2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第六章 数列 6.4 数列求和及应用 Word版含答案

．数列求和及应用
．数列求和方法
()公式法：
(Ⅰ)等差数列、等比数列前项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前项和：
①＋＋＋…＋＝；
②＋＋＋…＋＝；
③＋＋＋…＋()＝；
④＋＋＋…＋＝；
⑤＋＋＋…＋＝.
()分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
()倒序相加：如等差数列前项和公式的推导方法．()错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{}前项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
()裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式：
①＝；
②＝；
③
＝；
④＝ ()；
⑤＝(≥)．
．数列应用题常见模型
()单利公式
利息按单利计算，本金为元，每期利率为，存期为，则本利和＝.
()复利公式
利息按复利计算，本金为元，每期利率为，存期为，则本利和＝.
()产值模型
原来产值的基础数为，平均增长率为，对于时间，总产值＝.
()递推型
递推型有＋＝()与＋＝()两类．
()数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．
自查自纠
．()①②＋
③④
()①②③④
．()(＋) ()(＋) ()(＋)
设数列，(＋)，…，(＋＋＋…＋)，…的前项和为，则等于( )
．．
．＋．＋
解法一：特殊值法，易知＝，＝，只有选项适合．解法二：研究通项＝＋＋＋…＋＝，
所以＝()＋()＋…＋()
＝(＋＋…＋)＝＋.故选.
在各项均为正数的等比数列{}中，若满足＝，则＋＋…＋的值为( )
．．．．
解：因为数列{}是各项均为正数的等比数列，所以满足＝＝＝＝＝＝，所以＋＋…＋＝()＋()＋()＋()＋()＋＝＋＝.故选.
已知等差数列{}的前项和满足＝，＝，则数列的前项和为( )
．．
解：设数列{}的公差为，则＝＋.由已知可得解得
所以{}的通项公式为＝.
所以＝
＝，
所以数列的前项和为(＋＋…＋)＝.故选.
黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖块．
解：设第个图案中白色地面砖有块，
则＝，＝，＝，易知＝(≥)，
所以{}是以为首项，为公差的等差数列，
所以＝＋()＝＋.故填＋.
已知数列{}的前项和为，且＝，则＝；记＝＋＋…＋()，则＝.
解：当≥时，＝＝，所以＝；当＝时，＝＝，得＝.所以＝，所以＝＋×＋…＋()，＝＋×＋…＋()＋，由错位相减法得＝＋()＋.故填；＋()＋.
类型一基本求和问题
数列求和：
()求数列，，，…，，…的前项和；
()求和：＋＋＋…＋；
()设()＝，求：)))＋)))＋…＋()＋()＋…＋( )；
()求和：＝＋＋＋…＋.
解：()＝＋＋＋…＋(＋)
＝(＋＋＋…＋)＋
＝(＋)＋＝(＋)＋.
()设数列的通项为，则＝＝，
所以＝＋＋…＋＝[＋＋…＋]＝＝.
()因为()＝，所以()＋＝.
令＝)))＋)))＋…＋()＋()＋…＋( )，①
则＝( )＋( )＋…＋()＋＋…＋)))＋())，②
①＋②得：＝× ＝，所以＝).
()(Ⅰ)当＝时，＝＋＋…＋＝.
(Ⅱ)当≠时，＝＋＋＋…＋，①
＝＋＋…＋＋，②
由①②得＝＋＋＋…＋
＝，所以＝.
综上所述，＝（≠）.))
【点拨】数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．
求和：
()求数列，，，…的前项和；
()求数列，，，…的前项和；
()求°＋°＋°＋…＋°的值．
解：()＝＋＋＋…＋
＝()＋()＋()＋…＋()
＝(＋＋＋…＋)
＝＝.
()＝＝.
所以＝＋＋＋…＋
＝＝.
()令＝°＋°＋°＋…＋°，①
则＝°＋°＋°＋…＋°
＝°＋°＋°＋…＋°.②
①与②两边分别相加得＝(°＋°)＋(°＋°)＋…＋(°＋°)＝.
所以＝.。