定积分的证明题44题word文档良心出品

题目1证明题 容易

d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。 dx 'a

题目2证明题

容易

题目3证明题 一般

b

设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx =

0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。

题目4证明题

一般

设f(X)= f(X +a).

na

证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。

利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n

xdx = 0。 」0

1 1

证明：x m

(1-x)n

dx = Lx n

(1 —x)m

dx 。

题目6证明题 一般

设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,

x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且

1 2

题目7证明题 一般

设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f

(b) =0. 证明：4a|f(x)|dx

f(x)dx —(b —a)f(a)

f(X)。

(a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在

￡ b 1 b

使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。

■* 2

题目9证明题一般

丑丑

证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。

题目10证明题一般

1/ dx 兀

求证:一＜〔＜-。

20 2,3 6

2V4 —X +x 6

题目11证明题一般

设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

题目12证明题一般

若函数f(x)在［0,1］上连续，

a 3 2 1 a2

(a A O)。

证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx

题目13证明题一般

设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，

b 2 b 2 b 2

证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。

a a a

题目14证明题一般

设f (x)在［0,1］上连续，

丑丑

证明：『f (sin2?)cos? d W = J； f (sin2W)(cos? +sin

申)d W 。

题目15证明题一般

设f(X)在[a,b]上可导,且f(X)

f(x)dx

题目16证明题一般

设f(x)在[Q2a],(a >0)上连续，

2a a

证明：f(x)dx= .0[f(x) + f(2a—x)]dx。

题目17证明题一般

设k为正整数，证明:

(1H 兀cos2 kxdx =兀

(2H^si n 2kxdx =兀

，-n;

题目18证明题一般

设f(x)在［0,1］上有一阶连续导数?且f(1) - f(0) =1.

2

1

试证：［［f '(X)］ dx 3。

题目19证明题一般

若m为正整数，

迟1

fcos E xdx。证明：『cos m x sin m xdx =班

若函数f(x)在区间［a,b］上连续，

b b

贝y L f(x)dx=(b-a) Jaf［a+(b-a)x］dx。

题目21证明题一般

设函数f(x)在［0,1］上连续，

1 2兀

证明：『f(

cosx|)dx =；)0 f (cosx )dx。

题目22证明题一般

x

若函数f(x)在R连续，且f(x)=l' f(t)dt,则f(x)三0。

?a

设f(x)是以；I 为周期的连续函数，

2

吓

-TT-

证明：『(sinx + x)f (x)dx =+ (x)dx o

题目24证明题 一般

设f (x)在[0,1]上连续且单调递减, 试证明:对于任何q€[0,1],都有不等式 q 1 、

Jo f (x)dx >q L f (x)dx 成立。

题目25证明题 一般

设f(X)在［a,b ］上单调增加且f "(X)>0.

、 b

证明：(b-a) f (a) C J a f(x)dx v(b-a)

f(a)+ f(b) --------- o

设函数f(x)在［a, b］上连续且单调递增。

1 X

F(x)［ f (t)dt ,(a c x

X - a 'a

F(a) = f(a), 证明：F(x)在［a,b］上单调增.。

题目27证明题一般

设f (X)在［a,b］上二阶可导且f 7x) c O, b a + b

证明：a f (x)dx <(b -a) f (^^)。

题目28证明题一般

设f (x)在［a,b］上连续，在［a,b］可导，且f'(x)vO,证明函数

F(X)=广丄％

'a X -a

在(a,b)内满足 F '(X)<0。

试证：如果f(x)在［a,b］上连续，且对于一切X忘［a,b］,

f(x)＞0

” b

同时至少存在一点?引a, b］，使f(?)；＞0,则f f(x)dx；＞0。

*■ a

题目30证明题一般

b c _a

试证 f f (c —x)dx = f f (x)dx。

■a?c_b

题目31证明题一般

设函数f(x)在［0,1］上可微，且满足等式:

1

f(1)—2fxf(x)dx =0

试证在(0,1)内至少存在一点?，使f佗)=-響

J

设f(x)在［a,b］上连续，并且对于每一个在［a,b］ b

上的连续函数g(x).都有［g(x) f (x)dx = 0 证明：f(x)=O

(a

题目33证明题难

b — a b ' 2

则J a|f(x)「(x)|dx J a[ f (x)]

设函数f(x)在［a,b］上有连续导数f'(x，且f(a) = O,

一 . b

J a

题目34证明题难

设f(x)在[a,b]上二阶连续可微，其中acOcb，则在该区间上必存在一个E，使

b 1

2 2

f(x)dx=bf(b)—af(a)—2![bf(b)—af(a)]

a

+?)*)。

题目35证明题难

若f(x)关于X =T对称，且acTcb,

b b 2T』

贝y J a f (x)dx =2 J T f (x)dx + J a f (x)dx。

2

x .

1 ~A 4 dx= L

1+x 242

题目37证明题难

证明奇函数的一切原函

偶函数的原函数中有一

数皆为偶函数,

为奇函数。

X X 4 设f（X）在［a,b］上连续，且f（x）〉O,又F（x） = Ja f

（t）dt + Jb〒話dt

证明：F（X）= 0在［a, b］内有且仅有一个实根。

题目39证明题难

a a 2 1 a

a

2 1

证明:当a A1 时，有f f(X2+-2) — dx= f f(x+—)—dx。

1X X 1X X

题目41证明题 难

证明：若 f f 2

（x ）dx =0则f （X ）=0

a

题目40证明题

难

f （X ）在［0,+=c ］连续，且

lim f(X)= A,

则：lim X T^X -r f (t)dt = A 。

「0 \ /

X 忘［a,b ］。