初三数学解直角三角形专题复习

第五讲 解直角三角形
一、【知识梳理】
知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。

知识点2、解直角三角形的工具：
1、直角三角形边、角之间的关系：
sinA=cosB=
c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=a
b 2、直角三角形三边之间的关系： 222
c b a =+（勾股定理）
3、直角三角形锐角之间的关系 ： ︒=∠+∠90B A 。

（两锐角互为余角）
知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，
（1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。

知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角：
在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.
2、仰角和俯角
在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下 方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.
3、坡度和坡角：
在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,l h i =
坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==l
h
i ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大.
二、【典型题例】
考点1、解直角三角形
例1．、1、在ABC ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、．
（1）已知3=b ， 30=∠A ，求a 和c ． （2）已知20=a ，20=b ，求A ∠． 2、如图，已知△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长
3、已知，如图，△ABC 中，∠A=30°，AB=6，CD ⊥AB 交
AB 延长线于D ，∠CBD=60°。

求CD 的长。

考点2、解直角三角形的应用 例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度
A
B
D
C
A D
B
例3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD 是等边三角形,将四边形ACBD 沿直线EF 折叠，使D 与C 重合，CE 与CF 分别交AB 于点G 、H . （1）求证：△AEG ∽△CHG ；
（2）△AEG 与△BHF 是否相似，并说明理由； （3）若BC =1，求cos ∠CHG 的值.
例4、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD ，AB ∥DC ，斜坡AD 的坡度1i =1:1.2，斜坡BC
的坡度2i =1:0.8，大堤顶宽DC 为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE ，EF ∥DC ，点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上，当新大堤顶宽EF 为3.8米时，大堤加高了几米? 例5．（08荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州
传递，途经A 、B 、C 、D 四地．如图，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最．
后结果．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）
例2. 如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若
,10,3
1
tan =+=∠CE DC AEN （1）求△ANE 的面积；
（2）求sin ∠ENB 的值。

三、【巩固与提高】
（一）、填空题：
1．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A 、B 、C 在同一直线上，EF ∥AD ，∠A =∠EDF =90°，∠C =45°，∠E =60°，量得DE =8，则BD 的长是_______。

2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将
台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．
3．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交
A
B C D F
E
H
G
A B
C
北
北
645 D
C
A
G B
D
E M
N
A
B
α
B
AC 于点D ，则AD 的长是______，cosA 的值是_______．(结果保留根号)
4．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点 上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．
（二）、解答题：
5．为了解某广告牌的高度，已知CD=2m ，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m ．请你根据以上数据计算GH 的长．（≈1.73，
要求结果精确到0．lm ）
6．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?
（参考数据：cos 20°
≈0.94，sin 20°≈0.34，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95）
7．如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB 的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?
8．如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC =30 m ，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m ．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC =h ，太阳光线与水平线的夹角为α ．
(1) 用含α的式子表示h (不必指出α的取值范围)；
(2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼
的影子刚好不影响乙楼采光 ？
作业：
1.在Rt ΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
17cm
第6题图 A B
C
D
E
F
M
（A ）a=csinA ；（B ）a=bcotB ；（C ）b=csinB ；（D ）B
b
c cos =
.
2.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为( ) （A ）30tan α米；（B ）
30tan α
米； （C ）30sin α米； （D ）
30sin α
米
3.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米
4．已知,如图,在四边形ABCD 中,AD=CD,AB=7,tanA=2, ∠B=∠D=90°,求BC 的长.
5．如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚下C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（参考数据：
3）
6．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD ）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比i =1：3.（1）求加固后坝底增加的宽度AF ；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
7．我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．
8．如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.
Ａ
Ｂ
Ｄ Ｃ A
︒
55 5.8m
10m A C
D ︒55
9．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
10．如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度.求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米）
11．在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
（1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。

如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2） 1） 在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图
2）写出你的设计方案。

12．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD ＝103
3 cm,求∠B ，AB ，
BC.
13．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，并测得∠CBD =60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
14．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD ）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i =1：2．
D C B A 3:1 i
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
15．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。

（结果不取近似值）
16．北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393 sin67．4°≈ 0．9231
cos 67．4°≈ 0．3846 sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l
sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322。