定积分的证明题44题word文档良心出品
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题目1证明题 容易
d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。
dx 'a
题目2证明题 容易
题目3证明题 一般
b
设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx
= 0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。
题目4证明题 一般
设f(X)= f(X +a).
na
证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。
利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n
xdx = 0。 」0
1 1
证明：x m (1-x)n dx = Lx n (1 —x)m dx 。
题目6证明题 一般
设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,
x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且
1 2
题目7证明题 一般
设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0. 证明：4a|f(x)|dx f(x)dx —(b —a)f(a) f(X)。 (a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在 £ b 1 b 使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。 ■* 2 题目9证明题一般 丑丑 证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。 题目10证明题一般 1/ dx 兀 求证:一＜〔＜-。 20 2,3 6 2V4 —X +x 6 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 题目12证明题一般 若函数f(x)在［0,1］上连续， a 3 2 1 a2 (a A O)。 证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续， b 2 b 2 b 2 证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。 a a a 题目14证明题一般 设f (x)在［0,1］上连续， 丑丑 证明：『f (sin2®)cos® d W = J； f (sin2W)(cos® +sin 申)d W 。 题目15证明题一般 设f(X)在[a,b]上可导,且f(X) f(x)dx 题目16证明题一般 设f(x)在[Q2a],(a >0)上连续， 2a a 证明：f(x)dx= .0[f(x) + f(2a—x)]dx。 题目17证明题一般 设k为正整数，证明: (1H 兀cos2 kxdx =兀 (2H^si n 2kxdx =兀 ，-n; 题目18证明题一般 设f(x)在［0,1］上有一阶连续导数•且f(1) - f(0) =1. 2 1 试证：［［f '(X)］ dx 3。 题目19证明题一般 若m为正整数， 迟1 fcos E xdx。证明：『cos m x sin m xdx =班 若函数f(x)在区间［a,b］上连续， b b 贝y L f(x)dx=(b-a) Jaf［a+(b-a)x］dx。 题目21证明题一般 设函数f(x)在［0,1］上连续， 1 2兀 证明：『f( cosx|)dx =；)0 f (cosx )dx。 题目22证明题一般 x 若函数f(x)在R连续，且f(x)=l' f(t)dt,则f(x)三0。 ・a 设f(x)是以；I 为周期的连续函数， 2 吓 -TT- 证明：『(sinx + x)f (x)dx =+ (x)dx o 题目24证明题 一般 设f (x)在[0,1]上连续且单调递减, 试证明:对于任何q€[0,1],都有不等式 q 1 、 Jo f (x)dx >q L f (x)dx 成立。 题目25证明题 一般 设f(X)在［a,b ］上单调增加且f "(X)>0. 、 b 证明：(b-a) f (a) C J a f(x)dx v(b-a) f(a)+ f(b) --------- o 设函数f(x)在［a, b］上连续且单调递增。 1 X F(x)［ f (t)dt ,(a c x X - a 'a F(a) = f(a), 证明：F(x)在［a,b］上单调增.。 题目27证明题一般 设f (X)在［a,b］上二阶可导且f 7x) c O, b a + b 证明：a f (x)dx <(b -a) f (^^)。 题目28证明题一般 设f (x)在［a,b］上连续，在［a,b］可导，且f'(x)vO,证明函数 F(X)=广丄％ 'a X -a 在(a,b)内满足 F '(X)<0。