高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第三节

第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
知识点一二元一次不等式表示的平面区域
1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的______
.我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应______边界直线，则把边界直线画成______．2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都______，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的______即可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
答案
1．平面区域不包括包括实线
2．相同符号
1．判断正误
(1)原点能判断二元一次不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域．( )
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( )
答案：(1)×(2)×(3)√
2．(必修⑤P86练习第1题改编)不等式2x－y－3>0表示的平面区域位于直线2x－y－3
＝0的________方．
解析：将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3<0，所以不等式2x －y －3>0表示的平面区域位于直线2x －y －3＝0的右下方．
答案：右下
3．(必修⑤P86练习第2题改编)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，
y ≥0
表
示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域是三角形(如图所示)，则该三角形的面积是1
2
×4×2＝4.
答案：4
知识点三 简单的线性规划 1．线性规划中的基本概念
将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．
(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b
取最小值时，z 也取最小值； (2)当b <0时，截距z b
取最大值时，z 取最小值；截距z b
取最小值时，z 取最大值．
答案
1．不等式(组) 一次 解析式 一次 (x ，y ) 集合 最大值 最小值 最大值 最小值
4．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x ＋y ≤3，
x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
解析：不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x ＋y ≤3，
x ≥0
表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝0，
x ＋y ＝3，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大
值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.
答案：C
5．(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，
则x 2＋y 2
的取值范围是
________．
解析：不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为
2
5
，所以(x 2＋y 2
)min ＝45，又当(x ，y )取点
(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2
的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，13.
答案：[4
5
，13]
热点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
(2)(2016·浙江卷)若平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －2y ＋3≥0
夹在两条斜率为1的平行直线之间，
则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.
35
5 B. 2
C.32
2
D. 5
【解析】 (1)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．
(2)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －2y ＋3≥0
表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1,2)、
B (2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率
为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.
【答案】 (1)⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －1≥0，
x －2y ＋2≥0 (2)B
(1)(2017·忻州一模)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，2x －y ≤4，
x －y ≥0
所围成的平面区域的面积为( )
A ．3 2
B ．6 2
C ．6
D ．3
(2)若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a
的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都
是整数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
解析：
(1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝1
2
×(2×4－2×1)＝3.
(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
答案：(1)D (2)C
热点二 求目标函数的最值 考向1 求线性目标函数的最值
【例2】 (2016·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，
则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )
A ．－4
B ．6
C ．10
D ．17
【解析】 如图，已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0
所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC (包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3). 根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z
5过点B (3,0)时，z 取得最小值2×3＋5×0
＝6.
【答案】 B
考向2 求非线性目标函数的最值
【例3】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
则z ＝(x ＋1)2＋y 2
的最大值为
( )
A ．80
B ．4 5
C ．25
D.17
2
(2)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧ x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，
则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．
【解析】 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
(x ＋1)2
＋y 2
可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点
P (－1,0)的距离最大．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
x －y ＋5＝0，
得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)
2
＋82
＝80.
(2)法1：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|
5
·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，
2x －y －5＝0.得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max
＝21.
法2：由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.
【答案】 (1)A (2)21 考向3 含参数的线性规划问题
【例4】 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0，
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
【解析】 根据已知条件，画出可行域，如图所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为(0,0)点，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k ＜0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为(2,0)点，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2.
【答案】 B
(1)(2016·新课标全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值为________．
(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________．
解析：
(1)约束条件对应的平面区域是以点(1，1
2)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目
标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值3
2
.
(2)画出可行域如图阴影所示，∵y
x
表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，
y )在点A 处时y
x 最大，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，x ＋y －4＝0.得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝3.∴A (1,3)，∴y
x
的最大值为3.
答案：(1)3
2
(2)3
热点三 线性规划的实际应用
【例5】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性
约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，
x ≥0，y ≥0，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所
示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100
＝216 000(元)．
【答案】 216 000
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
解析：设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约
束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤12，
2x ＋y
≤12，
x ≥0且x ∈Z ，
y ≥0且y ∈Z ，
目标函数z ＝300x ＋400y .
作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．
作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，
得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800.
答案：C
1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
含参数的线性规划处理方法
1．目标函数中含有参数
目标函数中的参数往往与直线的斜率有关，这类问题还有另一个特征，就是其最优解是可知的(一个或者无穷多个)，因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化．
【例1】 已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，OA →
·(OA →－MA →
)＋1
m
≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 解题时先转化目标中的向量关系，使其对应一个二元目标函数，然后再利用可行域的条件求出目标函数的最大值和最小值，从而得到不等式恒成立时实数m 的取值范围．
因为OA →
＝(－1，－2)，OM →
＝(x ，y )，所以OA →
·(OA →
－MA →
)＝OA →
·OM →
＝－x －2y .所以不等式
OA →·(OA →－MA →
)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1
m
≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出
不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值为1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m ≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥
1
3或m <0，即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪[1
3
，＋∞)．
【答案】 (－∞，0)∪[1
3
，＋∞)
解题策略：目标函数以向量的形式出现是一种新的创意，本题易错点是面对目标中的向量关系不知道如何转化．求解线性规划问题的基本形式是探究二元目标函数的最值，因此转化向量关系的主要思路和基本目标就是找到其中对应的二元目标函数，然后结合可行域求解最值．
2．约束条件中含有参数
约束条件中的参数影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，确定区域的可能形状，因此，增加了解题时画图分析的难度．求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向．
【例2】 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y <3x ，x ≤4，
x ＋2y ＋k ≤0，
x ，y ∈N *
，
其中k 为常数，且z ＝x ＋y 的
最大值为12，则k 的取值范围是________．
【解析】 首先，将可确定的约束条件在图中作出，已知条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y <3x ，x ≤4，
x ，y ∈N *
表示的区域
为图(1)中阴影部分(不包括坐标轴)内的整点，区域内能使z ＝x ＋y 取得最大值12的整点为(4,8)，
因此只要使得约束条件x ＋2y ＋k ≤0和⎩⎪⎨⎪
⎧
y <3x ，x ≤4，
x ，y ∈N *
表示的区域内含有整数(4,8)即可．
注意到图(1)所示区域内的3个整点(4,9)，(4,10)，(4,11)以及x ＋2y ＋k ≤0表示的是直线y ＝－12x －1
2
k 左下方的区域，
从而如图(2)所示，区域的最大上界只能到直线CN ：y ＝－1
2x ＋11(此时k ＝－22)的左下
方，
因为到了这条直线，则包含点(4,9)，从而最大值为13，不符合条件．
同理，区域的最小上界必须要到直线BM ：y ＝－1
2x ＋10(此时k ＝－20)，因为不到这条直
线，则不包含点(4,8)，从而最大值小于12，也不符合条件．
所以满足条件的k 的取值范围为－22<k ≤－20. 【答案】 －22＜k ≤－20
解题策略：一般来说，对于这类问题的求解有一定难度，但只要紧紧抓住最值和最优解这两个条件，然后通过确定相应的已知区域，问题便不难解答.。