未解决数学难题

未解决的数学难题

一数学基础问题。

1、数是什么？

2、四则运算是什么？

3、加法和乘法为什么符合交换律，结合律，分配律？

4、几何图形是什么？

二几个未解的题。

1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?

更一般地：

当k为奇数时求

(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?

背景：

欧拉求出：

(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6

并且当k为偶数时的表达式。

2、e+π的超越性

背景

此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。

已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。

3、素数问题。

证明：

ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …

(s属于复数域)

所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。

背景：

此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。

美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。

希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。

引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？

4、存在奇完全数吗？

背景：

所谓完全数，就是等于其因子的和的数。

前三个完全数是：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

目前已知的32个完全数全部是偶数。

1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：

n>10^50

5、除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？

背景：

这是卡塔兰猜想（1842）。

1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。

1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。

但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。

所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。

6、任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？

背景：

这角古猜想（1930）。

人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。

三希尔伯特23问题里尚未解决的问题。

1、问题1连续统假设。

全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。

背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。

1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。

所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。

2、问题2 算术公理相容性。

背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。

3、问题7 某些数的无理性和超越性。

见上面二的 2

5、问题 8 素数问题。

见上面二的 3

6、问题 11 系数为任意代数数的二次型。

背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。

7、问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。

背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。

8、问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。

背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。

9、问题15 舒伯特计数演算的严格基础。

背景：代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。

10、问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。

要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。

11、问题 18 用全等多面体来构造空间。

无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。

12、问题 20 一般边值问题。

偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。

13、问题 23 变分法的进一步发展。

四千禧七大难题

2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1、黎曼猜想。

见二的 3

透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。

这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数

学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、

椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap

Hypothesis)

西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由

数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子

物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。

杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们

碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果

是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷

的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定

该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理

学家是相信有质

量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)

随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。

P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已

知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下

就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个

算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来

的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是

Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。