平面体系的几何组成分析

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2.3 平面体系的计算自由度
2.2 几何组成分析的几个概念
土i
木g
工h 程t
2.2.5 实铰和虚铰
学s
院R ®e
1. 实铰
I
I
s
e
A
A
r
v
II
II
e d
2. 虚铰（瞬铰）
O (虚铰)
相交于无穷远处 (虚铰)
I
A ①
D
C
O (虚铰) ② B
I
C
A ①
②
B
D
I C
A① ②
B
D
【注意】形成 虚铰的两链杆 必须连接相同 的两个刚片。
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第2章 平面体系的几何组成分析
土i
木g
工h
程t 学s
● 本章内容简介:
院R
®e s
2.1 几何不变体系和几何可变体系
e
r
2.2 几何组成分析的几个概念
v
e d
2.3 平面体系的计算自由度
学s
院R
(1) 地基是参照物，不计入m中。
®e
s e
(2) 计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余
r
约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加
v
e
约束在计算体系的全部约束数d时考虑进去。
d
图a是内部没有多余约束的
刚片，而图b、c、d则是内部分
别有1、2、3个多余约束的刚片， a)
e
r
2.2.2 自由度
v
e d
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由
度。
y
B1
A1
y A1 Dq
Dy A Dx
A
B
Dy
Dx
O
xO
x
平面内一个点的自由度为2。 平面内一根杆件（一个刚片）的自由度为3
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®e
s
1. 几何不变体系——受到荷载等外因作用后，若不考虑材
e
r
料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
v
e
D
d
FP
A
A1
FP
A
几何不变体系示例
几何不变体系：刚体.swf
弹性变形 EI
EI1=∞
B
B
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2.3 平面体系的计算自由度
土i
木g
工h
程t 学s
2.3.2 平面体系的计算自由度
院R
®e
s
1. 刚片体系的计算自由度
e
r
v
e
以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为
重A
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2.3 平面体系的计算自由度
土i
木g
工h
程t
【例2-2】试求图示体系的计算自由度。
学s 院R
m1
(3) h
m2 (1) h
®e
s m4
m5
m6
(1) h
m1
(1)g
e r
m7
(3) g
m2
m3
v e
(2) h
m4 (1)g m5
(2) g
d
m9
m6
(2) h m7
m8
m9
)r
(3) r
b) 几何可变体系
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
土i
木g
工h
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2.1.3 几何组成分析的目的
院R
®e
s e
结构必须是几何不变体系才能承担荷载。
r
v
e
几何组成分析的目的：主要就是要检查并设法保证结构
土i
木g
工h
程t 学s
2.1.2 造成几何可变的原因
院R
®e s
2. 外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体
e r
系；但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示，则在图
v e
示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可
d
变体系。
FP A
FP
C
B
B
A A1
C1
B1
a) 几何不变体系
d
W＝3m-(3g+2h+r)
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数， r为与地 基之间加入的支杆数。
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2.3 平面体系的计算自由度
土i
木g
工h
程t
在应用公式时，应注意以下几点：
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
土i
木g

工h 程t
2.1.1 几何不变体系和几何可变体系
学s
院R ®e
2. 几何可变体系——受到荷载等外因作用后，由于刚体运动，
s
e
其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
r
v
A
e
FP
d
几何可变体系示例 几何可变体系示例
A1 几何可变体系示例
EI1=∞
刚体位移
s e
铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握
r v
平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几
e
何组成与静力特性之间的关系。
d
● 本章教学内容的重点：几何不变体系的基本组成规则及
其运用；静定结构与超静定结构的概念。
● 本章教学内容的难点：灵活运用三个基本组成规则分析
平面体系的几何组成性质。
(1) h
(1)r (1) h
(2)r
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解：m=9，g=4， h=7， r=3 W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×4+2×7+3) = -2
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2.3 平面体系的计算自由度
土i
木g
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2.3.1 体系的实际自由度S与计算自由度W的定义
学s
院R ®e
1. 体系的实际自由度S
s
e
体系是由对象（刚片或铰结点部件）加上约束组成的。
r v
令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为a，必要约
B
A2
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
土i
木g
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2.1.2 造成几何可变的原因
学s
院R ®e
1. 内部构造不健全：如图a所示，由两个铰结三角形组成
s e
的桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
2.5 几何可变体系
2.6 几何组成分析的方法及示例
2.7 静定结构与超静定结构
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
土i
木g
工h
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2.1.1 几何不变体系和几何可变体系
d
是几何不变体系；
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2.2 几何组成分析的几个概念
土i
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2.2.1 刚片
学s
院R
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一
®e s
几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
2.3 平面体系的计算自由度
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木g
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2.3.1 体系的实际自由度S与计算自由度W的关系
学s
院R ®e
3. 体系的多余约束数n
s
e
体系的必要约束数c与多余约束数n之间有如下关系
r
v e
n＝d–c
d
4. 计算自由度W≤ 实际自由度S
证明：因为
W＝a–d=a–c–n=S–n 而n≥0，因此W ＝ S – n ≤ S。
B
1根链杆相当于1个约束。
A
II
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2.2 几何组成分析的几个概念
土i
木g
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2. 铰的约束作用
学s
院R
(1) 单铰（连接两个刚片的铰）
®e
s
A
A
e
r
v e
I
q
II
I
q1
III
d
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2.2 几何组成分析的几个概念
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2.2.3 约束
学s
院R
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度
®e
s
的装置是1个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支
e
r
座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰
v
e
结和刚结，称为内部约束。
d
I
1. 链杆的约束作用
v
e
d
①A
B
①A
C
B①
②
③
②
④③
②
③
a) 无多余约束
b) 有多余约束
c) 有多余约束
2. 多余约束
在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而 改变，则此约束称为多余约束。
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2.3 平面体系的计算自由度
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【例】试求图示体系的计算自由度。
学s
院R
m1
®e
s e r
(1)g (1)h
m4 (1)h (1)g
v
e
m2
m6
d
(2)g
(2)g (1)h
m5
m8
(1)h
m3
m7
m9
(3)r
(3)r
(3)r
解：m=9，g=6， h=4， r=9
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
q2
II
1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。 (2) 复铰（连接两个刚片以上的铰） 连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约 束。
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2.2 几何组成分析的几个概念
土i
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3. 刚结的约束作用
学s
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(1) 单刚结（连接两个刚片的刚结）
s e
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
r
v
I
A
B
A
E
I A III
e
d
A左 A右
II
II
C
D
(2) 复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当于3(n-1) 个约束。
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2.2 几何组成分析的几个概念
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2.2.4 必要约束和多余约束
学s
院R
1. 必要约束
®e
s
在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，
e
r
则此约束称为必要约束。
工h
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
院R
®e
s
(1)h m1 (3)h m2 (1)h
e
r v
m3
m4
m5
m6
e
(3)h
m7
(3)g
d
m8
m9
(3)r
(3)r
解：m=9，g=3，h=8, r=6 W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
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平面体系的几何组成分析
It is applicable to work report, lecture and teaching
A
l
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l R
第2章 平面体系的几何组成分析
i
g
h
t s
● 本章教学的基本要求：掌握几何不变体系、几何可变体
R e
系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚
r v
图b所示，则当结点C处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位
e
移，即变成了几何可变体系。
d
C FP
D
C
FP
C1
D D1
A
B
A
B
a) 几何不变体系
b) 几何可变体系
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
r v
应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
e
d
(4) 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h，而 应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。