建筑力学第9章压 杆 稳 定

27
图 9.8
图 9.9
28
3）当压杆两端的支承情况在两个方面不同时 ，即 μ 值不同，则采用 Iy 和 Iz 不等的截面与相应 的约束条件配合。如采用矩形或工字形截面，使得 在两个相互垂直方向的柔度尽可能相等或相近，从 而使压杆在两个方向上抵抗失稳的能力相等或接近 ，以便使材料能得到充分的利用。
第9章 压杆稳定
前面各章着重研究受力杆件的强度和刚度计 算问题，但杆件的破坏不仅会由于强度不够而引 起，也可能会由于稳定性丧失而发生，因此在设 计杆件（特别是受压杆件）时，除了进行强度计 算外，还必须进行稳定性计算以满足其稳定条件 。本章将对压杆的稳定问题进行讨论，因为它是 进行其他形式结构的稳定分析时的理论基础。
18
9.3.2 折减系数法在工程中，对压杆进行稳定 性计算时还常用另外一种方法———折减系数法， 这种方法就是将材料的轴向拉压的许用应力［σ］ 乘以一个随压杆柔度λ而改变且小于1的系数 φ=φ（λ）作为压杆的稳定许用应力［σw］， 即
19
20
21
22
1）先假设φ的一个近似值φ1（一般可取φ1=0.5 ）由式（9.12）算出截面面积的第一次近似值A1， 并由A1初选一个截面（这一步也可根据经验初选型 钢号码或截面尺寸）。 2）计算初选截面的惯性矩I1、惯性半径i1和柔 度λ1，由折减系数查表（或由公式计算）得相应的 φ值。
17931安全系数法对于工程中的受压杆件要使其不丧失稳定性就必须保证使压杆所承受的轴向工作压力f小于压杆的临界压力fcr并要考虑一定的安全储备即采用规定的稳定安全系数nw因此压杆的稳定条件是18932折减系数法在工程中对压杆进行稳定性计算时还常用另外一种方法折减系数法这种方法就是将材料的轴向拉压的许用应力乘以一个随压杆柔度而改变且小于1的系数作为压杆的稳定许用应力w即192021221先假设的一个近似值1一般可取105由式912算出截面面积的第一次近似值a1并由a1初选一个截面这一步也可根据经验初选型钢号码或截面尺寸
31
在一定程度上可以提高其临界应力的数值，故 选用高强度钢材能够提高中长压杆的稳定性；至于 柔度 λ 很小的短压杆，不存在什么稳定性问题，只 是强度问题，使用高强度材料，其优越性自然是明 显的。
32
图 9.11
33
小结 压杆临界力 Fcr的计算是本章的重点内容，临 界力 Fcr是判断压杆是否处于稳定平衡的重要依据 。对于细长压杆，可用欧拉公式计算，即
25
9.4 提高压杆稳定性的措施 通过前面几节的介绍得知，细长压杆在压力作 用下容易丧失稳定性，为了工程结构的安全，就需 要采取措施提高压杆的稳定性，本节就针对此问题 ，提出了几个有利措施。
26
9.4.1 选择合理的截面形状 1）提高压杆的稳定性，也就是提高压杆的临 界力或临界应力。 对于压杆为大柔度杆，计算临界力的公式为欧 拉公式：
1
9.1 压杆稳定的概念 9.1.1 研究压杆稳定的意义 在轴向拉伸和压缩一章中，我们认为当压杆横 截面上的应力超过材料的极限应力时，压杆就会因 强度不够而引起破坏。这种观点对于粗短的压杆是 正确的，而对于细长的压杆（杆的横向尺寸较小， 纵向尺寸较大）将导致错误的结果，因为细长的压 杆会在应力远低于材料的极限应力时，突然产生显 著的弯曲变形而失去承载能力。为了说明这一问题 ，让我们来看一个简单的实验。
4
当干扰力去掉后，凹面上的圆球在 A 点附近经 过几次来回滚动，最后仍回到原来的平衡位置。但 在凸面上的圆球则继续沿曲面下滚，不可能回复原 位。所以原来的平衡状态分为两种，一种是经得起 干扰的平衡状态，称为稳定平衡状态，如图 9.2（ a）所示；另一种是经不起干扰的平衡状态，称为 不稳定的平衡状态，如图 9.2（b）所示。
式中，μ 为与支承情况有关的长度系数；λ 为 压杆的柔度，其计算公式为
34Βιβλιοθήκη 9109.2.2 计算临界应力的欧拉公式 柔度
前面已经导出了计算压杆临界力的公式（9.1 ），但在工程中无论是强度计算还是稳定性的计算 通常都采用应力的形式。为此，用压杆的横截面面 积 A去除 Fcr，便得到临界应力 σcr为
11
12
9.2.3 欧拉公式的适用范围欧拉公式是通过弯 曲变形的微分方程导出的，而该微分方程的前提条 件为材料必须服从胡克定律，所以，只有临界应力 小于比例极限σp时，公式（9.1）和公式（9.4）才 是正确的，令公式（9.4）的σcr小于σp得：
23
3）若查得的 φ 值与原先假定的 φ1 值相差较 大，则可在这两个值之间再假设一个近似值φ2， （一般取 ）并重复上述1）、2）两步。 如此 进行下去，直到从表中查得的φ值与假定的φ 值非常接近为止。
24
4）对所选得的截面进行压杆稳定校核。若满 足稳定条件，则所选得的截面就是所求之截面；否 则，应在所选截面的基础上适当放大尺寸后再进行 校核，直到满足稳定条件为止。
5
图 9.2
6
图 9.3
7
9.2 欧拉公式及临界应力总图 9.2.1 计算临界力的欧拉公式 当材料处于线弹性阶段时，从理论上可以推导 出如下的计算细长压杆临界力的欧拉公式：
8
式中 EI———压杆的抗弯刚度； l———压杆的长度； μ———长度系数，它与压杆两端的支承情况 有关，其数值见表9.1；从表9.1可看出压杆两端的 约束越牢固，μ值就越小，说明其抗弯能力越强， 越不容易失稳。 l0———压杆的计算长度（l0=μl），它综合考 虑了压杆长度和支承情况对临界力 Fcr的影响。
14
15
图 9.4
16
9.3 压杆的稳定性校核 在前面推导出压杆的临界压力和临界应力的基 础上，为了使受压杆件能安全承担荷载，必须对其 进行稳定性计算，本节介绍了安全系数和折减系数 法两种稳定性的计算方法。
17
9.3.1 安全系数法 对于工程中的受压杆件，要使其不丧失稳定性 ，就必须保证使压杆所承受的轴向工作压力F 小于 压杆的临界压力 Fcr，并要考虑一定的安全储备， 即采用规定的稳定安全系数 nw，因此，压杆的稳 定条件是
13
9.2.4 临界应力总图 若压杆的柔度λ<λp，则临界应力σcr>σp，这时 欧拉公式已不能适用，属于超过比例极限的压杆稳 定问题，如内燃机连杆，千斤顶螺杆等，其柔度λ 就往往小于λp。对超过比例极限的压杆稳定问题， 也有理论分析的结果，但工程中对这类压杆的计算 ，一般使用以试验结果为依据的经验公式。经常使 用的经验公式有抛物线公式和直线公式，我国采用 较多的是前者，下面就抛物线公式作一讨论。
2
图 9.1
3
9.1.2 稳定的概念 如图 9.2所示，两个圆球分别放在凹形曲面的 最低点 A 处和凸形曲面的最高点 B 处，这时小球 都处于平衡状态。如果作用一微小的横向干扰力使 小球离开原来的平衡位置，当干扰力去掉后，凹面 上的圆球在 A 点附近经过几次来回滚动，最后仍回 到原来的平衡位置。
29
9.4.2 改变压杆的约束条件或减小压杆的长度 从 9.2节的讨论中可以看出，当改变压杆两端 的约束条件时，会直接影响其临界力的大小。如长 度为 l的两端铰支受压杆，其 μ = 1， 若把两端改为固定端，则 μ = 1/2， 由此可见，临界力随着压杆约束条件的改变而 30 变为原来的 4倍，大大地提高了其稳定性。
9.4.3 合理选择材料 对于细长压杆（λ >λp），其临界应力 可见 σcr与材料的弹性模量 E 有关，但由于各种钢 材的 E 值相差不多，因此若选用合金钢或优质钢 制作细长压杆，意义不大，还会造成不必要的浪费 ；但对于中长杆，从临界应力总图可以看出，压杆 临界应力与材料的强度有关，即随材料屈服极限和 比例极限的增大，