定积分的证明题44题word文档良心出品
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题目1证明题 容易
d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。 dx 'a
题目2证明题
容易
题目3证明题 一般
b
设函数 f(x)在[a,b ]内可导,且 f(a)=0,[ f(x)dx =
0 证明:在[a,b ]内至少存在一点E 使f(E )=0。
题目4证明题
一般
设f(X)= f(X +a).
na
证明:当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。
利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n
xdx = 0。 」0
1 1
证明:x m
(1-x)n
dx = Lx n
(1 —x)m
dx 。
题目6证明题 一般
设f (x)在[a,b ]上有定义,且对[a,b ]上任意两点x, y,
x — y |.则f (x)在[a,b ]上可积,且
1 2
题目7证明题 一般
设f(X)在[a,b ]上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f
(b) =0. 证明:4a|f(x)|dx f(x)dx —(b —a)f(a) (b —a)。 f(X)。 (a,b)内至少存在一点匕,设f (x)在[a,b]上正值,连续,则在 £ b 1 b 使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。 ■* 2 题目9证明题一般 丑丑 证明:0<FsinXxdxc『sin n xdx。 题目10证明题一般 1/ dx 兀 求证:一<〔<-。 20 2,3 6 2V4 —X +x 6 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续,且在(a,b)内任一闭区间上积分为零,证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 题目12证明题一般 若函数f(x)在[0,1]上连续, a 3 2 1 a2 (a A O)。 证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续, b 2 b 2 b 2 证明:[f f(x)g(x)dx]< f f (x)dx 订g (x)dx。 a a a 题目14证明题一般 设f (x)在[0,1]上连续, 丑丑 证明:『f (sin2?)cos? d W = J; f (sin2W)(cos? +sin 申)d W 。 题目15证明题一般 设f(X)在[a,b]上可导,且f(X) f(x)dx 题目16证明题一般 设f(x)在[Q2a],(a >0)上连续, 2a a 证明:f(x)dx= .0[f(x) + f(2a—x)]dx。 题目17证明题一般 设k为正整数,证明: (1H 兀cos2 kxdx =兀 (2H^si n 2kxdx =兀 ,-n; 题目18证明题一般 设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数?且f(1) - f(0) =1. 2 1 试证:[[f '(X)] dx 3。 题目19证明题一般 若m为正整数, 迟1 fcos E xdx。证明:『cos m x sin m xdx =班 若函数f(x)在区间[a,b]上连续, b b 贝y L f(x)dx=(b-a) Jaf[a+(b-a)x]dx。 题目21证明题一般 设函数f(x)在[0,1]上连续, 1 2兀 证明:『f( cosx|)dx =;)0 f (cosx )dx。 题目22证明题一般 x 若函数f(x)在R连续,且f(x)=l' f(t)dt,则f(x)三0。 ?a 设f(x)是以;I 为周期的连续函数, 2 吓 -TT- 证明:『(sinx + x)f (x)dx =+ (x)dx o 题目24证明题 一般 设f (x)在[0,1]上连续且单调递减, 试证明:对于任何q€[0,1],都有不等式 q 1 、 Jo f (x)dx >q L f (x)dx 成立。 题目25证明题 一般 设f(X)在[a,b ]上单调增加且f "(X)>0. 、 b 证明:(b-a) f (a) C J a f(x)dx v(b-a) f(a)+ f(b) --------- o 设函数f(x)在[a, b]上连续且单调递增。 1 X F(x)[ f (t)dt ,(a c x X - a 'a F(a) = f(a), 证明:F(x)在[a,b]上单调增.。 题目27证明题一般 设f (X)在[a,b]上二阶可导且f 7x) c O, b a + b 证明:a f (x)dx <(b -a) f (^^)。 题目28证明题一般 设f (x)在[a,b]上连续,在[a,b]可导,且f'(x)vO,证明函数 F(X)=广丄% 'a X -a 在(a,b)内满足 F '(X)<0。 试证:如果f(x)在[a,b]上连续,且对于一切X忘[a,b], f(x)>0 ” b 同时至少存在一点?引a, b],使f(?);>0,则f f(x)dx;>0。 *■ a 题目30证明题一般 b c _a 试证 f f (c —x)dx = f f (x)dx。 ■a?c_b 题目31证明题一般 设函数f(x)在[0,1]上可微,且满足等式: 1 f(1)—2fxf(x)dx =0 试证在(0,1)内至少存在一点?,使f佗)=-響 J 设f(x)在[a,b]上连续,并且对于每一个在[a,b] b 上的连续函数g(x).都有[g(x) f (x)dx = 0 证明:f(x)=O (a 题目33证明题难 b — a b ' 2 则J a|f(x)「(x)|dx J a[ f (x)] 设函数f(x)在[a,b]上有连续导数f'(x,且f(a) = O, 一 . b J a 题目34证明题难 设f(x)在[a,b]上二阶连续可微,其中acOcb,则在该区间上必存在一个E,使 b 1 2 2 f(x)dx=bf(b)—af(a)—2![bf(b)—af(a)] a +?)*)。 题目35证明题难 若f(x)关于X =T对称,且acTcb, b b 2T』 贝y J a f (x)dx =2 J T f (x)dx + J a f (x)dx。 2 x . 1 ~A 4 dx= L 1+x 242 题目37证明题难 证明奇函数的一切原函 偶函数的原函数中有一 数皆为偶函数, 为奇函数。 X X 4 设f(X)在[a,b]上连续,且f(x)〉O,又F(x) = Ja f (t)dt + Jb〒話dt 证明:F(X)= 0在[a, b]内有且仅有一个实根。 题目39证明题难 a a 2 1 a a 2 1 证明:当a A1 时,有f f(X2+-2) — dx= f f(x+—)—dx。 1X X 1X X 题目41证明题 难 证明:若 f f 2 (x )dx =0则f (X )=0 a 题目40证明题 难 f (X )在[0,+=c ]连续,且 lim f(X)= A, 则:lim X T^X -r f (t)dt = A 。 「0 \ / X 忘[a,b ]。