未解决数学难题
世界七大数学难题
世界七大数学难题引言数学作为一门科学，从古至今一直在不断发展和演进。
在数学的发展过程中，一些问题由于其复杂性和困难度而成为了数学界的七大难题。
这些难题涵盖了各个数学领域，迄今为止尚未得到解决。
本文将为您介绍世界七大数学难题的背景、特点及相关研究进展。
一、黎曼猜想黎曼猜想是数论中最著名的未解难题之一。
其由德国数学家黎曼于1859年提出，猜想黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于直线Re(s) = 1/2上。
这个问题的解决涉及一些复杂的数学分析和复变函数理论。
在过去的几十年里，许多数学家致力于黎曼猜想的研究。
虽然已经证明了无穷多个符合猜想的零点，但仍然没有找到一个通用的方法来证明所有零点都满足该猜想。
目前，黎曼猜想仍然是数学界的一个重大挑战。
二、布朗花园问题布朗花园问题最早由英国的布朗(William Feller)提出。
这个问题涉及到随机运动中的连续时间和连续空间。
具体来说，问题是如何计算一颗粒在给定时间内从原点出发，经过第n步后回到原点的概率。
布朗花园问题在过去的几十年里得到了广泛的研究和应用。
该问题涉及到概率论、随机过程和分析等数学领域。
虽然已经有了一些关于布朗花园问题的解决方法，但仍然没有一个统一的理论来解决所有情况。
三、P = NP问题P = NP问题是理论计算机科学中的一个重要问题。
简单来说，如果对于给定问题的答案可以在多项式时间内验证，是否存在一种高效算法能够在多项式时间内找到问题的解。
这个问题的重要性在于，如果能够证明P = NP，那么我们将能够在多项式时间内找到很多目前被认为难以解决的问题。
然而，到目前为止，没有证据证明P = NP，因此这个问题一直被视为数学和计算机科学领域的重大难题。
四、费马大定理费马大定理是数学中最著名的问题之一，也是公认的最古老的数学难题之一。
费马大定理由法国数学家费马于1637年提出，在这个问题中，费马提出了一个等式：xⁿ + yⁿ = zⁿ，其中x、y、z为正整数，n为大于2的正整数。
十大无解数学题世界最难的10道数学题
十大无解数学题世界最难的10道数学题霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。
由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，属于世界十大数学难题之一。
庞加莱猜想庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。
黎曼假说概述有些数具有特殊的属性，它们不能被表示为两个较小的数字的乘积，如2，3，5，7，等等。
这样的数称为素数（或质数），在纯数学和应用数学领域，它们发挥了重要的作用。
所有的自然数中的素数的分布并不遵循任何规律。
然而，德国数学家黎曼（1826年—1866年）观察到，素数的频率与一个复杂的函数密切相关。
杨米尔斯的存在性和质量缺口杨米尔斯的存在性和质量缺口是世界十大数学难题之一，问题起源于物理学中的杨·米尔斯理论。
该问题的正式表述是：证明对任何紧的、单的规范群，四维欧几里得空间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解。
该问题的解决将阐明物理学家尚未完全理解的自然界的基本方面。
纳维—斯托克斯方程建立了流体的粒子动量的改变率（加速度）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力（类似于摩擦力）以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维—斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡，这在流体力学中有十分重要的意义。
四色猜想四色猜想的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
十大无解数学题有哪些
十大无解数学题有哪些十大难题困扰了许多数学家和数学学者很多年，目前由于数学的计算技术不断提升，这十道题也逐渐能够得以解决。
下面和小编一起来看十大无解数学题有哪些，希望有所帮助！一、假钞问题一个人拿着100元假钞向老板买一件定价15元，进货12元的'商品，如果老板收了假钞，请问老板亏了多少钱。
二、母猪过河问题有三对猪母子要过河，其中有一对母子都会划船，有一对是母猪会孩子不会，最后一对是孩子会母猪不会，如果出现母猪会孩子不会这种情况出现时，母猪会吃掉孩子，请问应该怎样搭配过河。
三、找次品问题现在有26个乒乓球样品，其中有一个是次品，可以通过比较重量的方式将乒乓球次品找出来，乒乓球次品的质量较轻，请问要在天平上最少称几次。
四、填空问题数学家可以通过填空问题，将原本不成立的等式变得成立，比如一个月加一个季度等于四个月，这就实现了1+1=4，请问可以用怎样的单位代换，使得2+5=1。
五、退钱问题有三个人各出了十元，凑够30元住旅馆，可第二天老板退了五块钱，三个人要将五块钱平分，其中分钱的人由于贪心自己独占了两块，然后准备每个人分一块，分到最后还剩了一块，怎么办。
六、圆周问题现在有两个圆，大圆的半径为a，小圆半径为b，a＞b，如果小圆围绕大圆内部半径旋转一周的话，小圆自转了几周。
七、喝汽水问题现在有一个非常优惠的喝汽水活动，一块钱买一瓶汽水，喝完后两个空瓶还可以再替换一瓶汽水，请问20块钱能够喝几瓶汽水？八、年龄问题经理有三个女儿，三个女儿年龄之和为13岁，现在有下属猜测经理女儿的年龄，经理给出提示，只有一个女儿头发为黑色，请问经理三个女儿分别为多大。
九、考试成绩问题小明在一次考试中，数学和语文总共为197分，语文和英语总共为199分，数学和英语总分为196分，请问小明总分为多少各科成绩为多少？十、切饼问题现在小明家有八个人想要共分一张饼，妈妈要求他用一刀将这张饼切成八个部分，请问小明应该怎样切这张饼？。
未解决的数学难题
维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的
三维闭流形与三维球面同胚。
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。
P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已
知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下
Hypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由
数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子
物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。
杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们
碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果
明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。
解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱
流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥
地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维
尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两
推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。
自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托
世界数学十大未解难题
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题摘要：一、前言二、费尔马大定理三、四色问题四、哥德巴赫猜想五、庞加莱猜想六、黎曼假设七、杨-米尔斯存在性和质量缺口八、纳维叶斯托克斯方程的存在性与光滑性九、贝赫和斯维讷通戴尔猜想十、总结正文：数学是科学中最基本、也是最深入的一个领域，其中存在着许多未解决的难题。
这篇文章将介绍世界上十大数学难题。
一、前言数学是科学中最基本、也是最深入的一个领域，其中存在着许多未解决的难题。
这些难题涉及到数学的各个分支，包括几何、代数、数论、微积分等等。
本文将介绍世界上十大数学难题。
二、费尔马大定理费尔马大定理是数学领域中最著名的未解决问题之一。
它是由法国数学家皮埃尔·德·费尔马在17世纪提出的，他声称对于任意大于2的整数n，不存在三个正整数x、y、z，使得x^n + y^n = z^n 成立。
费尔马大定理的证明历经了几百年的努力，最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯于1994年成功证明。
三、四色问题四色问题是一个关于平面图着色的数学问题。
它问的是：是否存在一种方法，能够用四种或更少的颜色为任何平面图着色，使得相邻的顶点颜色不同？四色问题的解决经历了数十年的努力，最终由美国数学家凯尔·普兰克和挪威数学家奥拉夫·海姆达尔于1976年成功证明。
四、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论领域中的一个著名问题。
它由哥德巴赫于1742年提出，他猜测每个大于2的偶数都可以表示成三个质数的和。
尽管哥德巴赫猜想在数学家中引起了广泛的讨论，但它至今仍未得到证明。
五、庞加莱猜想庞加莱猜想是拓扑学领域中的一个重要问题。
它由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出，他猜测每个单连通的三维流形都可以通过一次连续的变形，变成一个圆柱。
庞加莱猜想在数学家中引起了长达一个世纪的关注，最终由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年成功证明。
六、黎曼假设黎曼假设是数论领域中的一个重要问题。
世界数学七大难题(未解决)
世界数学七大难题(未解决)NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。
这七个问题都被悬赏一百万美元。
1.NP完全问题例：在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
宴会的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现宴会的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。
既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P?的猜想。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。
2.霍奇猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
3.庞加莱猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
世界十大数学难题
世界十大数学难题这十大数学难题被认为是历史上最有挑战性、最有价值的数学拙计，迄今为止尚未被解决。
今天，我们将讨论它们中的几个。
1.达哥拉斯猜想毕达哥拉斯猜想是由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前300年提出的一个数论问题，最初被命名为“最大公约数问题”。
它挑战着数学家们去证明所有质数之间是否存在着某种关系。
毕达哥拉斯猜想给出的答案否定了这种关系，据称至今仍未能解决。
2.尔登和温斯顿猜想奥尔登和温斯顿猜想是由两位英国数学家，威廉奥尔登和查尔斯温斯顿，在1823年提出的猜想。
它提出了一种算法，可用来检测任何一个整数是否是质数，并且它没有被解决过。
该猜想的解决可能会帮助计算机科学家在编码安全的时候，检测一个可能的质数。
3.曼猜想黎曼猜想是由德国数学家克劳德黎曼在19公元前1900年提出的一个问题，它挑战了数学家们的智慧。
该猜想详细地描述了自然数的结构，以及这些数之间是否存在着任何规律性。
至今仍未被解决，若能证明其有归纳性就将可以解决许多数学问题。
4.摩拉比猜想汉摩拉比猜想是由保罗汉摩拉比在1859年提出的，该猜想指出，如果一个质数可以表示为两个质数之和，则可以称这两个质数为汉摩拉比素数。
该猜想触及到许多数论主题，尤其是研究质数的分布情况，但是直到今天仍未能确定它的正确性，所以仍然是个开放的问题。
5.特利猜想坎特利猜想是由威廉坎特利在1637年提出的，它的努力是要证明所有的奇数都可以由三个质数之和来表示，而且在金融市场中它可能会产生一些重要的影响。
即使在现代，这个猜想也不是非常容易解决，尽管已经有人证明它是正确的，但仍然存在着许多疑问。
6.号猜想称号猜想是由荷兰数学家尤多称号于1772年提出的，称号猜想证明了一些奇怪的数学结论，例如，乘积的某些数字可以表示成两个整数的平方和。
该猜想已被证明是错误的，但它也给数学界带来了许多有趣的探索，并激发了许多有价值的论文。
7.斯健身猜想高斯健身猜想是由德国数学家克劳德高斯在1832年提出的，它主要关注唯一剩余定理(CRT)中的数学科学研究，该猜想指出，某些分解的整数不具有完全的唯一解决方案。
七大数学难题
七大数学难题数学在我们的生活中发挥着重要作用，而它则源于古代发现的各种难题，这些难题闯入了无数科学家的视线，将他们深深吸引。
以下是七大数学难题：一、洛必达难题洛必达难题是希腊数学家洛必达在其著作《命题集》中提出的，指的是证明圆周率π的有理数近似值不存在。
特别是1761年，哥廷根表明了证明洛必达的难题是不能被数学证明的。
二、哥德巴赫难题哥德巴赫猜想，又称“大数学家凯斯哥德巴赫问题”，是第一个未解决的数论难题，由凯斯哥德巴赫于1742年提出。
他推断，自然数就可以被拆分为两个满足一定条件的质数之和，但就目前而言，这种勾股根数和仍未被证明，要不然就会产生巨大的影响。
三、四色定理四色定理是一个关于地图收尾问题的定理，由英国数学家卡罗尔弗里德曼于1852年发表的。
它的定理状态是：当一个区域分割成四个以上的部分，这些部分之间边界颜色不能用一个以下的颜色表示。
有趣的是，尽管弗里德曼发表它在1852年，但证明它直到1879年才完成，这也是第一个未被证明的数学定理。
四、毕达哥拉斯三角形毕达哥拉斯三角形是希腊数学家毕达哥拉斯发现的，它是一种古老又有趣的数学模型，由一系列的顶点、边和三角形组成，它曾令无数科学家着迷。
它的难题是毕达哥拉斯的三角形能够分割成多少个三角形。
虽然这个问题在毕达哥拉斯的时代就被提出，但直到上个世纪才有一位普林斯顿大学数学教授解决了这个问题，最终确定毕达哥拉斯三角形有1780个三角形。
五、哈密顿迷宫问题哈密顿迷宫问题，有时也称为“四连桥问题”，是一个有趣的数学游戏，由英国物理学家哈密顿于1859年提出。
它的定义是指，是否存在一个有效路径，使得每个桥上至少走一次，每个迷宫入口只走一次，之后即可回到出发点。
六、傅立叶猜想傅立叶猜想是一个未解决的猜想，由拉丁美洲数学家和物理学家傅立叶于1811年提出。
它的定义是指，在数学上证明任意一个正整数，可以表示为一组形如两个整数的和，而这组整数的乘积可以用素数的乘积表示。
世界数学十大未解难题
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
世界三大未解数学难题
世界三大未解数学难题
世界三大未解数学难题如下。
1.第一题：三等分任意角。
用一把没刻度的尺子和圆规来三等分任意角。
2.第二题：化圆为方。
把一个圆“兑换”成相同大小的正方形。
3.第三题：尺规作图。
用一把没有刻度的尺子和一把圆规作出漂亮的对称图形。
世界近代三大数学难题之一四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯．格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
这个结论能不能从数学上加以严格证明呢。
他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有
进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径。
于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
10大仍未解开的数学难题
10大仍未解开的数学难题几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。
1.科拉兹猜想科拉兹猜想科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
澳大利亚数学家陶哲轩本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。
科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。
目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤；数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。
但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
2.哥德巴赫猜想将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。
哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。
它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。
例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。
也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。
中国数学家陈景润哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。
目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。
他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。
本世纪未解的数学难题
本世纪未解的数学难题数学的前沿与一般人的印象大不相同，这是由于通过中学教育学的数学大都是300年之前的东西，而物理学、化学、生物学的内容则是近300年、300年、100年、50年甚至最近的成果。
可是在这300年中数学已发展成为极为庞大的领域，有十几个二级学科，一百多个三级学科以及成千上万的分支。
每一个学科和分支都有大量的象哥德巴赫猜想那样的未解决的难题。
明确提出，写在文献中的数伦难题上万个，群论难题上千个，各学科的重要猜想也不下几百个。
这些难题当然重要性各有不同，最重要的难题就像刚解决不久的费尔马大定理一样，处于数学主流当中，它的进展能够带动许多学科的发展，并且产生出许多新问题推动数学向更高的水平前进。
由于90%的数学问题对于隔行的人难以理解，这里只选择2个比较易懂的重要难题（更正确说是难题组），其中有的有上百年的历史，它们是公认的重大的数学问题，它们的解决对数学将有巨大的推动。
黎曼猜想这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。
这个猜想是指黎曼ζ函数： it s s s n n +==∑∞=σζ11)( 的非平凡零点都在21=σ的直线上。
在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。
多项式)(x P 的零点也就是代数方程)(x P =0的根。
根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。
因此，多项式函数有两种表示方法，即)())(()(110111n n n n n n x x x x x x a a x a xa x a x P ---=++++=-- 当s 为大于1的实数时，)(s ζ为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式： ∑∞=-∏==111)1(1)(n p P n s s ζ但是，这样的)(s ζ用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s 就包含非常多的信息。
世界数学7大未解之谜
世界数学7大未解之谜世界数学7大未解之谜是数学界至今仍未解决的一些难题，这些难题涉及到各个数学领域，包括代数几何、拓扑学、数论等等。
以下是世界数学7大未解之谜的介绍：1.黎曼假设黎曼假设是关于素数分布的一个猜想，提出于19世纪，由德国数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）提出。
黎曼假设指出，所有非平凡零点都位于直线1/2+it上。
虽然该假设已经被验证对许多数学问题的解决有帮助，但它仍未被证明或者推翻。
2.费马大定理费马大定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）提出的一个猜想，指出当n>2时，a^n+b^n=c^n没有正整数解。
这个猜想被证明是正确的，但直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出完整证明。
3.P=NP问题P=NP问题是计算机科学领域的一个未解难题，指出是否存在一种算法，可以在多项式时间内解决NP问题。
NP问题是一类难以解决的问题，但是它的解可以很容易地被验证。
4.霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个未解难题，提出于20世纪50年代，指出在代数簇上，每个代数簇上的切向量都可以由有限个代数簇上的切向量线性组合而来。
该猜想至今未被证明或者推翻。
5.伯恩赛德问题伯恩赛德问题是数学分析领域的一个未解难题，提出于19世纪，指出是否存在一个函数，它在每个点处都不可微。
该问题至今未被证明或者推翻。
6.哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理是数理逻辑领域的一个未解难题，提出于20世纪初，指出任何一种足够强大的形式化数学系统都是不完备的，也就是说，存在一些命题无法在该系统内被证明或者证伪。
7.黎曼-希尔伯特问题黎曼-希尔伯特问题是数学物理领域的一个未解难题，提出于20世纪初，指出如何将经典力学转化成量子力学。
该问题至今未被完全解决，但是它的解决将会对数学和物理学的发展产生重大影响。
6个尚未解决的世界数学难题——个个都是天才的设计
6个尚未解决的世界数学难题——个个都是天才的设计这些问题被称为“千禧年问题”，因为到2000年还没有解决。
即使对世界上最聪明的⼈来说，他们似乎也不可能做到。
时⾄今⽇，仍有许多学者毕⽣致⼒于破解这些问题的答案。
这些问题是由剑桥⼤学克莱数学研究所提供的，答对⼀道题的⼈将获得100万美元的奖⾦。
这些问题是数学的顶峰，来⾃古代数学中看似不可能的最⿊暗的⾓落。
1.P与NP问题这是世界上最难解决的计算机问题，⽤最简单的术语来说，P代表计算机容易解决的问题，⽽NP代表计算机难于解决但易于检查的问题。
这个问题之所以这么难，是因为它更像是⼀个猜谜游戏，它让你遍历所有可能的组合，为了找到正确答案，你要尝试超过1亿种不同的组合。
这将花费太长的时间，因为即使对于⼀个拥有数学博⼠学位的⼈来说，这种可能性也是复杂的，因此，学者们正试图找出⼀种不同的⽅法来解这个⽅程。
2.黎曼假设这是⼀个⾃1859年以来仍未解决的问题。
问题的关键在于，使⽤幂次为0的zeta函数有⼀个不明显的答案。
所以你要做的就是把连续增长的数相加。
从逻辑上来说，你应该得到⼀个⽆限的数，但是并没有。
所以我们要找的是⼀个答案来解释为什么加和⽆穷多的数不能得到⽆穷多的结果。
3.杨⽶尔斯与质量差距这是⼀个利⽤量⼦物理定律的问题。
利⽤杨⽶尔斯理论来描述基本粒⼦之间的强相互作⽤依赖于⼀种被称为“质量间隙”的微妙的量⼦⼒学性质：即使经典波以光速传播，量⼦粒⼦也有正的质量。
这两种理论的结合可以⽤⼀种全新的、开创性的观点来解释，这种观点将描述数学和物理的⼀个新的⽅⾯。
4.Navier–Stokes⽅程纳维·斯托克斯⼀⽣都在试图解释的是，他对飞⾏过程中空⽓湍流的预测。
许多⼈认为，这些湍流是由先前穿越同⼀空间区域的喷⽓机引起的空⽓波动引起的。
他还研究了如何更好地预测撞击湖中船只的海浪。
他提出了⼀个⾮常复杂的⽅程，⾄今仍让聪明的⼈摸不着头脑。
5.霍奇猜想这个聪明的⼈⼀直在寻找⼀种研究和测量复杂物体形状的⽅法。
未解决的数学难题数学家如何寻找解答
未解决的数学难题数学家如何寻找解答数学作为一门抽象而深奥的学科，自古以来就吸引着无数数学家的研究和探索。
在数学的历史长河中，一些重大的难题仍然未能被解决。
那么，数学家们又是如何寻找这些难题的解答呢？本文将介绍一些数学家在解决未解决的数学难题中所采取的方法和思路。
1. 精确定义问题在寻找解答之前，数学家们首先需要精确定义问题。
这是解决任何数学问题的第一步。
通过对问题的精确定义，数学家们能够确保彻底理解问题的本质，为后续的研究和探索打下基础。
2. 建立数学模型接下来，数学家们会尝试建立适当的数学模型来描述问题。
数学模型是将现实问题转化为数学语言的抽象表示。
通过建立数学模型，数学家们能够更加深入地研究问题，并运用数学方法和工具进行分析。
3. 探索已有理论和方法在寻找解答的过程中，数学家们会广泛地应用已有的数学理论和方法。
通过研究现有的数学成果和方法，他们能够借鉴前人的经验和思路，为解决未解决的数学难题提供启示。
这种借鉴和探索的过程是数学研究中非常重要的一部分。
4. 创新性思维对于一些特别困难的数学难题，数学家们可能需要开展创新性思维来寻找解答。
这包括运用数学的各个分支领域的思想和方法，跨学科地探索和运用其他学科的成果。
创新性思维是数学研究中非常重要的一种素质，它能够为解决未解决的数学难题带来新的突破。
5. 合作研究在解决未解决的数学难题时，数学家们通常会展开合作研究。
通过合作研究，数学家们能够共同思考问题，交流想法，集思广益。
数学研究中的合作是非常普遍的，因为一些数学难题实在是太过庞大和复杂，需要多个研究者的共同努力才能寻找到解答。
总结起来，数学家在解决未解决的数学难题时，首先需要精确定义问题，然后建立数学模型，接着探索已有理论和方法，发挥创新性思维，最后通过合作研究的方式寻找解答。
这些步骤和思路共同构成了数学家解答未解决数学难题的基本方法论。
然而，即便数学家们采用了上述的方法和思路，仍然有一些数学难题至今未能被解答。
三大数学漏洞
三大数学漏洞
数学是众多科学领域中最优秀的之一，在上层社会的角度看待，大多数的数学
问题都能够被完美地解决，然而，通常的结论也同样适用于数学：难题也总会存在。
这里有三大数学难题，许多数学专家相继展开研究，却迟迟未能给出有效解决办法。
第一大数学难题为“哥德巴赫猜想”，它由十九世纪德国数学家哥德巴赫提出。
该猜想提出，任何一个大于2的自然数，都可以表示成两个质数的和，这两个质数可以相同也可以不同。
即每一个偶数都可以分解成两个质数之和，并且2100年以
来许多数学家共同努力解决该难题，但尚未有令人满意的答案。
第二大数学难题为“弗洛伊德猜想”，它是自1859年著名的数学家基因的弗
洛伊德提出。
由于基因的弗洛伊德的研究，使这个世界上最大的猜想成为可能，即每一个整数大于2可以是某个质数的元素倍数，同样的，这个猜想也一直没有得到解决，目前仍然属于未解决的数学难题。
第三个数学难题被称为“RI猜想”，它是20世纪50年代罗斯福大学数学家Richard Riemann提出，阐明质数可以用几何方式连接形成圆形，从而判定质数可
以拟合一个几何图形，但至今仍然无法确定质数的分布规律，也未提出令人满意的解决方案。
以上三个数学难题一直挑战着世界上一些最出色的数学精英们，作为高等教育
的一部分，这些数学难题仍然被解决着。
从另一个角度来看，未解决的数学难题也为学究们提供了无限的启发和激励，让我们有机会层层探索，不断深入地思考，并最终完整地解答大自然无止境的奥秘。
未解数学10大难题
未解数学10大难题
一、NP完全问题
核心：判断是否存在一个多项式时间算法来解决NP（非确定性多项式时间）问题。
二、霍奇猜想
内容：在非奇异复射影代数簇上，任何一个霍奇类是否是代数闭链类的有理线性组合。
三、庞加莱猜想（已被证明，但曾经是著名难题）
简单描述：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
四、黎曼假设
主题：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。
五、杨-米尔斯存在性和质量间隙
问题：证明对任何紧的、单的规范群，在四维欧几里得空间中的杨-米尔斯方程组有一个质量间隙的解。
六、纳维-斯托克斯方程
关于：在三维空间和时间下，对于不可压缩、粘性流体的纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性。
七、BSD猜想（贝赫和斯维讷通-戴尔猜想）
核心：椭圆曲线的L-函数的零点分布与椭圆曲线的算术性质之间的联系。
八、哥德巴赫猜想
表述：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
九、孪生素数猜想
大致：存在无穷多个孪生素数（相差为2的素数对）。
十、考拉兹猜想
内容：从任何一个正整数开始，按照特定规则（奇数乘3加1，偶数除以2）不断迭代，最终会得到。
世界十大数学谜题
世界十大数学谜题
数学领域中存在许多仍未解决的问题，其中一些问题被视为世界上最具挑战性和困难的数学难题。
以下是一些备受关注的世界十大数学谜题：
1. P=NP问题：这个问题涉及计算理论中的一个假设，即是否存在可以在多项式时间内验证问题解的算法，以及这些问题是否可以在多项式时间内解决。
2. 黎曼猜想：该猜想涉及到数论中的素数分布规律，主要是关于黎曼zeta 函数的零点分布的猜想。
3. Navier-Stokes方程的存在和光滑性问题：关于描述流体力学的方程组的解的存在性和光滑性问题，尤其是三维空间的情况。
4. 质数的分布：尽管存在一些关于质数分布的猜想和假设，但关于质数分布的一些问题仍未解决，比如孪生素数猜想。
5. 费马猜想：这是数论中最著名的问题之一，声称没有整数解的形如x^n + y^n = z^n 的方程，其中n 大于2。
6. 著名的23问题：一个简单但令人困惑的问题，即是否存在一个比1 大但不是素数，且不是所有小于它的素数的乘积加一的数。
7. 哈尔定理：这个问题涉及到代数中的域论，声称在特定条件下方程组的解是否总是存在。
8. 四色定理：声称任何地图都可以用四种颜色进行着色，使相邻的地图使用不同的颜色。
9. 阳春数学难题：这是数学中的一个代数几何问题，涉及到特定类型的代数曲线上的点的性质。
10. 对偶性猜想：这个问题关于三维流形的拓扑性质，声称每一个拓扑流形是否都具有其对偶流形。
这些问题大多数是在数学领域的前沿，它们被证明或假设是极其困难和复杂的，并且有时需要数学界顶尖的专家共同努力才能解决。
用数学说出遗憾的句子
用数学说出遗憾的句子一、无法证明费马大定理费马大定理是数学史上的一个重要问题，它表明当n大于2时，a^n + b^n = c^n没有正整数解。
数学家费马在17世纪提出了这个猜想，但直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了这个猜想，才被完全证实。
然而，证明的过程非常复杂，需要运用大量高等数学知识和技巧，因此，对于一般人而言，无法完全理解和证明费马大定理，这让人感到遗憾。
二、错失了数学竞赛的冠军数学竞赛是培养学生数学思维和解题能力的重要途径，也是选拔优秀数学人才的重要渠道。
然而，在数学竞赛中，有时候我们可能会因为一些低级错误或者思路不够清晰而错失冠军。
这让我们感到遗憾，因为我们知道自己有能力取得更好的成绩，但因为一时的疏忽或者不够全面的准备，却不能够取得理想的结果。
三、无法解决某个数学难题数学是一门探索未知的科学，其中有许多难题至今没有被完全解决。
比如哥德巴赫猜想，它认为任何一个大于2的偶数都可以分解成两个质数的和。
虽然这个猜想已经被验证了很多次，但至今没有找到一个通用的解决方法。
这让数学家们感到遗憾，因为他们无法证明或者反驳这个猜想，而且也无法给出一个一般的解决方案。
四、无法证明黎曼猜想黎曼猜想是数论中的一个重要问题，它涉及到复变函数和素数分布的关系。
虽然许多数学家都尝试过证明这个猜想，但至今没有一个完整且令人信服的证明。
这让人们感到遗憾，因为黎曼猜想的证明对于数论领域的发展和理解具有重要意义，但我们无法得知这个猜想的真相。
五、数学模型无法完全描述复杂现象数学模型是研究和描述现实世界中各种现象的重要工具，它可以帮助我们理解和预测各种自然和社会现象。
然而，由于现实世界的复杂性，有些现象无法被一个简单的数学模型完全描述。
比如气象预测模型，虽然我们可以利用数学模型来预测天气，但由于天气受到多种因素的影响，预测的准确性往往有限，这让人感到遗憾。
六、数学教育的不完善数学教育是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径，但在现实中，数学教育存在一些问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
未解决的数学难题一数学基础问题。
1、数是什么？2、四则运算是什么？3、加法和乘法为什么符合交换律，结合律，分配律？4、几何图形是什么？二几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?更一般地：当k为奇数时求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?背景：欧拉求出：(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性背景此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。
3、素数问题。
证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …(s属于复数域)所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。
背景：此即黎曼猜想。
也就是希尔伯特第8问题。
美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。
希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？4、存在奇完全数吗？背景：所谓完全数，就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是：6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+248目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：n>10^505、除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？背景：这是卡塔兰猜想（1842）。
1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。
1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。
因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。
但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。
所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。
6、任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。
不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？背景：这角古猜想（1930）。
人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。
三希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。
全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。
背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。
1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。
所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。
3、问题7 某些数的无理性和超越性。
见上面二的 25、问题 8 素数问题。
见上面二的 36、问题 11 系数为任意代数数的二次型。
背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
8、问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。
如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
9、问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
背景：代数簌交点的个数问题。
和代数几何学有关。
10、问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。
和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。
11、问题 18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。
12、问题 20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
13、问题 23 变分法的进一步发展。
四千禧七大难题2000年美国克雷数学促进研究所提出。
为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。
每一道题的赏金均为百万美金。
1、黎曼猜想。
见二的 3透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。
这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。
透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。
杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。
他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。
然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。
一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。
P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。
已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。
而能用这个算法解的问题就是P 问题。
反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。
由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。
但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。
法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。
自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。
所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。
解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)庞加莱臆测是拓朴学的大问题。
用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。
庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。
经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。
经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。
但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。
=一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。
数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。
同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。
数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。
自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。
例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。
通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。
数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。
经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。
他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 07.霍奇臆测(Hodge Conjecture)「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。
」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。
因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》。