问x 轴上是否存在点T ，使得过点T 的任一条直线与抛物线C 交于点,M N 两点，且点T 到直线,MP NP 的距离相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由．
5．从抛物线236y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2PM MQ =.
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设直线)1(x my m R =+∈与轨迹C 交于A ，B 两点，T 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线1x =-交于D ，E 两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.
6．如图，点F 为抛物线1C ：22x y =的焦点，点M 是抛物线1C 在第二象限上的一点，过点M 作圆2C ：2221x y 的两条切线，交1C 于A ，B 两点，抛物线1C 在点M 处的切线分别交x 轴，y 轴于
点P ，Q
（1）求证：2
||||||
MQ QO QF ⋅为定值； （2）是否存在点M ，使得A ，B ，P 三点共线，若存在，求M 点坐标，不存在，说明理由
7．已知抛物线21:4C y x =与圆2222:C x y r +=一个交点的横坐标
02x -，1C 的一条切线过点()1,2P ，与2C 交于A ，B 两点，且A 点在B 点的右侧，O 为坐标原点.
（1）证明：OA OB ⊥；
（2）若过点A 的直线l 与1C 交于不同的两点M ，N .
①求直线l 的斜率k 的取值范围；
②是否存在一定点Q ，使得QM QN ⋅为定值？若存在，求出定点Q 和定值；若不存在.请说明理由.
8．已知抛物线()2:205C y px p =<<，与圆()2
2:516M x y -+=有且只有两个公共点．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）经过()2,0R 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，试问在直线2y =上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之和为直线RQ 斜率的2倍？若存在，求出定点Q ；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，并且经过点(3,6)P .
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 交抛物线C 于异于点P 的A ，B 两点，且PA PB ⊥，PQ AB ⊥，Q 为垂足.是否存在定点M ，使得||MQ 为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
10．已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++.
（1）求曲线C 的方程；
（2）动点000(,)(22)Q x y x -<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB 与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.
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．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(2,-
（1）求抛物线C 的方程及其相应准线方程；
（2）过点(2,0)E 作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线于,M N 和,P Q 四点，其中121k k +=.设线段MN 和PQ 的中点分别为,,A B 过点E
作,ED AB ⊥垂足为.D 证明：存在定点,T 使得线段TD 长度为定值. 12．已知抛物线C ：()220y px p =>经过点()1,2-，过点()8,4M -的直线与抛物线C 交于A ，B 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）在抛物线C 上是否存在定点N ，使得0NA NB ⋅=？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
13．已知抛物线24y x =的弦AB 过焦点F .
()1若AB x ⊥轴，M 为抛物线准线与x 轴交点，求AMB ∠的大小； ()2若焦点弦AB 斜率为k （常数0k ≠），则能否在抛物线准线上找到一点M 使()1中AMB ∠大小不变.
14．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程； （2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211
||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
15．已知抛物线L ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点()5,0M 的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，直线AC 的最小值为4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点()0,0P x ，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2).
【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程；
（2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－
2).
【解析】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y . （2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )
此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22
y r x -＝0
由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0，
则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8
11y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2
k r -＝0
故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2).
【点评】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设
出其坐标.
2．（1）证明见解析；（2
）存在，1N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【分析】（1）由题意设直线:1AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线
与抛物线方程联立求出两根之和、两根之积，求出直线121:24
x x AN y x =-以及直线222:24
x x BN y x =-，将两直线联立求出交点即证. （2）由（1）知点N 为CD 的中点，取AB 的中点E ，则2AC BD EN +=，利用抛物线的定义可得2AB EN =，ABN AEN BEN S
S S =+，2ACN AF CN S ⋅=，2
BDN BF CN S ⋅=，根据2BDN ACN ABN S S S =+△△△，可得2BF AF AB =+，即212x x =-，结合韦达定理即可求解.
【解析】解（1）由题知2p =
所以2:4M x y =
设直线:1AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y
联立214y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2440x kx --= 所以1212
44x x k x x +=⎧⎨=-⎩ 对24
x y =求导得2x y '= 所以直线AN 的斜率为12
AN x k = 所以直线()111:2x AN y y x x -=-即121:24
x x AN y x =-① 同理直线222:24
x x BN y x =-②
联立①和②得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
所以点N 的坐标为(2,1)k -，即点N 在定直线1y =-上
（2）由（1）知点N 为CD 的中点
取AB 的中点E ，则2
AC BD EN +=
由题知AC BD AB +=
所以2AB EN = 所以22222ABN AEN BEN EN CN EN DN EN CN AB CN S S S ⋅⋅⋅⋅=+=
+=⨯=△△△ 而22ACN AC CN AF CN S ⋅⋅==△，22BDN BD DN BF CN S ⋅⋅==△ 若存在点N 满足题意
则2BDN ACN ABN S S S =+△△△
即2BF AF AB =+
所以()2121200x x x x -=-+-即212x x =-③
又因为1212
44x x k x x +=⎧⎨=-⎩④ 将③代入④
解得=k ±由（1）知(2,1)N k -
即,12N ⎛
⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭
经检验，存在,12N ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭
满足题意. 【点评】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由()11,A x y ，()22,B x y ，求出点N 的坐标为(2,1)k -以及212x x =-，考查了计算能力、推理能力.。