2010级数学分析第2学期期中考试2011-4-27
数学分析(2)期中试题参考答案
以存在连续映射 γ : [a, b] → E，满足 γ(a) = x、γ(b) = y。设 U ′ = γ−1(U )、
V ′ = γ−1(V )，因为 γ 连续，所以 U ′、V ′ 是 [a, b] 中的非空开集，且满足
[a, b] = U ′ ∪ V ′、U ′ ∩ V ′ = ∅，于是 [a, b] 不连通，矛盾！
要计算 Jacobi 行列式，由隐函数定理可知：
∂gi ∂p
=
−
f
gi ′(gi)
,
∂gi ∂q
=
1 − f ′(gi) ,
()
由此不难求出 det
∂(u,v) ∂(p,q)
=
1 v−u
=
√ 1 。（注：此做法可推广到一般的
p2−4q
n 次多项式，最后计算 Jacobi 行列式时会出现 f 和 f ′ 的结式。）
考虑函数 u(x, y, z) = H(x, y, z) − λ f (x, y, z)，它的驻点满足
ux = −λfx = 0, uy = −λfy = 0, uz = 1 − λfz = 0.
将上述方程与 f = 0 联立可得 x = 0、y = 0，以及四个 zi：
√√
√√
z1 = − a2 + a4 − b4, z2 = − a2 − a4 − b4, z3 = −z2, z4 = −z1,
√
√
−p − p2 − 4q
−p + p2 − 4q
u=
, v=
2
2
()
即是所求。接下来通过直接的计算可得 det
∂(u,v) ∂(p,q)
= √ 1 。（注：此做
p2−4q
法显然不能推广到一般的 n 次多项式。）
2010-2011学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2010——2011学年第二学期高 等 数 学A(II) 期中试卷答案一、单项选择题 （本题共45分，每小题5分）1. C2. B3. C A. 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C二、填空题 （本题共45分，每小题5分）10. 0G ; 11. 12; 12. 222214(1)4x z y y +=+−或 2224174210x y z y −++−=; 13. 3; 14. 123()e 1sin()x y z x f f f x z x ⎛⎞−′′′−++⎜⎟−⎝⎠; 15. 4d 2d x y −; 16. π; 17. 22x y +; 18. 2(22)9i j k +−G G G 或244,,999⎛⎞−⎜⎟⎝⎠. 三、应用与证明题（共10分，每小题5分）19．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品, 两个市场需求函数分别是11182p θ=−, 2212p θ=−, 其中12,p p 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 1θ和2θ分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C θ=+, 其中θ表示该产品在两个市场的销售量, 即12θθθ=+.(1) 如果该企业实行价格差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量和价格为多少才能使该企业获得最大利润?(2) 如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格为多少才能使该企业的总利润最大化? 并比较两种价格策略的总利润大小.解 总利润函数为2211221212(25)216105,L R C p p θθθθθθθ=−=+−+=−−++− 则112241602100L L θθθθ∂⎧=−+=⎪∂⎪⎨∂⎪=−+=⎪∂⎩ 124,5,θθ=⎧⇒⎨=⎩ 因此 110p =(万元), 27p =(万元). 由于驻点(4,5)唯一, 所以max 52L =(万元).当实行价格无差别策略时, 12p p =, 从而满足条件1218212θθ−=−, 即12260θθ−−=. 令 2212121212(,,)216105(26),F θθλθθθθλθθ=−−++−+−− 则11221241620,2100,260,F F F θλθθλθθθλ∂⎧=−++=⎪∂⎪∂⎪=−+−=⎨∂⎪⎪∂=−−=⎪∂⎩ 得125,4,2,θθλ=== 从而128p p ==, 此时max 49L =(万元).显然, 企业实行差别之价的总利润大于统一价格的总利润.20．证明: 曲面,0x a y b f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠的切平面经过一定点. 证明 记(,,),x a y b F x y z f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠, 则 11(,,),x F x y z f z c ′=− 21(,,),y F x y z f z c′=− []1221(,,)()(),()z F x y z x a f y b f z c −′′=−+−− 故切平面的方程为[]12122111()()()()()0()f X x f Y y x a f y b f Z z z c z c z c ′′′′−+−−−+−−=−−−, 即 [][]12()()()()()()()()0z c X x x a Z z f z c Y y y b Z z f ′′−−−−−+−−−−−=, 显然, 当(,,)(,,)X Y Z a b c =时, 上式左端为零. 故此切平面过点(,,)a b c .。
2010—2011学年度第二学期期中(高二数学理科)试卷及答案
2010—2011学年度第一学期期中考试高二数学（理科） 2011.4试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在题后括号内.） １.向量)6,3(=对应的复数是 （ ）A .i 63+B .i 36+C .i 33+D .i 66+ ２.满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆３.菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是 （ ） Ａ．大前提 Ｂ．小前提Ｃ．推理形式D ．大小前提及推理形式４.若质点M 按规律t t s 23-=运动，则3=t 秒时的瞬时速度为 （ ）A .7B .11C .25D .29５.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()2(≥'-x f x ，则必有 （ ）A )2(2)3()1(f f f <+B )2(2)3()1(f f f ≥+C )2(2)3()1(f f f ≤+D )2(2)3()1(f f f >+6．曲线6sin 2+=x y 在4π=x 处的切线的倾斜角是 （ ）A .4πB .4π-C .43πD .43π-7．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为 （ ）Ａ. 72 Ｂ．36 Ｃ．12 D ．08．函数216x xy +=的极大值为 （ ） A .2B .3C .4D .59．曲线x y 4=和x x y 232-=所围成图形的面积 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是 （ ） A .2-，2 B . 1-，4 C .1，1- D . 2，4 11．已知整数按如下规律排成一列：)1,1(、)2,1(、)1,2(、)3,1(、)2,2(、)1,3(、)4,1(、)3,2(、)2,3(、)1,4(、……则第60个数对是 （ ） Ａ．)1,10( Ｂ．)10,2( Ｃ．)7,5( Ｄ．)5,7(12．设函数xx x f )21(log )(21-=，xx x f 21(log )(212-=的零点分别为21,x x ，则（ ）Ａ．1021<<x x Ｂ．121=x x Ｃ．2121<<x x Ｄ．221≥x x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）13．设C z ∈，且i z i 34)21(+=+（i 为虚数单位），则_______=z ，=||z . 14. 用反证法证明命题“如果b a >，那么33b a >” 时，应假设 . 15.函数x x y ln -=的单调减区间为 .16.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 17.若三角形内切圆半径是r ，三边长为,,,c b a 则有三角形面积r c b a S )(21++=.根据类比思想，若四面体内切球半径是R ，四面体四个面的面积是,,,,4321S S S S 则四面体的体积=V .18．已知函数cx bx x x f ++=23)(的图象如图所示，则=+2221x x .三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. 证明：（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a .证明：21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为 矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成 正比（强度系数为k ，0 k ）．要将直径为d 的圆木锯 成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？ 解：dx横梁断面图已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值. 解：已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=.（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式. 解：2010—2011学年度第二学期期中考试参考答案 高二数学（理科） 2011.4一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13.i +2，5 14.33b a ≤ 15.)1,0( 16.221e17.)(314221S S S S R V +++= 18．38三、解答题（本大题共6小题，共60分．）19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）)1(2)1(3)2(2i i m i z --+-+=i m m m m )23()232(22+-+--=. …………………………………1分①当0232=+-m m 时，即1=m 或2=m 时，复数z 为实数. …………2分②当0232≠+-m m 时，即1≠m 且2≠m 时，复数z 为虚数. …………3分③当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数. …………………………………………5分 （Ⅱ）若复数z 所对应的点在第二象限，则⎪⎩⎪⎨⎧>+-<--023023222m m m m . …………7分解得⎪⎩⎪⎨⎧><<<-21221m m m 或，所以121<<-m .所以， m 的取值范围)1,21(-. …9分20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++ 证明：因为0,222>≥+a bc c b ， …………………………………………1分 所以abc c b a 2)(22≥+. …………………………………………2分同理abc c a b 2)(22≥+.abc b a c 2)(22≥+. …………………………………………………3分所以abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. ……………………4分（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a证明：要证321---<--a a a a ，只需证明213-+-<-+a a a a ， ……………………5分两边平方得212323232-⋅-+-<-⋅+-a a a a a a ，……6分 只需证明213-⋅-<-⋅a a a a ， …………………………7分两边平方得23322+-<-a a a a ，…………………………………8分 即20<，所以原不等式成立 ……………………………………9分 21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明解：（Ⅰ）因为n n a a -=+211， 所以a a -=212， a a a 2323--=，aa a 34234--=， ………………3分 （Ⅱ）猜想：an n a n n a n )1()2()1(-----=. ……………………………5分 证明：①当1=n 时， a a =1显然成立.， ………………………………6分②假设k n =时，a k k a k k a k )1()2()1(-----=，……………………………7分 当1+=k n 时，ak k a k k a a k k )1()2()1(21211------=-=+ ])2()1[(])1([2)1(a k k a k k a k k --------= kak a k k -+--=)1()1(.…………8分 故当1+=k n 时，结论成立.由①、②可知，对N n ∈，都有a n n a n n a n )1()2()1(-----=成立. . …………19分 22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0>k ）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？解：设断面高为h ，则222x d h -=．横梁的强度函数2)(xh k x f ⋅=， d x 横梁断面图所以)()(22x d x k x f -⋅= ，d x <<0． ……………………………3分 所以)3()(22x d k x f -⋅='．令0)(='x f 解得d x 33±=（舍负）． ……5分 当d x 330<<时，0)(>'x f ；当d x d <<33时，0)(<'x f ． ……6分 因此，函数)(x f 在定义域),0(d 内只有一个极大值点d x 33=．………………7分 所以)(x f 在d x 33=处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………8分 即当断面的宽为d 33时，横梁的强度最大． ……………………9分 23．（本题10分）已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值．解：(Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +=' ……………………………………………………1分 ①当0=a 时，令)(x f '=0, 得0=x ．若0>x 则0)(>'x f ,从而)(x f 在),0(+∞上单调递增；若0<x 则0)(<'x f ,从而)(x f 在)0,(-∞上单调递减． ………………3分 ②当0>a 时,令0)(='x f ,得0)2(=+ax x ,故0=x 或a x 2-=． ………4分 若a x 2-<,则0)(>'x f ，从而)(x f 在)2,(a --∞上单调递增； ………5分 若,02<<-x a 则0)(<'x f ，.从而)(x f 在)0,2(a -)上单调递减；……6分若0>x ， 则0)(>'x f ，从而)(x f ),0(+∞上单调递增． ……………7分 (Ⅱ)①当0=a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是1)1(=-f . …………8分 ②当20<<a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是a e f -=-)1(.………9分 ③当2≥a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是224)2(e a a f =-．………10分 24．（本题14分）已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=．（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式.解：（Ⅰ）∵函数)(x f 过点)2,1(-，∴2)1(=-+-=-c b a f ， ①……………1分又c bx ax x f ++='23)(2，函数)(x f 点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ， ∴⎩⎨⎧='-=0)1(2)1(f f ，即⎩⎨⎧=++-=++0232c b a c b a ， ②……………3分 由①和②解得3,0,1-===c b a ，故 x x x f 3)(3-=． ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，解得1±=x ， ……………5分 ∵2)2(,2)1(,2)1(,18)3(=-==--=-f f f f ， …………………………6分 ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-， …………………………7分 ∴对]2,3[,21-∈∀x x ，都有20|)()(|21≤-x f x f ，∴20≥t ，从而t 的最小值为20． ………………………………………8分（Ⅲ）∵c bx ax x f ++='23)(2，则 ⎪⎩⎪⎨⎧++='+-=-'='c b a f c b a f c f 23)1(23)1()0(，可得)0(2)1()1(6f f f a '-'+-'=．……………10分 ∵当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，∴1|)1(|≤-'f ，1|)0(|≤'f ，1|)1(|≤'f ． ∴4|)0(|2|)1(||)1(||)0(2)1()1(|||6≤'+'+-'≤'-'+-'=f f f f f f a ． ∴32≤a ，故a 的最大值为32． …………………………………………………12分 当32=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+-=-'=='1|22||)1(|1|22||)1(|1|||)0(|c b f c b f c f ，解得1,0-==c b ．∴a 取得最大值时x x x f -=332)(． …………………………………………14分。
2010-2011期中考卷
( A)2 2
(B)
2 2
(C )2
(D)4 2
ab a
ab a
b cos(a,b) cos(a,b)
b
sin(a,b) 8
2 2
4
2
2 2
3、双曲线
x2 4
z2 5
1绕z轴旋转一周而成的旋转
y 0
曲面的方程为( )
( A)
x2
4
Hale Waihona Puke y2z2 51
(C ) ( x
y)2 4
在xoy面上的投影曲线为
z
0
.
x2 4 y2 z2 4 消去z xza
x2 4 y2 (a x)2 4
(投影柱面方程)
4、两平行平面2x 3 y 4z 9 0与2x 3 y 4z 15 0 的距离是( )
(
A)
6 29
(B
)
24 29
(C )
24 29
(D)
6 29
{1,
2t0 ,
3t02 }
切线 // 平面 T n T n 0
即：1 1 2 (2t0 ) 1 3t02 0
解得：t0
1或
t0
1 3
8、若级数 (an bn )收敛，则( ) n1
( A) an， bn都收敛
n1 n1
(B) an， bn至少有一个收敛
n1 n1
(C ) an， bn不一定收敛 (D) an bn 收敛
1
s
6、 1n
n0
1 3n n!
xn的收敛区间是(, )
,和函数是e
x 3
=
1 x n n0 n! 3
2010-2011 《 高等数学（工）2 》期中试卷
2010—2011学年度第二学期期中数学试卷分析
2010—2011学年度第二学期期中数学试卷分析一、基本情况全卷共26道题，覆盖了《数学课程标准》中一级知识点，二级知识点的覆盖率也较高，试题呈现方式多样化，主观性试题的类型丰富：开放题、探究题、应用题、操作题、信息分析题等占一定的分值比例，题型结构搭配比例基本适当，各知识点分值比例分配比较合理恰当，总体难度和难度结构分布合理，符合学生的实际情况。
二、考生答题情况分析选择题(1—10) 和填空题(11—20)均为基础题，主要考查学生对八年级数学中的基本概念、基本技能和基本方法的理解和运用。
从统计考生答卷情况来看，对于大部分小题考生的得分率普遍较高。
某些试题涉及知识虽然基础，但背景新颖，需要考生具备一定的“学习”能力。
考试结果表明，对于这样的试题，有相当一部分学生存在能力上的欠缺。
例如：第10题。
第20题学生往往讨论不全面只解答一种情况漏第二种情况，所以填空题能得满分的考生不多。
第21题是基本分式运算题，但情形简单仍不失基础性。
第22题主要考察平行四边形的性质。
第23题以正方形网格为背景，设置了基本作图，在对图形的操作、思考等活动中考查学生对图形与变换，平行、垂直的理解，体现了《课程标准》所倡导的“动手实践，自主探索”的学习理念。
第24题由于配置了应用背景，需要考生具备一定的理解能力，学生在解决这一系列问题的过程中，可以表现出自己在从事观察、分析、推理等数学活动方面的能力，因而本题也较好地考查了过程性目标。
第25题考查的内容是根据具体问题中的数量关系，建立适当的数学模型解决实际问题，内涵比较丰富，对分析问题和解决问题的能力要求较高。
第26题，是一道变式题，考察学生是综合判断分析推理能力。
可以说，开放与探究是本试卷的亮点。
三、试卷对课程理念的体现，对科学特点的体现数学试卷呈现出许多新意，重视试题的教育价值的功能，体现新课程改革理念，既体现了数学学科的基本特点，又给学生创造了灵活、综合地运用基础知识、基本技能，探索思考的空间与机会。
2010-2011学年度第二学期期中考试数学试卷
海初一数学期中试卷第1页（共6页） 海初一数学期中试卷第2页（共6页）………………………………………………密………………………………………封…………………………………………线…………………………………………………………海港区2010—2011学年度第二学期期中考试初一数学试卷满分：100分 完卷时间：90分钟一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一个正确答案。
每小题2分，共20分） 1．若甲数为x ，乙数为y ，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”，列成方程就是( )A ．2213=+y x B ．2213=-y x C ．2321=-x y D ．x y 3221=+2．如图1：a 、b 、c 是经过点O 的三条直线，图1中对顶角的对数共有 ( )A ．7对B ．6对C ．5对D ．3对3．如图2所示，B 是线段AD 的中点，C 是BD 上的一点，则下述结论错误的是 ( )A ．BC=BD －CDB ．BC=AB －CDC ．BC=21（AD －CD ） D ．BC=AC －BD4．已知α与β互为补角，并且β的一半比α小30°，则α、β的度数分别是 ( )A ．80°，100°B ．60°，120°C ．40°，140°D ．30°，150°5．如图3, OB ⊥OD ，OC ⊥OA ，∠BOC =32°，那么∠AOD 等于 ( )A ．148°B ．132°C ．128°D ．122°6．下列说法错误的是 ( ) A ．两直线平行, 同旁内角互补 B ．垂直的两条线段不一定相交C ．直角都相等D ．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离7．在ΔABC 中，∠A=55º，∠C=42º，则∠B 的度数为 ( )A ．42ºB ．55ºC ．83ºD ． 97º8．三根木条的长度如图，能组成三角形的是 ( )9．在直角坐标系中，点P （-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为 ( )A ．（3，6）B ．(1，3)C ．(1，6)D ．(3，3)10．某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板，他买的瓷砖形状不能是 ( )A ．正三角形B ．长方形C ．正八边形D ．正六边形 二、填空题（每小题11．如图412．已知∠α=13．如图5，OC 是∠若∠COD =53°18’14．把“同位角相等”写成“如果……那么……”的形式为：为 。
2010-2011学年度第二学期初二数学期中试卷质量分析
2010-2011学年度第二学期初二数学期中试卷质量分析第8小题考反比例与一次函数的图像，但一次函数的常数项是负K，很多学生没有理解负K，而是理解能K。
第二大题填空题有8个小题第9小题考分式的意义，大多数同学都能做对。
第10小题考科学记数法，较简单，大多数同学都能做对。
第11小题考反比例的图像与性质，前面也做过这样的题目，但还有很多同学做不对。
第12小题考反比例的图像与性质，但题目不够严谨，应该加小于0或大于0。
这题也很多同学没有做出来。
第13小题考利用勾股定理画无理数，大多数同学受上课时是画正无理数的影响而做不出来。
第14小题考的是逆命题，多数同学能做出来。
第15小题考的是勾股定理的利用，但很多同学写的是11，而没有理解要求的是取值范围。
第16小题考勾股定理，对同学来说有一定的难度，很多同学少选了4.解答题共八题。
第17题大多数同学主要错在计算负3分之2的负3次方时出错。
第18题很多同学在处理符号时出错。
计算出带负号的答案。
第19题多数同学能得满分。
第20题难度较大，主要是有一定的综合性，考了方程函数的思想，全等三角形，等腰三角行，点到直线的距离等知识，多数同学做不到。
第21题化简后，多数同学没有分析清楚这些范围的整数都使分式无意义，所以错误的选了一个整数代入。
第22题多数同学做第二问时思路正确，但第一问时思路不对，很多同学直接利用勾股定理求出AB等于5.。
第23题应用题第一问多数同学做的出，但第二问很多同学没有看清应在不耽误工期的情况下最节省工程款的方案。
所以选了B。
第24题有的同学第一问求出的M、N是负3、负4，第二问也跟着错。
第三问只能找到一个点。
三、今后教学的措施1、首先我们教师应彻底改变自己的角色，真正做到以学生为中心，面向全体，对数学学习有困难的学生多加关注，增进师生之间的情感交流，采取学生间互助等多种有效的形式对他们多加关注。
2、加强我们教师自身数学素养的提高，在平日的教学中能够引导学生自觉的用所学知识解决实际问题。
湖北省部分重点中学2010-2011学年度下学期期中联考高二理科数学试题
湖北省部分重点中学2010-2011学年度下学期期中联考高二数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1—5 BCDAA 6—10 DABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 242e e ----14. 32 15. (,1)(0,1)-∞-三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）解：根据题意，力F 所做的功为 1221(1)W x dx x dx =++⎰⎰ …………… 4分3322111(10)[22(11)]322=-+∙+-∙+176J =……………11分答：力F 所作的功为176J ． ……………12分17．（本小题满分12分）解：由12z z =得2cos 43sin m m θλθ=⎧⎨-=+⎩ …………… 4分 消去m 得24cos 3sin λθθ=--24(1sin )3sin θθ=---233(sin )24θ=-+…………… 9分∵ 1sin 1θ-≤≤，∴ 17λ≤≤ ……………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得26210t t +-=…2分 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1213t t +=-，1216t t =-………4分∴ 线段A B的长为12AB t =-3== ……6分（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q 对应的参数为122t t +16=-， ……8分∴ 点(1,3)P -到线段A B 中点Q 的距离为163P Q == …………12分19．（本小题满分12分）解：设切点()()20,0020P x x x -+>由22y x =-+得'2y x =- ∴02l k x =-∴l 的方程为：()()200022y x x x x --+=-- …………3分 令0y =得20022x x x +=， 令0x =得202y x =+三角形的面积为()220021222x S xx +=∙+ ，00x > …………6分令()())2200020322'0043xx S x x x-+==⇒=> …………8分当00'03x S <<<，；当0'03x S >>，∴03x =时，22m in (2122393S +⎛⎫=∙+=⎪⎪⎭， …………10分此时3l k =-，切点433⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 故l的方程为380y +-= …………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ()(2)2(22)x x x f x e x a e e x a ---'=--+=--- ……… 3分 当22a x +<时，()0,f x '>当22a x +>时，()0,f x '< ……… 5分∴ ()f x 在2)2,(a +∞-上是增函数，在2(2,)a ++∞上是减函数．……… 6分（Ⅱ）方程()1f x =即(2)x x a e -=，∴2x a x e =- ……… 7分 记1()2,[,2]2x g x x e x =-∈，则1()2,[,2]2x g x e x '=-∈当1ln 22x <<时，()0g x '>；当ln 22x <<时，()0g x '< ……… 9分而1()12g =->2(2)4g e =-，(ln 2)2ln 22g =-， ……… 12分∴ 12ln 22a -≤<- ……… 13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵()22ln ah x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， ………1分 ∴()2212a h x xx'=-+，()0 x ∈+∞，………2分 ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=∵0a >，∴a = ………4分经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =……… 5分（Ⅱ）对任意的[]11x e ∈，，都存在[]21x e ∈，使得()1f x <()2g x成立等价于m ax ()f x <m ax ()g x ……… 6分 当x ∈［1，e ］时，()110g x x '=+>，∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数，∴()max ()1g x g e e ==+ ……… 7分()()()2221x a x a a f x xx+-'=-=，[]1,x e ∈，0a >①当01a <≤时，x ∈［1，e ］，()()()20x a x a f x x+-'=≥，∴函数()2af x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2max af x f e e e==+2ae e+<1e +即m ax()f x <m ax ()g x 恒成立，满足题意； ……… 9分②当1<a <e 时，若1x a ≤<，则()()()20x a x a f x x+-'=<，若a x e <≤，则()()()20x a x a f x x+-'=>∴函数()2af x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数，而()211f a =+， ()2af e e e=+)a ()1f ＜()f e 即1a <<()()2maxafx f e e e==+，2ae e+<1e +即m ax()f x <m ax ()g x 恒成立；)b ()()1f f e ≥a e ≤≤时，()()2max 11f x f a ==+此时，()()max max f x g x ≥， 不合题意； ……… 12分 ③当a e ≥时，x ∈［1，e ］，()()()20x a x a f x x+-'=≤，∴函数()2af x x x=+在[]1e ，上是减函数， ∴()()2max 11f x f a ==+此时，()()max max f x g x >， 不合题意； ……… 13分综上知，a 的取值范围为(0,． ……… 14分。
2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷及答案
2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（每题3分，共36分）：1．化简2)1(42i i ++（其中i 是虚数单位）的结果是i -2 2．已知),(,2R b a i b ai ∈++是某实系数一元二次方程的两个根，则=+b a 13．设O 是正方体1111D C B A ABCD -底面ABCD 的中心，则直线O B 1和D D 1的位置关系是 相交4．以直线032=+x 为准线的抛物线的标准方程是x y 62=5．双曲线222=-y x 的焦点坐标是)0,2(±6．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则=m 8 7．若直线a 和平面α相交，则直线a 和平面α所成角的范围是]2,0(π 8．设复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值为15-9．设P 是双曲线11222=-y x 上一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积是 1210．设抛物线x y 82=内一点P （2,3），Q 是抛物线上一点，则QF PQ -的最大值是 311．已知复数R b a bi a z ∈+=,(且)0≠b ，若bz z 42-是实数，则有序实数对),(b a 可以是 )1,2( （符合b a 2=且0≠b 即可） 12．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的序号是 ②④二、选择题（每题4分，共16分）：13．若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，则实数x 的值为（ B ）（A ）1± （B ）1- （C ）1 （D ）014．设n m l ,,均为直线，其中n m ,在平面α内，则“α⊥l ”是“m l ⊥且n l ⊥”的（ A ）（A ）充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的半径是（ B ）（A ）a （B ）b （C ）ab （D ）22b a +16．如图，过正方体1AC 的顶点A 作平面BD A 1的垂线。
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浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
数学分析(二)期中考试答案
学习必备 欢迎下载学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 王守中 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）数学分析(二)期中考试试卷使用班级（教师填写）：信息09-1一．选择题（每小题2分，共20分）：1.点0x 是函数)(x f 的驻点，则一定有（ C ）（A ）0x 是极值点； （B ）0x 是不可导的点； （C ）0)(0='x f ； （D ）0)(0=x f 。
2.设函数)(x f 在0x 处有0)(0='x f ，0)(0>''x f ，则在0x 处函数（ B ） （A ）取得极大值； （B ）取得极小值； （C ）不取得极值； （D ）不能确定。
3.2362(01)y x x =-曲线在区间，的特性是（ B ）（A ）单调递增，凹 （B ）单调递增，凸（C ）单调递减，凹 （D ）单调递减，凸4．函数sin4x 的一个原函数是（ C ） （A ）cos4x （B ）41cos4x （C ）-41cos4x （D ）41sin4x5．下列各式中成立的是（ D ） （A ）()()f x dx f x '=⎰ （B ）()()df x f x C '=+⎰ （C ）(())()d f x dx f x =⎰（D ）(())()d f x dx f x dx=⎰6．设xe-是()f x 的一个原函数，则⎰dx x xf )(=（ B ）（A ）e -x（1-x ）+C （B ）e -x（x+1）+C（C ）e -x （x-1）+C （D ）-e -x（x+1） 7. 0()(2cos cos3) 3xf x t t dt x π=+=⎰函数在处必（ ）C ()()()()A B CD 不为极植 取极小值 取极大值 是单调的8.已知)(x F '=f(x),则⎰-xadt t a f )(=( A )A) F(0)-F(a-x) B) F(a-x)- F(0) C) F(x-a)- F(0) D) F(0)- F(x-a)9. 下列积分中不等于零的是( A )A)⎰-224cos 4ππθθd B)⎰-ππxdx xsin 4C) ⎰-++55242312sin dx x x xx D)⎰-11cos xdx x 10.下列积分发散的有( A ) A)dxxx⎰∞+1ln B) dx x ⎰∞++0211C) 0+∞⎰D)1x e dx +∞-⎰二.填空题(每小题2分，共16分)1. 设3)(0x dt t f x =⎰,f(x)=______________ 31__________.2. 1 0___________________pdxp x ⎰若瑕积分发散，则必有1p ≥3.都是常数．和，其中b a dx x dx d b a__________________)1sin( 2=+⎰0 4._____________________ 22=-⎰-dx x a aa定积分22a π5.____________________2sin 03⎰π=dt t436.函数xx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1的极值点是x ＝ e 17.32(13),(,)y ax bx a b =+=设曲线以点，为拐点则数组 39()22-， 8.极限=-→xxx 1ln lim 1 -1 ．三.计算题(每小题5分，共25分)1．⎰++)1(21222x x x解：⎰++)1(21222x x x dx ==++=+++⎰⎰⎰dx x dx x dx x x x x 222222111)1()1(-x 1+arctgx+C; 2. ⎰+x xe e 12dx解：⎰+xxee 12dx= 2(1)(1)1x x x x e e e dx e+-+-+⎰ 1(1)(1)1x x xdx d e e dx e=-++-+⎰⎰⎰ =e x-ln(1+e x)+C; 3.121()x x dx -+⎰．解:原式=⎰4201x dx =4331x =434.．求⎰+21ln 1e xx dx解:令 1+=ln x t原式=⎰dtt13=213t =-231()5.．求⎰+∞-032dx e x x解:2x t =令 12tte dt +∞-=⎰原式=→+∞-⎰120lim b t b te dt=--→+∞--120lim ()b t t b te e =12四.求下列极限(每小题5分，共10分)1. ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1＝x x x x x x ln )1(1ln lim 1---→＝xx x x 11ln 11ln lim 1-+-+→＝1ln ln lim 1-+→x x x x x x ＝11ln 1ln lim1+++→x x x ＝212. 2arctan limxdt t x x ⎰→解: 利用洛必达法则,020arctan arctan limlim2xx x tdt x x x →→=⎰=21五.( 6分 )设F(x)为f(x)的一个原函数，当x ≥0时有f(x)F(x)=sin 2x ，且F(0)=1，F(x)0≥，求f(x)。
2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(文科)
2010/2011学年度第二学期期中考试高二数学（文科）出卷人： 许一鸣 审核人： 张丽本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共 160分，考试时间 120 分钟。
注意事项：第I 和Ⅱ卷答在答卷纸上，答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考试号填写清楚。
第I 卷（共 70 分）一、填空题（每小题5 分，共70 分）： 1．{}53)1(2-≤-=x x x A ，则A Z 的元素的个数2．已知A B ax x B A ⊆=-==且},01|{},2,1{，则实数a 的值为________ 3．函数12)32lg()(-++-=x x x f 的定义域是 4．已知f (x +1)=x 2+2x -1,则f (x )的解析式为5．已知命题2:,20p x R x ax a ∃∈++≤，则命题p 的否定是 6．写出“12lg <x 成立”的一个必要而不充分条件_________ 7．函数x x x f ln )(=的单调增区间为 8．下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是①2)()(,)(x x g x x f == ②22)1()(,)(+==x x g x x f ③0)(,1)(x x g x f == ④⎩⎨⎧-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 9．设25abm ==，且112a b+=，则m = 10.幂函数y =(m 2-m -1)322--m m x ，当x ∈(0, +∞)时为减函数，则实数m 的值是11．若2()()x u f x e --=的最大值为m ，且f （x ）为偶函数，则m +u =______12．方程223xx -+=的实数解的个数为13.已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是 14．函数f （x ）=-x 2+4x -1在[t ，t +1]上的最大值为g （t ），则g （t ）的最大值为_ _第II 卷（共 90 分）二、解答题（每小题 15分，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.}12|{2≤=-xxx A ，B ={}21,y y x x x R =++∈，全集为R ，密＝★＝ABCDMN P（1）求A ，B ；（2）求,R A B A C B ⋃⋂ 。
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。
2010—2011学年度第二学期四年级数学期中试卷分析
2010—2011学年度第二学期四年级数学期中试卷分析一、基本情况该班共有21人，其中男11人，女生10人，本次检测全部参见。
21中合格16人，合格率为71.4%，其中优秀3人，优秀率为14.4%。
不合格5人，最高分90分，最低分47分，人均68分，总分1427分。
二、试卷概况本次检测试卷共七大题，分三大部分。
第一部分为基础概念题，第二部分为技能技巧题，第三部分为实际应用题。
其中第一到第三题是基础概念的理解应用题，第四到第六题为技能技巧的应用题。
第七题是实际应用、解决问题的类型题。
现将各题得分情况列表如下：题号满分100 90—99 80-89 70-79 60-69 60以下人数分数段一26 0 3 8 3 3 4二 5 1 0 11 0 5 4三 5 3 0 5 0 8 5四24 1 0 1 6 4 9 五9 0 2 4 5 1 9六 6 4 3 10 2 2 0七25 5 2 2 2 6 4三、存在问题从以上列表数据看，学生对基础概念的掌握和理解不够，第一题用心思考，准确填空答满分的为0人。
优良率仅占50%，60分以下的为20%。
第二题仔细推敲正确判断，答满分的只有1人，80—99分的人为11人，优良率占58%，60分以下占20%。
第三题反复比较慎重选择，优良率仅占40%，60分以下占25%。
说明学生对基础概念理解和掌握不够。
第二部分技能技巧的应用，第四大题掌握方法细心计算。
1小题直接写出得数，是考察学生的速算和技巧，学生大题较好。
2小题计算下面各题，能简算的要简算，主要是考察学生对运算定律的掌握能力。
这一小题只有20%的学生掌握，80%的学生完全没有掌握。
大部分学生只答对了一道题，个别学生连一道题也没有答对，这说明学生对这一部分也就是混合运算和运算定律的掌握和应用是非常差的，也说明了自己对这一部分的教学是失败的。
第五题是列式计算，这一题学生答的较差，优良率仅有30%，60分以下占45%，说明学生对题意理解不够，所以列式就会出错。
2010级第二学期高等数学A期中试卷答案 2
1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积.解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程. 2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分 于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
20102011学年度第二学期高二数学期中考试(理科)
2010/2011学年度第二学期期中考试高二年级数学(理科)试卷命题人:宋钢 复核人:宋钢一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卷．相应位置上．．．．．.． 1.设i 是虚数单位，则复数32ii-+的实部为 ▲ 2. 已知11111065mA =⨯⨯⨯⨯ ，则m = ▲ ．3. 6人排成一排，则甲不站在排头的排法有 ▲ 种．（用数字作答）．4. 曲线1y x =-在点1(,2)2-处的切线斜率为___ ▲_____，切线方程为____ ▲______． 5.有2个红球、4个黄球，同色球不加以区分，将这6个球排成一列有__▲__种不同的方法（用数字作答）．6.对,,a b R a b +∈+≥-------大前提1x x +≥ ------小前提 所以12,x x+≥ -------结 论 以上推理过程中的错误为 ▲ （1） 大前提 （2） 小前提 （3）结论 （4）无错误 7. 函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,a 的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a8. 已知复数z 满足11z i --=，则z 的最小值是 ▲9. 已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f ▲10. 若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 ▲ 种．（用数字作答）． 11.利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从假设k n =推证1+=k n 成立时，左边应增乘的因式是___ ▲12. 已知函数32()39f x x x x a =-+++（a 为常数），在区间[2,2]-上有最大值20，那么此函数在区间[2,2]-上的最小值为 ▲13. )(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x gx ''+<且(2)0f =则不等式0)()(<x g x f 的解集为 ▲14. 已知1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈.01cos 3x =（0[0,π]x ∈），下面命题中真命题的序号是 ▲ . ①()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 已知R m ∈,复数Z=i )1m ()1m (m -+-当m 为何值时, (1)Z ∈R; (2)Z 是虚数; (3)Z 是纯虚数; 16. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=。
同济大学《高等数学》2010-2011学年第二学期期中试卷
2010-2011 学年第二学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--1 同济大学课程考核试卷（期中试卷）2010—2011 学年第二学期年级专业学号姓名任课教师题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共7大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.解答题要求写出解题过程）一、填空题(每小题5分，共25分)1.已知向量a= (2,−3,1),b= (1,−2,3),c = (2,1,2),则向量a ⋅b在向量c 上投影Pr jc(a ⋅ b )= ___−7_____.2.经过三点（3,1,0）, （-1,-4,1）以及（2,5,2）的平面方程为2(x−3) −(y−1) + 3(z−0)或2x−y+ 3z−5= 0.3.函数f(x,y) 具有一阶连续偏导数，f(1,1) = 1,f x′(1,1) = 2,fy′(1,1) = −3,函数ϕ(x,y) = f(f(x,y),f(x,y)),有∂ϕ= −2 ,∂ϕ= 3 .解：ϕx= fx(f(x,y),f(x,y))fx(x,y) + fy(f(x,y),f(x,y))fx(x,y)ϕx(1,1)= fx(1,1)fx(1,1) + fy(1,1)fx(1,1) = −2;ϕy= fx(f(x,y),f(x,y))fy+ fy(f(x,y),f(x,y))fy,y(1,1).4．设D 是由曲线y= x2 −3与直线x+ y+ 1 = 0 所围的有界闭区域，函数f(x,y)在D上连续，则将二重积分I= ∫∫f(x,y)dσ化成先对y再对x的二重积分时DI= dx2f(x,y)dy.5．已知a,b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为2π,若c1= a⋅ b;c2= (c 1⋅ a )⋅ b, ,cn+1= (c n⋅ a )⋅ b(n= 1,2 ).则模cn= 2n二. （本题9 分）计算三重积分I= ∫∫∫(z+ 1)dv,其中Ω是由曲面x2 + 2y2 −z2 = 0ΩxOy平面以及平面z= 2 所围成的有界闭区域。
2010工科数分第二学期期中试题解答
2010-2011工科数学分析第二学期期中试题解答一. 1.32 2. 36arcsin 3. }2,4,2{2e e ，（与此方向相同的都对） 4. )()2(2122ρo y xy y +-+5. ⎰⎰⎰-xzdy z y x f dx dz 01010),,(二. 设点 )1,0,1(-B ，)2,1,1(=s，||||s s BA d→⨯= …………………………(3分) |||}2,1,1{}3,2,2{|s⨯-=……………………….(5分) |||}0,7,7{|s -=………………………..(7分) 37211)7(722222=++-+= ……………………………(9分)三. 000lim )0,0()0,(lim)0,0(00=-=-='→→xx f x f f x x x …………………………(3分) 000lim )0,0(),0(lim)0,0(00=-=-='→→yy f y f f y y y …………………………(6分) 沿x y =， 0lim ),(lim 243000=+=→→→x x x y x f x y x …………………………….(7分) 沿2x y =， )0,0(21lim ),(lim 444000f x x x y x f x y x ≠=+=→→→ ……………………….(8分) 即),(lim 0y x f y x →→不存在，),(y x f 在点)0,0(处不连续 ………………………..(9分)四. }1,1{=→AB ，}2,0{-=→AC ，}21,21{=→AB ，}1,0{0-=→AC ……………(2分)222121=∂∂+∂∂=∂∂→y zx z ABz ……………………………(4分)3-=∂∂-=∂∂→yzACz …………….……………..(5分) 解得：1=∂∂x z ， 3=∂∂yz ……………………………….(7分) }2,1{--=→AO ， }52,51{0--=→AO ………………………………. .(8分)575251-=∂∂-∂∂-=∂∂→y z x z AOz ………………………….(9分) 五.g x f yf x z '+'+'=∂∂2121 ……………………………(3分) g x g f y f y f y f xz ''+'+''+''+''+''=∂∂2222112112242)1(11 g x g f yf y f ''+'+''+''+''=222212114212 ………………………………… (6分) g xy yx f y f y y x f y x z ''+-⋅''+'--⋅''=∂∂∂411222222122 g xy f y f y x f y x ''+'-''-''-=41223122 ………………………….(9分)六. 由228y x z --=和x z 2=消去z 得D 的边界9)1(22=++y x …………… (2分) ⎰⎰---=Ddxdy x y x V )28(22 ………………………… (4分)令 θρc o s 1+-=x ， θρs i n =y ………………………... (5分) ⎰⎰-=3220)9(ρρρθπd d V …………………….... (7分)ππ2814812=⋅= …………………….... (9分)七. ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz………………………………(3分) 将点)2,1,1(-代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=062122dx dzdx dy y dx dy dx dz 解得： 1413=dx dy ， 71=dx dz ……………………… (6分) 切向量 }71,1413,1{=s ………………………… (7分)切线 22131141-=+=-z y x …………………….. (9分) 八.设),,(z y x 是曲面上的任一点，此点处法向量为},,{313131---=z y x n.......................................... (2分)切平面0)(1)(1)(1333=-+-+-z Z zy Y yx X x.............................. (4分)即4111323232333=++=++z y x Z zY yX x………………… (6分)三截距为 34x a =，34y b =，34z c = ............................ (8分) 6444)(423232322222=⨯=++=++z y x c b a ……………… (9分)九. 将D 分成两块：π≤+y x D :1，π≥+y x D :2 ⎰⎰+=Ddxdy yx I 2cos 22........................................... (1分) ⎰⎰⎰⎰+-+=212cos 22cos2D D dxdy yx dxdy y x ........................ (3分) ⎰⎰⎰⎰--+-+=x x yydy y x dx dx y x dy πππππ2cos 22cos 222....................... (7分)⎰⎰---=πππ220)1(sin 22)sin 1(22dx x dy y ....................... (8分))2(22-=π ....................... (9分)十. V 由曲面221y x z --=和)(322y x z +=围成 ....................... (2分) ⎰⎰⎰+=106260201s i n dr r r d d I ϕϕθππ....................... (6分) ⎰⎰+=1062601s i n 2dr r r d πϕϕπ ....................... (7分))231(62-=π ....................... (9分)十一. 设),(y x C ，ABC ∆的面积为S ，则 |24|21--=y x S ....................... (2分) 令 2)24(),(--=y x y x f约束条件 122=-y x ....................... (4分) 设 )1()24(),(222--+--=y x y x y x F λ ....................... (5分) 令 02)24(8),(=+--='x y x y x F x λ02)24(2),(=----='y y x y x F y λ ....................... (7分) 解得 151±=y ，154±=x （负值舍去） ...................... (8分)由实际问题，最小值存在，故当154=x ，151=y 时，ABC ∆的面积最小，点)151,154(C 即为所求。
2010-2011学年度第二学期包集中学期中考试高二数学卷
包集中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二（理科）数学卷一、选择题（10×5=50）1.下列语句是命题的为 （ ） A. x-1=0 B. 他还年青C. 20-5×3=10D. 在20020年前,将有人登上为火星 2．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若命题p 的否命题是命题q ，命题q 的逆命题是命题r ，则r 是p 的( ) A. 逆否命题 B.否命题 C. 逆命题 D.原命题4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ ） A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)5．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．x y 23±=B ．x y 32±=C ．x y 49±=6. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支7．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．215D ．10 8.已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x -=平行,则x,y 的值分别是（ ） A. 6和10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和-109.已知ABCD 是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D 的坐标为（ ）A. (1,1,-7)B. (5,13,-3)C. (-3,1,5)D. (5,3,1) 10.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中， 若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为( ) A. (1,2,1)- B (1,2,1)-- C.(1,2,1)-- D. (1,2,1)--二、填空题（5×5=25）11.抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿12.以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ．13. 若曲线1122=++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 14.已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么b a ⋅= 。
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一、填空题（每小题4分，共24分）
1设平面点集22{(,)(2)(2)2}{(,)(01)}E x y x y x y y x x =-+-≤=≤≤ ，则E 的
内核o E = ，E 的导集E '= .
2函数列()()n f x n =∈N 在R 上的极限函数是 ，{()}n f x 在R 上 收敛(填“一致”或“不一致”).
3 幂级数1
21(1)2n
n
n n x ∞
=-+∑
的收敛域是 . 4 函数2()arctan()f x x =的Maclaurin 级数是：
.
5(电院) 设函数2
(),01f x x x =≤<，其Fourier 正弦级数为1
()sin n n S x b n x ∞
==π∑，
其中1
2()sin d (n b f x n x x n =π∈⎰)N , 则12S ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
.
5(管院) 设α为正实数，若级数1
!
n n
n n n
α∞
=∑
与级数
1
n ∞
=同时收敛，则α
的取值范围为 .
6 设二元函数0,(,),y f x y x y ⎧=⎨
⎩当为无理数
当为有理数
，则(,)f x y 在点(0,0)处连续性情况
是 , 在点00(0,)(0)y y ≠处连续性情况是 (填“连续”或“不连续”).
二、选择题（每小题3分，共15分）
1 设函数()n u x 在[,]a b 上定义，函数项级数1
()n n u x ∞
=∑在(,)a b 内一致收敛, 则数项
级数1
1
(),()n n n n u a u b ∞∞==∑∑均收敛是1
()n n u x ∞
=∑在[,]a b 上一致收敛的 【 】
(A) 充要条件. (B) 充分条件.
(C) 必要条件. (D) 既不是充分也不是必要条件.
2 设幂级数1
(1)n n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则该级数在2x =处 【 】
(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛. (C) 发散. (D) 敛散性不能确定.
3 设二元函数22
1sin ,0(,)0,0xy y x x y x f x y x ⎧+≠⎪+=⎨
⎪=⎩当时当时，则在(0,0)处(,)f x y 的 (A) 二重极限存在，两个累次极限中至少有一个存在. (B) 二重极限存在，但两个累次极限都不存在.
(C) 二重极限不存在，但两个累次极限中至少有一个存在.
(D) 二重极限不存在，两个累次极限也都不存在. 【 】
4 (电院)考虑下列三角级数，它们是否能分别成为周期为2π可积函数的Fourier
级数
(Ⅰ) 2sin ln n nx n ∞
=∑, (Ⅱ
) 1
n ∞
=.
(A) Ⅰ可以，Ⅱ不可以. (B) Ⅰ不可以，Ⅱ可以.
(C) Ⅰ和Ⅱ都可以. (D) Ⅰ和Ⅱ都不可以. 【 】 4 (管院)考虑以下断语
(Ⅰ) 若存在{}n x D ⊂，使lim ()0n n n u x →∞
≠，则1
()n n u x ∞
=∑必在D 上不一致收敛；
(Ⅱ) 若函数项级数1
()n n u x ∞=∑的和函数()S x 在D 上不连续，则1
()n n u x ∞
=∑必在D 上不
一致收敛.
(A) Ⅰ和Ⅱ都不正确. (B) Ⅰ和Ⅱ都正确.
(C) Ⅰ不正确，Ⅱ正确. (D) Ⅰ正确，Ⅱ不正确. 【 】
5 设幂级数0
n n n a x ∞
=∑收敛半径为r ，且它在x r =处收敛. 下列断语中正确断语的
个数是
(Ⅰ) 0
n
n n a x
∞
=∑必在[,]r r -上一致收敛； (Ⅱ)
0n
n n a x
∞
=∑必在[0,]r 上一致收敛；
(Ⅲ)
11n n n na x ∞
-=∑必在[0,]r 上一致收敛； (Ⅳ)
1
01
n n n a x n ∞
+=+∑必在[0,]r 上一致收敛. (A) 0个. (B) 1个. (C) 2个. (D) 3个. 【 】
三、判断下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性(第1小题6分，第2小题8分)
(1) 3322
1
arctan()
,n n x x n x ∞=+∈+∑R ；
(2) 1n x ∞
=∈R
四 (11分) 求幂级数2
0(1)n
n n n x ∞
=++∑的和函数，并计算级数20
1
(1)2n
n
n n n ∞
=++-∑的和.
五 (电院，12分) 设函数(),[0,2)2
x
f x x π-=
∈π. (1) 在[0,2]π上将()f x 展开成周期为2π的Fourier 级数；
(2) 证明2221cos 1,[0,2]624n nx x x x n ∞
=ππ=-+∈π∑ (已知2
2116n n
∞
=π=
∑)； (3) 求级数41
1
n n ∞
=∑
之和. 五 (管院，12分) 设函数22
()23
x f x x x +=
--.
(1) 将函数()f x 在02x =处展开为幂级数； (2) 求(100)(2)f .
六 (14分) 设有函数项级数2e ln n x
n n n
-∞
=∑,
(1) 证明该函数项级数在(0,)+∞上收敛，但不一致收敛；
(2) 记2
e ()ln n x
n f x n n -∞
==∑. 证明(0,)f C ∈+∞.
七 (10分) 设()f x 在R 上有连续的导数，记
()()e (e )()(n n n f x f x f x n -=+-∈)N . (1) 求函数列{()}n f x 在R 上的极限函数；
(2) 对[,]a b ∀⊂R ，证明：函数列{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛.。