成都市中考数学试卷及答案详解
四川成都2020-年中考数学试卷(附答案,解析)
数学A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1.－2的绝对值是（）A. －2B. 1C. 2D. 1 2【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的性质解答即可．【详解】解：−2的绝对值是2．故选：C．【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．2.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据左视图的定义“从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图”进一步分析即可得到答案．【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为：故选：D.【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键．3.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A. 33.610⨯B. 43.610⨯C. 53.610⨯D. 43610⨯ 【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a <，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：436000 3.610=⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中1||10a <，确定a 与n 的值是解题的关键．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 4.在平面直角坐标系中，将点(3,2)P 向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A. (3,0)B. (1,2)C. (5,2)D. (3,4) 【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答．【详解】解：将点P ()3,2向下平移2个单位长度所得到的点坐标为()3,22-，即()3,0，故选：A ．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．5.下列计算正确的是（ ）A. 325a b ab +=B. 326a a a ⋅=C. ()2362a b a b -=D. 233a b a b ÷= 【答案】C【解析】分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A ．不是同类项，不能合并，选项A 错误；B ．325a a a ⋅=； 选项B 错误；C ．()2362a b a b -=，选项C 正确；D ．233a b a ab ÷=，选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法，解题关键是熟记运算法则．6.成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 5人，7人B. 5人，11人C. 5人，12人D. 7人，11人 【答案】A【解析】【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．【详解】解：将数据从小到大排列为：5，5，7，11，12所以这组数据的众数为5，中位数为7.故选：A ．【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．7.如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若6AC =，2AD =，则BD 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】由作图可知， M N 是线段BC 的垂直平分线，据此可得解．【详解】解：由作图可知， M N 是线段BC 的垂直平分线，∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，故选：C【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．8.已知2x =是分式方程311k x x x -+=-的解，那么实数k 的值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】【分析】将2x =代入原方程，即可求出k 值．【详解】解：将2x =代入方程311k x x x -+=-中，得 231221k +=-- 解得：4k = ．故选：B ．【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．9.如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 103【答案】D【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴AB DE BC EF=. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴564DE =. ∴DE=103. 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．10.关于二次函数228=+-y x x ，下列说法正确的是（ ）A. 图象的对称轴在y 轴的右侧B. 图象与y 轴的交点坐标为(0,8)C. 图象与x 轴的交点坐标为(2,0)-和(4,0)D. y 的最小值为－9【答案】D【解析】【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．【详解】∵2228=(1)9y x x x =+-+-∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；令x=0，则y=-8，所以图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-，故选项B 错误；令y=0，则228=0x x +-，解得x 1=2，x 2=-4，图象与x 轴交点坐标为(2,0)和(4,0)-，故选项C 错误； ∵2228=(1)9y x x x =+-+-，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11.分解因式：23x x +=___________.【答案】()3x x +【解析】23(3)x x x x +=+.12.一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【解析】【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0．解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.13.如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，50AOB ∠=︒，55B ∠=︒，则A ∠的度数为_________．【答案】30°【解析】【分析】根据圆的基本性质以及圆周角定理，分别求出∠OCB=55°，∠ACB=12∠AOB=25°，即可求出∠OCA=30°，再求出∠A 即可．【详解】解：∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB=55°，∵∠AOB=50°，∴∠ACB=12∠AOB=25°， ∴∠OCA=∠OCB-∠AOB=55°-25°=30°，∵OA=OC ，∴∠A=∠OCA=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理． 14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为_________．【答案】5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．【详解】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，由题意可得，5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故答案为：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15.（1）计算：212sin 6022-⎛⎫︒++ ⎪⎝⎭（2）解不等式组：4(1)22113x x x x -≥+⎧⎪+⎨>-⎪⎩ 【答案】（1）3；（2）24x ≤<【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，由此进一步计算即可；（2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可.【详解】（1）原式=2423+63=3；（2）解不等式4(1)2x x -≥+可得：2x ≥， 解不等式2113x x +>-可得：4x <， ∴原不等式组的解集为24x ≤<．【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.16.先化简，再求值：212139x x x +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =+【答案】3x -【解析】【分析】括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入x 的值进行计算即可． 【详解】212139x x x +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭ =2312339x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++-⎝⎭=()()312333x x x x x +-+÷++- =()()33232x x x x x +-+++ =3x -．当3x =+33==【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．17.2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有_________人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）180；（2）126°；（3）16．【解析】【分析】（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；（2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.【详解】（1）54÷30%=180（人）故答案为：180；（2）田径人数：180×20%=36（人），游泳人数：180×15%=27（人），篮球人数为：180-54-36-27=63（人）图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：63360=126180︒⨯︒，故答案为：126°；（3）画树状图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．所以P （恰好选中甲、乙两位同学）=21=126． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图． 18.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A 处的仰角为45°，塔底部B 处的俯角为22°．已知建筑物的高CD 约为61米，请计算观景台的高AB 的值． （结果精确到1米；参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈）【答案】观景台的高AB 约为214米．【解析】【分析】过点D 作DM ⊥AB 于点M ，由题意可得四边形DCBM 是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt △BDM 中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=61DM，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM 为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高AB 的长．【详解】过点D 作DM ⊥AB 于点M ，由题意可得四边形DCBM 是矩形，∴BM=CD=61米，在Rt △BDM 中，∠BDM=22°，BM=61米， tan ∠BDM=BM DM ， ∴tan22°=61DM， 解得，DM=152.5米；∵∠ADM=45°，DM ⊥AB ，∴△ADM 为等腰直角三角形，∴DM=AM=152.5米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．答：观景台的高AB 约为214米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 19.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数m y x=（0x >）的图象经过点(3,4)A ，过点A 的直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若AOB 的面积为BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【答案】（1）12y x =；（2）223y x =+或22y x =- 【解析】【分析】（1）根据题意将点A 坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；（2）根据题意，将直线解析式y kx b =+分k 0<以及0k >两种情况结合AOB 的面积为BOC 的面积的2倍进一步分析求解即可.【详解】（1）∵反比例函数m y x =(0x >)的图象经过点A(3，4)， ∴43m =， 解得：12m =，∴原反比例函数解析式为：12y x=； （2）①当直线y kx b =+的k 0<时，函数图像如图所示，此时BOC AOB S S >△△，不符合题意，舍去；②当直线y kx b =+的0k >时，函数图像如图所示，设OC 的长度为m ，OB 的长度为n ，∵AOB 的面积为BOC 的面积的2倍∴114222n mn ⨯=⨯， ∴2m =，∴OC 的长为2，∴当C 点在y 轴正半轴时，点C 坐标为(0，2)，∴2y kx =+∵点A 坐标为(3，4)，∴432k =+，∴23k =， ∴直线解析式为：223y x =+， 当C 点在y 轴负半轴时，点C 坐标为(0，−2)，∴2y kx =-∵点A 坐标为(3，4)，∴432k =-，∴2k =，∴直线解析式为：22y x =-， 综上所述，直线解析式为：223y x =+或22y x =-. 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 20.如图，在ABC 的边BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O ，⊙O 与边AB 相切于点D ，AC AD =，连接OA 交⊙O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若10AB =，4tan 3B =，求⊙O 的半径； （3）若F 是AB 的中点，试探究BD CE +与AF 的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）83；（3）AF BD CE =+，理由见解析 【解析】【分析】（1）连接OD ，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO ≌△ADO ，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；（2）由锐角三角函数可设AC=4x ，BC=3x ，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；（3）连接OD ，DE ，由“SAS”可知△COE ≌△DOE ，可得∠OCE=∠OED ，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE ，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE ，可得∠DEF=∠DFE ，可证DE=DF=CE ，可得结论．【详解】解：（1）如图，连接OD ，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，tanB=43=ACBC，∴设AC=4x，BC=3x，∵AC2+BC2=AB2，∴16x2+9x2=100，∴x=2，∴BC=6，∵AC=AD=8，AB=10，∴BD=2，∵OB2=OD2+BD2，∴（6-OC）2=OC2+4，∴OC=83，故⊙O的半径为83；（3）连接OD，DE，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD ，又∵CO=DO ，OE=OE ，∴△COE ≌△DOE （SAS ），∴∠OCE=∠ODE ，∵OC=OE=OD ，∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE ，∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE ， ∵点F 是AB 中点，∠ACB=90°，∴CF=BF=AF ，∴∠FCB=∠FBC ，∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE ， ∴∠DEF=∠DFE ，∴DE=DF=CE ，∴AF=BF=DF+BD=CE+BD ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）21.已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________．【答案】49【解析】【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．【详解】解：∵73a b =-，∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==， 故答案为：49．【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．22.关x 的一元二次方程232402x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】72m ≤【解析】【分析】 方程有实数根，则△≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，△=23(4)42()2m --⨯⨯-≥0， ∴72m ≤， 故答案为72m ≤． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．23.如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线111111FA B C D E F …叫做“正六边形的渐开线”，1FA ，11A B ，11C B ，11C D ,11 D E ,11 E F ，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当1AB =时，曲线111111FA B C D E F 的长度是_________．【答案】7π【解析】【分析】利用弧长公式，分别计算出1FA ，11A B ，11C B ，11C D ,11 D E ,的长，然后将所有弧长相加即可.【详解】解：根据题意，得1FA =60=13180ππ⨯⨯； 11A B =60=180322ππ⨯⨯； 11C B =360=180ππ⨯⨯； 11C D =60=180344ππ⨯⨯； 11D E =60=180355ππ⨯⨯； 11E F =60=21680ππ⨯⨯. 曲线111111FA B C D E F 的长度是245+++++23333ππππππ=7π. 故答案是：7π.【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键.24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与双曲线4y x =交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y nx =（0n <）与双曲线1y x=-交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为A 的坐标为_________．【答案】或【解析】【分析】首先根据题意求出点A 坐标为，从而得出244OA m m =+，然后分两种情况：①当点B 在第二象限时求出点B 坐标为(，)，从而得出()21OB n n =-+-，由此可知()222414AB OA OB m n m n =+=+-+-，再利用平面直角坐标系任意两点之间距离公式可知：2414AB m n m n =++-，所以0，据此求出1n m=-，由此进一步通过证明四边形ABCD 是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B 在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.【详解】∵直线y mx =(0m >)与双曲线4y x=交于A ，C 两点（点A 在第一象限），∴联立二者解析式可得：4y mxy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，由此得出点A 坐标为(4m ，4m )， ∴244OA m m=+， ①当点B 在第二象限时，如图所示：∵直线y nx =（0n <）与双曲线1y x=-交于B ，D 两点， ∴联立二者解析式可得：1y nx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，由此得出点B 坐标为(1n --n -， ∴()21OB n n=-+-， ∵AC ⊥BD ， ∴()222414AB OA OB m n m n=+=+-+-， 根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：2224144142424AB m n m mn n m n m mn n=-+-=+-+--， ∴42240mn mn--， 解得：1n m =-， ∴241545AB m m m m m m=+++=+， 根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA ，OB=OD ，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，∴10252 AB==，∴25525mm⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭，解得：12m=或2，∴A点坐标为(22，2)或(2，22)，②当点B在第四象限时，如图所示：∵直线y nx=（0n<）与双曲线1yx=-交于B，D两点，∴联立二者解析式可得：1y nxyx=⎧⎪⎨=-⎪⎩，由此得出点B坐标为1n-n--，∴()21OB nn=-+-，∵AC⊥BD，∴()222414AB OA OB m nm n=+=+-+-，根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：2224144142424AB m n m mn n m n m mn n=-+-=--++-，∴42240mnmn---=，解得：1nm=-，∴241545AB m m mm m m=+++=+，根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形， ∴10252AB ==， ∴25525m m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：12m =或2， ∴A 点坐标为(22，2)或(2，22)，综上所述，点A 坐标为：(22，2)或(2，22)，故答案为：(2，22)或(22，2).【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.25.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH PQ ⊥于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为_________，线段DH 长度的最小值为_________．【答案】 (1). 32 (2).132【解析】【分析】 连接EF ，则EF ⊥AB ，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，如图1，由于222PQ PG QG =+，而PG=3，所以当GQ 最大时PQ 最大，由题意可得当P 、A 重合时GQ 最大，据此即可求出PQ 的最大值；设EF 与PQ 交于点M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接HO ，如图2，易证△FQM ∽△EPM ，则根据相似三角形的性质可得EM 为定值2，于是BM 的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B 、E 、H 、M 四点共圆，且圆心为点O ，于是当D 、H 、O 三点共线时，DH 的长度最小，最小值为DO －OH ，为此只需连接DO ，求出DO 的长即可，可过点O 作ON ⊥CD 于点N ，作OK ⊥BC 于点K ，如图3，构建Rt △DON ，利用勾股定理即可求出DO 的长，进而可得答案．【详解】解：连接EF ，则EF ⊥AB ，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，如图1，则PE=GF ，PG=AD=3， 设FQ=t ，则GF=PE=2t ，GQ=3t ，在Rt △PGQ 中，由勾股定理得：()2222223399PQ PG QG t t =+=+=+， ∴当t 最大即EP 最大时，PQ 最大，由题意知：当点P 、A 重合时，EP 最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ 的最大值=9932+=；设EF 与PQ 交于点M ，连接BM ，取BM 的中点O ，连接HO ，如图2，∵FQ ∥PE ，∴△FQM ∽△EPM ，∴12FM FQ EM PE ==， ∵EF=3，∴FM=1，ME=2， ∴2222BM ME BE =+=，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B 、E 、H 、M 四点共圆，且圆心为点O ， ∴122OH OB BM ===， ∴当D 、H 、O 三点共线时，DH 的长度最小，连接DO ，过点O 作ON ⊥CD 于点N ，作OK ⊥BC 于点K ，如图3，则OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt △DON 中，2213DO DN ON =+=，∴DH 的最小值=DO －OH=132-．故答案为：32，132-．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分解答过程写在答题卡上）26.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，1224x ≤<）满足一次函数的关系，部分数据如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．【答案】（1）1002400y x =-+；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．【解析】【分析】（1）由待定系数法求出y 与x 的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为w 元，则w=400（x-2-10）+y （x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：（1）因为y 与x 满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得121200,131100,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得100,2400,k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数关系式为1002400y x =-+．（2）设商家线上和线下的月利润总和为w 元，则可得400(210)(10)w x y x =--+-=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）=-100x 2+3800x-28800=2100(19)7300x --+，因为-100<0，所以当x=19时，w 有最大值，为7300，所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27.在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处． （1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；（2）如图2，当5AB =，且10AF FD ⋅=时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，求AB BC出的值．【答案】（1）15°；（2）35（3）35【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB ∠=︒，再由折叠的性质可得到15CBE ∠=°； （2）由三等角证得FAB EDF ∆∆∽，从而得2DE =，3EF CE ==，再由勾股定理求出DE ，则35BC AD ==（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，可证得NFG BFA ∆∆∽．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴90A ∠=︒，//AD BC由折叠性质可知BF=BC=2AB ，12CBE CBF ∠=∠， ∴30AFB ∠=︒，∴30FBC AFB ∠=∠=°，∴15CBE ∠=°（2）由题意可得90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∠+∠=︒，90FED DFE ∠+∠=°∴AFB DEF ∠=∠∴FAB EDF ∆∆∽ ∴AF AB DE DF=， ∴1025AF DF DE AB === ∴3EF CE ==，由勾股定理得DF=∴AF ==， ∴BC AD AF FD ==+=（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ．∴90NGF A ∠=∠=°又∵BFA NFG ∠=∠ ∴NFG BFA ∆∆∽．∴NG FG NF AB FA BF ==． ∵NF AN FD =+，即111222NF AD BC BF === ∴12NG FG NF AB FA BF ===， 又∵BM 平分ABF ∠，90NG BF A ⊥∠=︒，，∴NG=AN ， ∴12NG AN AB ==， ∴111222FG BF BG BC AB FA AN NF AB BC --===++ 整理得：35AB BC =．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．（1）求抛物线的函数表达式（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记BDE ∆的面积为1S ，ABE ∆的面积为2S，求12S S 的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB∆∆∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或6241341++⎝⎭【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK x ⊥轴交BC 的延长线于点K ，则可得△AEK ∽△DEF ，继而可得DE DF AE AK=，先求出BC 的解析式，继而求得AK 长，由12BDE ABE S S DE S S AE ∆∆==可得12S DF S AK =，设点213,222D m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而可得2122DF m m =-+，从而可得2121455S m m S =-+，再利用二次函数的性质即可求得答案；（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线l 的表达式为12y x =．设点P 的坐标为,2t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后分点P 在直线BQ 右侧，点P 在直线BQ 左侧两种情况分别进行讨论即可．【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -． ∴016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， ∴12232a c b ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，∴抛物线的函数表达式为213222y x x =--； （2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK x ⊥轴交BC 的延长线于点K ． 则DG//AK ，∴△AEK ∽△DEF ， ∴DE DF AE AK=， 设直线BC 的解析式为y=kx+n ，将(4,0)B 、(0,2)C -代入则有：402k n n +=⎧⎨=-⎩， 解得122k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC的表达式为122y x=-，当x=-1时，15222 =-=-y x，即K（-1，52-），∴52AK=．∵12BDEABES S DES S AE∆∆==．∴12S DFS AK=设点213,222D m m m⎛⎫--⎪⎝⎭，则F点坐标为（m，122m-），∴2212131222222DF m m m mm=--⎛⎫--=⎝⎭-+⎪．∴()2221212141422555552m mSm m mS-+==-+=--+，当2m=时，12SS有最大值45．（3）∵(1,0)A-，(4,0)B，(0,2)C-．∴22125+=224225+=AB=5，∴AC2+BC2=25=52=AB2，∴∠ACB=90°，∵过点O作直线//l BC，直线BC的表达式为122y x=-，∴直线l 的表达式为12y x =． 设点P 的坐标为,2t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ①当点P 在直线BQ 右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥PN 于点M ， ∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN ，∴QPM PBN ∆∆∽， ∴QM PM PQ PN BN PB==， 又∵PQB CAB ∆∆∽， ∴PQ CA PB BC=， ∴12QM PM PQ CA PN BN PB BC ====， ∵NB=t-4，PN=2t ， ∴1422QM PM t t ==-，∴QM=4t ，PM=122t -， ∴MN=122t -+122t t =-，344t t t -=， ∴点Q 的坐标为3,24t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 将点Q 的坐标为3,24t t ⎛⎫-⎪⎝⎭代入213222y x x =--，得 29922328t t t -=--， 解得：1689t =，t 2=0（舍去）， 此时点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭．②当点P 在直线BQ 左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥PN 于点M ， ∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN ，∴QPM PBN ∆∆∽， ∴QM PM PQ PN BN PB==， 又∵PQB CAB ∆∆∽， ∴PQ CA PB BC=， ∴12QM PM PQ CA PN BN PB BC ====， ∵NB=4-t ，PN=2t ， ∴1422QM PM t t ==-，∴QM=4t ，PM=122t -， ∴MN=122t -+122t =，544t t t +=， ∴点Q 的坐标为5,24t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 将点Q 的坐标为5,24t ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入213222y x x =--，得 2252285231t t =--， 解得：162415t +=，262415t -=<0（舍去），此时点P的坐标为6241341,⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．考试小提示：同学们，天道酬勤，十年寒窗十年苦，大巧若拙勤为路。
2021年四川省成都市中考数学试题及解析
成都市二0一三年高中阶段教育学校统一招生考试试卷(含成都市初三毕业会考)数 学A 卷(共100分)第1卷(选择题．共30分)一、选择题(本大题共l0个小题，每题3分，共30分．每题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．〔2021成都〕3-的绝对值是〔 〕A ．3B ．3-C ．13D ．13- 考点：绝对值。
解答：解：|﹣3|=﹣〔﹣3〕=3．应选A ．2．〔2021成都〕函数12y x =- 中，自变量x 的取值范围是〔 〕 A ．2x > B ． 2x < C ．2x ≠ D ． 2x ≠- 考点：函数自变量的取值范围。
解答：解：根据题意得，x ﹣2≠0，解得x ≠2．应选C ．3．〔2021成都〕如下图的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为〔 〕A ．B ．C ．D ．考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，应选：D ．4．〔2021成都〕以下计算正确的选项是〔 〕A ．223a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．33a a ÷=D ．33()a a -= 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
解答：解：A 、a+2a=3a ，故本选项错误；B 、a 2a 3=a 2+3=a 5，故本选项正确；C 、a 3÷a=a 3﹣1=a 2，故本选项错误；D 、〔﹣a 〕3=﹣a 3，故本选项错误．应选B5．〔2021成都〕成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为〔 〕A ． 59.310⨯ 万元B ． 69.310⨯万元C ．49310⨯万元D ． 60.9310⨯万元考点：科学记数法—表示较大的数。
解答：解：930 000=9.3×105．应选A ．6．〔2021成都〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(3-，5)关于y 轴的对称点的坐标为〔 〕A ．( 3-，5-)B ．(3，5)C ．(3．5-)D ．(5，3-)考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标。
成都市中考数学试题(含答案)
成都市中考数学试题(含答案)（含成都市初三毕业会考）数 学注意事项：1. 全卷分A 卷和B 卷.A 卷满分100分.B 卷满分50分；考试时间120分钟．2. 五城区及高新区的考生使用答题卡作答.郊区(市)县的考生使用机读卡加答题卷作答。
3. 在作答前.考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡(机读卡加答题卷)上。
考试结束.监考人员将试卷和答题卡(机读卡加答题卷) 一并收回。
4．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写.字体工整、笔迹清楚。
5．请按照题号在答题卡(机读卡加答题卷)上各题目对应的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
6．保持答题卡面(机读卡加答题卷)清洁.不得折叠、污染、破损等。
A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题.共30分）一、选择题：（每小题3分.共3 0分)每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求。
1. 4的平方根是(A)±16 (B)16 (C )±2 (D)2 2．如图所示的几何体的俯视图是3. 在函数12y x =-x 的取值范围是 (A)12x ≤(B) 12x < (C) 12x ≥ (D) 12x > 4. 近年来.随着交通网络的不断完善.我市近郊游持续升温。
据统计.在今年“五一”期间.某风景区接待游览的人数约为20.3万人.这一数据用科学记数法表示为(A)420.310⨯人 (B) 52.0310⨯人 (C) 42.0310⨯人 (D) 32.0310⨯人 5．下列计算正确的是 （A ）2x x x += (B)2x x x ⋅= (C)235()x x =(D)32x x x ÷=6．已知关于x 的一元二次方程20(0)mx nx k m ++=≠有两个实数根.则下列关于判别式24n mk -的判断正确的是(A) 240n mk -< (B)240n mk -=BC D E ABCDE30(C)240n mk -> (D)240n mk -≥ 7．如图.若AB 是⊙0的直径.CD 是⊙O 的弦.∠ABD=58°. 则∠BCD=(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°8．已知实数m 、昆在数轴上的对应点的位置如图所示.则下列判断正确的是 (A)0m > (B)0n < (C)0mn < (D)0m n ->9. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况.某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计.并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息.这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是(A)6小时、6小时 (B) 6小时、4小时 (C) 4小时、4小时 (D)4小时、6小时10． 已知⊙O 的面积为9π2cm .若点0到直线l 的距离为πcm .则直线l 与⊙O 的位置关系是(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定第Ⅱ卷《非选择题.共7()分)二、填空题：(每小题4分.共l 6分)11. 分解因式：．221x x ++=________________。
2024成都中考数学真题及答案
2024成都中考数学真题及答案第一部分：选择题1.若一条直线的斜率为1/2，该直线在坐标系中的斜率为（） A. 1/2 B.-1/2 C. 2 D. -22.计算 3 - |-7| + 2×(-5) 的值是（） A. -21 B. -13 C. -7 D. 13.已知若两个角互补，则其中一个角一定是（） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角D. 旋转角4.若一个正方形的边长为x，则其面积为（） A. x^2 B. 2x C. x/2 D. 4x5.设直线L1和直线L2垂直，直线L1的斜率为3/4，则L2的斜率为（） A. 4/3 B. 3/4 C. -3/4 D. -4/3第二部分：解答题问题1：三角形的内角和公式证明：一个三角形的三个内角之和等于180度。
解析：设三角形的三个内角分别为A、B、C度。
我们可以通过以下步骤来证明这个结论：1.假设线段AB、BC、AC分别构成三角形。
2.通过对角度度量的定义，我们知道直线AB与直线AC的夹角等于角A。
3.同样地，直线AB与直线BC的夹角等于角B，直线BC与直线AC的夹角等于角C。
4.根据直线上的任意两条线段之间的夹角恒等于两个夹角的和的性质，我们可以得出以下等式：角A + 角B = 直线AB与AC的夹角——（1）角B + 角C = 直线AB与BC的夹角——（2）5.根据直线上的任意两条线段之间的夹角恒等于两个夹角的和的性质，我们可以得出以下等式：角A + 角C = 直线AC与BC的夹角——（3）6.由于直线AC与BC的夹角等于180度（直线在平面上的性质），我们可以得出以下等式：角A + 角B + 角C = 180度——（4）7.因此，一个三角形的三个内角之和等于180度。
问题2：一元一次方程的解解：考虑以下一元一次方程：2x - 5 = 3x + 1。
我们需要找到满足这个方程的x的值。
首先，我们可以将方程转化为标准形式，即将未知数放在等号左边，常数放在右边：2x - 3x = 1 + 5。
2023年四川省成都市数学中考真题(解析版)
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某
班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供 6 张背面完全相同的卡片，其中蔬菜
类有 4 张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有 2 张，正面分别印有草莓、西瓜图案，
【详解】解：由平移性质得： EF BC 8 ， ∴ CF EF CE 8 5 3 ，
故答案为：3． 【点睛】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 5, 1 关于 y 轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 5, 1
6 1
6
，
∵ 2 6 ，
∴ y1 y2 ， 故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11. 如图，已知△ABC ≌△DEF ，点 B，E，C，F 依次在同一条直线上．若 BC 8，CE 5 ，则 CF 的
长为___________．
【答案】3 【解析】 【分析】利用平移性质求解即可．
2023 年四川省成都市数学中考真题
A 卷（共 100 分） 第 I 卷（选择题，共 32 分） 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一 项符合题目要求）
1 1. 在 3 ， 7 ， 0 ， 9 四个数中，最大的数是（ ）
A. 3
B. 7
C. 0
每个图案对应该种植项目．把这 6 张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概
2023年四川成都中考数学试题及答案
2023年四川成都中考数学试题及答案A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1.在3，7−，0，19四个数中，最大的数是（ ） A.3B.7−C.0D.192.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式. 目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次. 将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A.8310⨯ B.9310⨯ C.10310⨯ D.11310⨯3.下列计算正确的是（ ）A.()2239x x −=−B.27512x x x +=C.()22369x x x −=−+ D.()()22224x y x y x y −+=+4.近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局. 如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI ）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ） A.26 B.27 C.33 D.345.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A.AC BD =B.OA OC =C.AC BD ⊥D.ADC BCD ∠=∠6.为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目. 把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A.12B.13C.14D.167.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短. 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x 尺，则可列方程为（ ） A.()14.512x x +=− B.()14.512x x +=+C.()11 4.52x x +=−D.()11 4.52x x −=+ 8.如图，二次函数26y ax x =+−的图象与x 轴交于()3,0A −，B 两点，下列说法正确的是（ ）A.抛物线的对称轴为直线1x =B.抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫−− ⎪⎝⎭C.A ，B 两点之间的距离为5D.当1x <−时，y 的值随x 值的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.因式分解：23m m −= . 10.若点()13,A y −，()21,B y −都在反比例函数6y x=的图象上，则1y 2y （填“>”或“<”）.11.如图，已知ABC DEF △≌△，点B ，E ，C ，F 依次在同一条直线上. 若8BC =，5CE =，则CF 的长为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，点()5,1P −关于y 轴对称的点的坐标为 . 13.如图，在ABC △中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点'M ；③以点'M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在BAC ∠内部交前面的弧于点'N ；④过点'N 作射线'DN 交BC 于点E . 若BDE △与四边形ACED 的面积比为4：21，则BECE的值为 .三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.（1）计算：()042sin 45322π+︒−−+−；（2）解不等式组：()225,411.3x x x x +−≤⎧⎪⎨+>−⎪⎩①②15.文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴. 成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.16.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长.（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28︒≈，cos160.96︒≈，tan160.29︒≈）17.如图，以ABC △的边AC 为直线作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD ，DE ，B ADE =∠∠.（1）求证：AC BC =；（2）若tan 2B =，3CD =，求AB 和DE 的长.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数k y x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l .（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上，且ABC △的面积为5，求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点，连接P A ，以P 为位似中心画PDE △，使它与PAB △位似，相似比为m .若点D ，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值.B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.若23320ab b −−=，则代数式22221ab b a ba a b⎛⎫−−−÷ ⎪⎝⎭的值为 . 20.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个.21.为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出.（π取3.143取1.73）22.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，过D 作DE BC ∥交AC 于点E ，将DEC △沿DE 折叠得到DEF △，DF 交AC 于点G . 若73AG GE =，则tan A = .23.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n −>，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，221653=−，16就是一个智慧优数，可以利用()()22m n m n m n −=+−进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 . 二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A ，B 两种食材制作小吃. 已知购买1千克A 种食材和1千克B 种食材共需68元，购买5千克A 种食材和3千克B 种食材共需280元. （1）求A ，B 两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A 种食材千克数不少于B 种食材千克数的2倍，当A ，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点()4,3P −，与y 轴交于点()0,1A ，直线()0y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若ABP △是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；（3）过点()0,M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E . 试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 26.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，D 是AB 边上一点，且1AD BD n=（n 为正整数），E 是AC 边上的动点，过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F .【初步感知】（1）如图1，当1n =时，兴趣小组探究得出结论：22AE BF AB +=，请写出证明过程. 【深入探究】（2）①如图2，当2n =，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE ，BF ，AB 之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE ，BF ，AB 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）. 【拓展运用】（3）如图3，连接EF ，设EF 的中点为M . 若22AB =，求点E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）.参考答案A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共32分）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADCCBBAC二、填空题 9.()3m m − 10.> 11.312.()5,1−− 13.23三、解答题14.（1）3；（2）41x −<≤. 15.（1）300，图略； （2）144°； （3）360.16.阴影CD 的长约为2.2米. 17.（1）略；（2）25AB =25DE =18.（1）点A 的坐标为()05，，反比例函数的表达式为4y x=； （2）点C 的坐标为()69，或()4,1−−； （3）点P 的坐标为111,44⎛⎫− ⎪⎝⎭；m 的值为3.B 卷（共50分）一、填空题19.2320.6 21.18423.15；57二、解答题24.（1）A 种食材单价是每千克38元，B 种食材单价是每千克30元；（2）A 种食材购买24千克，B 种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元. 25.（1）抛物线的函数表达式为2114y x =−+；（2）点B 的坐标为()4,3−−或(25−−−−或(25−+−+； （3）当m 的值为2或23时，OD OE ⊥始终成立. 26.（1）略.（2）①123AE BF AB +=，证明过程略；②当点F 在射线BC 上时，11AE BF AB n n +=+，当点F 在CB 延长线上时，11AE BF AB n n −=+.（3）点M .。
2020年四川省成都市中考数学试卷含解析
2020年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×1044．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 36．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 8．（3分）（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 9．（3分）（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（3分）（2020•成都）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2020•成都）分解因式：x 2+3x ＝ ．12．（4分）（2020•成都）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．13．（4分）（2020•成都）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠AOB ＝50°，∠B ＝55°，则∠A 的度数为 ．14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9； （2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②． 16．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 17．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有 人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．18．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．22．（4分）（2020•成都）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ．23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．24．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x 交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x 交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 ．25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件）12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC 的值．28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 【解答】解：﹣2的绝对值为2．故选：C ．2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左面看是一列2个正方形．故选：D ．3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×104【解答】解：36000＝3.6×104，故选：B ．4．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）【解答】解：将点P （3，2）向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3，2﹣2），即（3，0），故选：A ．5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 3【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 3•a 2＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、（﹣a 3b ）2＝a 6b 2，原计算正确，故此选项符合题意；D 、a 2b 3÷a ＝ab 3，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．6．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人． 故选：A ．7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵AC ＝6，AD ＝2，∴BD ＝CD ＝4，故选：C ．8．（3分）（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：把x ＝2代入分式方程得：k 2−1＝1，解得：k ＝4．故选：B ．9．（3分）（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．103【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC =DE EF ，∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，∴56=DE 4，∴DE =103，故选：D ．10．（3分）（2020•成都）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9【解答】解：∵二次函数y ＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9＝（x +4）（x ﹣2），∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2020•成都）分解因式：x2+3x＝x（x+3）．【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．12．（4分）（2020•成都）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为m＞12．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得m＞1 2．故答案为：m＞1 2．13．（4分）（2020•成都）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为30°．【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8 ．【解答】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9；（2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②．【解答】解：（1）原式＝2×√32+4+2−√3−3 =√3+4+2−√3−3 ＝3；（2）{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②，由①得，x ≥2； 由②得，x ＜4，故此不等式组的解集为：2≤x ＜4．16．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 【解答】解：原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x ﹣3， 当x ＝3+√2时， 原式=√2．17．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有180人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）根据题意得：54÷30%＝180（人），答：这次被调查的学生共有180人；故答案为：180；（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，故答案为：126°；（3）列表如下：甲乙丙丁甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）=212=16．18．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝DC＝61，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝BC，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝22°， ∴DE =BEtan22°≈610.40≈152.5，∴AB ＝AE +BE ＝DE +CD ＝152.5+61≈214（米）． 答：观景台的高AB 的值约为214米．19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =mx （x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点． （1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y =mx（x ＞0）的图象经过点A （3，4）， ∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y =12x ； （2）∵直线y ＝kx +b 过点A ， ∴3k +b ＝4，∵过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点， ∴B （−bk，0），C （0，b ），∵△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍， ∴12×4×|−bk |＝2×12×|−bk |×|b |，∴b ＝±2， 当b ＝2时，k =23， 当b ＝﹣2时，k ＝2，∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B=43，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B=43=ACBC，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x 2+9x 2＝100， ∴x ＝2， ∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10， ∴BD ＝2， ∵OB 2＝OD 2+BD 2， ∴（6﹣OC ）2＝OC 2+4， ∴OC =83， 故⊙O 的半径为83；（3）连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ， 又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴∠OCE ＝∠OED ， ∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ， ∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝BF ＝AF ， ∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ， ∴∠DEF ＝∠DFE ， ∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF +BD ＝CE +BD ．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 49 ． 【解答】解：∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．22．（4分）（2020•成都）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 m ≤72．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m +12≥0， 解得：m ≤72， 故答案为：m ≤72．23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 7π ．【解答】解：FA1̂的长=60⋅π⋅1180=π3，A 1B 1̂的长=60⋅π⋅2180=2π3， B 1C 1̂的长=60⋅π⋅3180=3π3， C 1D 1̂的长=60⋅π⋅4180=4π3， D 1E 1̂的长=60⋅π⋅5180=5π3， E 1F 1̂的长=60⋅π⋅6180=6π3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=π3+2π3+⋯+6π3=21π3=7π， 故答案为7π．24．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 （√2，2√2）或（2√2，√2） ．【解答】解：联立y ＝mx （m ＞0）与y =4x 并解得：{x =2√m y =±2√m，故点A 的坐标为（√m，2√m ），联立y ＝nx （n ＜0）与y =−1x 同理可得：点D （√−1n ，−√−n ），∵这两条直线互相垂直，则mn ＝﹣1，故点D （√m ，1√m ），则点B （−√m ，√m）， 则AD 2＝（√m−√m ）2+（2√m √m ）2=5m +5m ，同理可得：AB 2=5m +5m ＝AD 2，则AB =14×10√2，即AB 2=252=5m +5m ， 解得：m ＝2或12，故点A 的坐标为（√2，2√2）或（2√2，√2）， 故答案为：（√2，2√2）或（2√2，√2）．25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH ≥√13−√2，∴DH 的最小值为√13−√2， 故答案为3√2，√13−√2．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件） 12 13 14 15 16 y （件）120011001000900800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）∵y 与x 满足一次函数的关系， ∴设y ＝kx +b ，将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：{1200=12k +b 1100=13k +b ，解得：{k =−100b =2400，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣100x +2400； （2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x ﹣2﹣10）+y （x ﹣10）＝400x ﹣4800+（﹣100x +2400）（x ﹣10）＝﹣100（x ﹣19）2+7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC的值．【解答】解：（1）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴BC ＝BF ，∠FBE ＝∠EBC ， ∵BC ＝2AB ， ∴BF ＝2AB ， ∴∠AFB ＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠CBF ＝30°， ∴∠CBE =12∠FBC ＝15°；（2）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，CE ＝EF ， 又∵矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AFB +∠DFE ＝90°，∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠AFB ＝∠DEF ， ∴△F AB ∽△EDF ， ∴AF DE=AB DF，∴AF •DF ＝AB •DE ，∵AF •DF ＝10，AB ＝5， ∴DE ＝2，∴CE ＝DC ﹣DE ＝5﹣2＝3， ∴EF ＝3，∴DF =√EF 2−DE 2=√32−22=√5， ∴AF =10√5=2√5， ∴BC ＝AD ＝AF +DF ＝2√5+√5=3√5． （3）过点N 作NG ⊥BF 于点G ，∵NF ＝AN +FD ， ∴NF =12AD =12BC ， ∵BC ＝BF ， ∴NF =12BF ，∵∠NFG ＝∠AFB ，∠NGF ＝∠BAF ＝90°， ∴△NFG ∽△BF A ， ∴NG AB=FG FA=NF BF=12，设AN ＝x ，∵BN 平分∠ABF ，AN ⊥AB ，NG ⊥BF ， ∴AN ＝NG ＝x ， 设FG ＝y ，则AF ＝2y ， ∵AB 2+AF 2＝BF 2，∴（2x ）2+（2y ）2＝（2x +y ）2， 解得y =43x ．∴BF ＝BG +GF ＝2x +43x =103x ． ∴AB BC=AB BF=2x103x =35．28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a =12，∴抛物线的解析式为y =12（x +1）（x ﹣4），即y =12x 2−32x ﹣2．（2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴DF AK =DEAE ， ∴S 1S 2=S △BDE S △ABE=DE AE=DF AK，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =0b =−2，解得{k =12b =−2， ∴直线BC 的解析式为y =12x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y =−12−2=−52， ∴AK =52，设D （m ，12m 2−32m ﹣2），则F （m ，12m ﹣2），∴DF =12m −2−12m 2+32m +2=−12m 2+2m ． ∴S 1S 2=−12m 2+2m52=−15m 2+45m =−15(m −2)2+45．∴当m ＝2时，S 1S 2有最大值，最大值是45．（3）符合条件的点P 的坐标为（689，349）或（6+2√415，3+√415）． ∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y =12x ，设P （a ，a2），①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0），∴AC =√5，AB ＝5，BC ＝2√5，∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°， ∵△PQB ∽△CAB ，∴PQ PB=AC BC=12，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°，∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠PBN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠PBN ，∴△QPM ∽△PBN ， ∴QM PN=PM BN=PQ PB =12，∴QM =a4，PM =12（a ﹣4）=12a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4−a4=34a ﹣4， ∴Q （34a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a)2−32×34a ﹣2＝a ﹣2，解得a ＝0（舍去）或a =689． ∴P （689，349）．②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（54a ，2）．此时点P 的坐标为（6+2√415，3+√415）．。
2023年四川省成都市中考数学真题(含答案)
2023年成都市中考试卷数学A 卷（共100分）第I 卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.在3，，0，四个数中，最大的数是（ ）A.3B.C.0D.2.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式. 目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次. 将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.4.近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局. 如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI ）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ）A.26B.27C.33D.345.如图，在中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.6.为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目. 把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）A.B.C. D.7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长7-197-198310⨯9310⨯10310⨯11310⨯()2239x x-=-27512x x x+=()22369x x x -=-+()()22224x y x y x y-+=+ABCD AC BD =OA OC =AC BD ⊥ADC BCD∠=∠12131416短. 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x 尺，则可列方程为（）A.B.C. D.8.如图，二次函数的图象与x 轴交于，B 两点，下列说法正确的是（）A.抛物线的对称轴为直线B.抛物线的顶点坐标为C.A ，B 两点之间的距离为5D.当时，y 的值随x 值的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.因式分解：.10.若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”或“<”）.11.如图，已知，点B ，E ，C ，F 依次在同一条直线上. 若，，则CF 的长为.12.在平面直角坐标系xOy 中，点关于y 轴对称的点的坐标为.13.如图，在中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点；③以点为圆心，以MN 长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC 于点E . 若与四边()14.512x x +=-()14.512x x +=+()11 4.52x x +=-()11 4.52x x -=+26y ax x =+-()3,0A -1x =1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭1x <-23m m -=()13,A y -()21,B y -6y x=1y 2y ABC DEF △≌△8BC =5CE =()5,1P -ABC △'M 'M BAC ∠'N 'N 'DN BDE △形ACED 的面积比为4：21，则的值为 .三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1；（2）解不等式组：15.文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴. 成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.16.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）BECE()02sin 4532π︒---()225,411.3x x x x +-≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②sin160.28︒≈cos160.96︒≈tan160.29︒≈17.如图，以的边AC 为直线作，交BC 边于点D ，过点C 作交于点E ，连接AD ，DE ，.（1）求证：；（2）若，，求AB 和DE 的长.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与y 轴交于点A ，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B 作AB 的垂线l .（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上，且的面积为5，求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点，连接PA ，以P 为位似中心画，使它与位似，相似比为m .若点D ，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值.B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.若，则代数式的值为 .20.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个.ABC △O CE AB ∥O B ADE =∠∠AC BC =tan 2B =3CD =5y x =-+ky x=(),4B a ABC △PDE △PAB △23320ab b --=22221ab b a b a a b⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭21.为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出.（取3.141.73）22.如图，在中，，CD 平分交AB 于点D ，过D 作交AC 于点E ，将沿DE 折叠得到，DF 交AC 于点G . 若，则 .23.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A ，B 两种食材制作小吃. 已知购买1千克A 种食材和1千克B 种食材共需68元，购买5千克A 种食材和3千克B 种食材共需280元.（1）求A ，B 两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A 种食材千克数不少于B 种食材千克数的2倍，当A ，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过点，与y 轴交于点，直线与抛物线交于B ，C 两点.πRt ABC △90ABC ∠=︒ACB ∠DE BC ∥DEC △DEF △73AG GE =tan A =1m n ->221653=-()()22m n m n m n -=+-2y ax c =+()4,3P -()0,1A ()0y kx k =≠（1）求抛物线的函数表达式；（2）若是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；（3）过点作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E . 试探究：是否存在常数m ，使得始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.26.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在中，，，D 是AB边上一点，且（n 为正整数），E 是AC 边上的动点，过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F .【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程.【深入探究】（2）①如图2，当，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE ，BF ，AB 之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE ，BF ，AB 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.【拓展运用】（3）如图3，连接EF ，设EF 的中点为M . 若，求点E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）.ABP △()0,M m OD OE ⊥Rt ABC △90C ∠=︒AC BC =1AD BD n=1n =AE BF AB +=2n =AB =数学参考答案A 卷（共100分）第I 卷（选择题，共32分）一、选择题题号12345678答案ADCCBBAC第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题9.10.>11.312.13.三、解答题14.（1）3；（2）.15.（1）300，图略；（2）144°；（3）360.16.阴影CD 的长约为2.2米.17.（1）略；（2）18.（1）点A 的坐标为，反比例函数的表达式为；（2）点C 的坐标为或；（3）点P 的坐标为；m 的值为3.B 卷（共50分）一、填空题19.20.621.18423.15；57二、解答题24.（1）A 种食材单价是每千克38元，B 种食材单价是每千克30元；（2）A 种食材购买24千克，B 种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.25.（1）抛物线的函数表达式为；()3m m -()5,1--2341x -<≤AB =DE =()05，4y x=()69，()4,1--111,44⎛⎫-⎪⎝⎭232114y x =-+（2）点B 的坐标为或或；（3）当m 的值为2或时，始终成立.26.（1）略.（2）①，证明过程略；②当点F 在射线BC 上时，，当点F 在CB 延长线上时，.（3）点M.()4,3--(25----(25-+-+23OD OE ⊥12AE BF AB +=1AE BF AB n +=1AE BF AB n -=。
2021年成都中考数学试卷答案解析
2021年成都中考数学试卷答案解析成都市二0一二年高中阶段教育学校统一招生考试试卷(含成都市初三毕业会考)数学A卷(共100分)第1卷(选择题．共30分)一、选择题(本大题共l0个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．（2021成都）3的绝对值是（）A．3 B．3 C．11 D．33考点：绝对值。
解答：解：|3|=（3）=3．故选A．1中，自变量x 的取值范围是（）x 2A．x 2 B．x 2 C．x 2 D．x 22．（2021成都）函数y 考点：函数自变量的取值范围。
解答：解：根据题意得，x2≠0，解得x≠2．故选C．3．（2021成都）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，故选：D．4．（2021成都）下列计算正确的是（）A．a 2a 3a B．a a a C．a a 3 D．( a) a 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
解答：解：A、a+2a=3a，故本选项错误；232+35B、aa=a=a，故本选项正确；3312C、a÷a=a=a，故本选项错误；33D、（a）=a，故本选项错误．故选B5．（2021成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城2235333市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（）A．9.3 10 万元B．9.3 10万元C．93 10万元D．0.93 10万元考点：科学记数法―表示较大的数。
5解答：解：930 000=9.3×10．故选A．6．（2021成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P( 3，5)关于y轴的对称点的坐标为（）A．( 3，5) B．(3，5) C．(3．5) D．(5，3)5646考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。
2020年四川省成都市中考数学试题(含答案)
成都市二O —二年高中阶段教育学校统一招生考试试卷数学A卷（共IOO分）第1卷（选择题.共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，英中只有一项符合题目要求）1.（2020成都）一3的绝对值是（）A. 3 B・—3 C. — D・—3 3考点：绝对值。
解答：解：1-31=- （ - 3） =3.故选A.2.（2020成都）函数y = -!_中，自变量X的取值范围是（）・x — 2A. X > 2B. X <2C. x≠2D. x≠-2 考点：函数自变量的取值范围。
解答：解：根据题意得，X - 2≠O,解得x≠2.故选C.3.（2020成都）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成.其主视图为（）考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正而看得到2列正方形的个数依次为2, 1,故选：D.4.（2020成都）下列计算正确的是（）A. a+ 2a = 3cΓB. a2∙a' = CeC. CV ÷a = 3D. （-α）'=/考点：同底数幕的除法：合并同类项：同底数幕的乘法；幕的乘方与积的乘方。
解答：解：A、a+2a=3a,故本选项错误;B> a2a3=a2+3=a r',故本选项正确：C.a3÷a=a3 l=a2,故本选项错误;D、（ -a）3=-a3,故本选项错误.故选B5.（2020成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长.该工程投资预算约为930 OOO万元，这一数据用科学记数法表示为（）A. 9.3×105万元B. 9.3×106万元C. 93×104万元D. 0.93×lO6万元考点：科学记数法一表示较大的数。
解答：解：930 000=9.3×105.故选A.6.（2020成都）如图，在平面直角坐标系XOy中，点P（-3, 5）关于y轴的对称点的坐标为（）A. （ -3, -5）B. （3, 5）C. （3. -5）D. （5, -3）考点：关于X轴、y轴对称的点的坐标。
成都中考数学试题解析版
成都市二○一六年高中阶段教育学校统一招生考试（含成都市初三毕业会考）数 学 A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1. 在-3，-1，1，3四个数中，比-2小的数是（ ）(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 32．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）3. 成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一，今年4月29日成都地铁安全运输乘客约181万乘次，又一次刷新客流记录，这也是今年以来第四次客流记录的刷新，用科学记数法表示181万为（ ）(A) ×105(B) ×106(C) ×107(D) 181×1044. 计算()23x y -的结果是（ ）(A) 5x y - (B) 6x y (C) 32x y - (D) 62x y 5. 如图，2l l 1∥，∠1=56°,则∠2的度数为（ ）(A) 34° (B) 56° (C) 124° (D) 146°6. 平面直角坐标系中，点P （-2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）(A)（-2，-3） (B)（2，-3） (C)（-3，2） (D)（3, -2）7. 分式方程213xx =-的解为（ ）(A) x=-2 (B) x=-3 (C) x=2 (D) x=38.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x （单位：分）及方差2s 如下表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁9. 二次函数223y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） (A) 抛物线开口向下(B) 抛物线经过点（2，3）(C) 抛物线的对称轴是直线x=1 (D) 抛物线与x 轴有两个交点10．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC ︵的长为（ ）(A)103π (B) 109π (C) 59π (D) 518π第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题 (本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上) 11. 已知|a+2|=0，则a = ______.12. 如图，△ABC ≌△'''A B C ，其中∠A ＝36°，∠C ′＝24°，则∠B=__ _°. 13. 已知P 1（x 1,y 1），P 2（x 2 ，y 2）两点都在反比例函数2y x=的图象上，且x 1< x 2 < 0，则y 1 ____ y 2.（填“>”或“<”）14. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为_________.三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上) 15. (本小题满分12分，每题6分)(1)计算：()()322sin302016π-+-o（2）已知关于x 的方程2320x x m +-=没有实数根，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分6分） 化简：22121x x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭17.(本小题满分8分)在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A 处安置测倾器，量出高度AB ＝，测得旗杆顶端D 的仰角∠DBE ＝32°，量出测点A 到旗杆底部C 的水平距离AC ＝20m. 根据测量数据，求旗杆CD 的高度。
2022年四川省成都市中考数学真题(解析版)
2022年四川省成都市中考数学试题及答案数学A 卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.37-的相反数是（）A.37 B.37-C.73-D.73【答案】A 【解析】【分析】直接根据相反数的求法求解即可．【详解】解：任意一个实数a 的相反数为-a 由−37的相反数是37；故选A ．【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．2.2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G 基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G 网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（）A.21.610⨯ B.51.610⨯ C.61.610⨯ D.71.610⨯【答案】C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解答：解：160万=1600000=61.610⨯，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.下列计算正确的是（）A.2m m m += B.()22m n m n-=-C.222(2)4m n m n +=+D.2(3)(3)9m m m +-=-【答案】D 【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.2m m m +=，故该选项错误，不符合题意；B.()222m n m n -=-，故该选项错误，不符合题意；C.2224(2)4m n m n mn ++=+，故该选项错误，不符合题意；D.2(3)(3)9m m m +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．4.如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件，能判定ABC DEF △≌△的是（）A.BC DE =B.AE DB =C.A DEF ∠=∠D.ABC D∠=∠【答案】B 【解析】【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．【详解】A 、BC DE =，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；B 、AE DB =，利用SAS 定理可以判断ABC DEF △≌△，选项符合题意；C 、A DEF ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；D 、ABC D ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS 、SAS 、ASA 、AAS 判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．5.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数A.56B.60C.63D.72【答案】B 【解析】【分析】结合题意，根据众数的性质分析即可得到答案．【详解】根据题意，56，60，63，60，60，72这组数据的众数是：60故选：B ．【点睛】本题考查了众数的知识；解题的关键是熟练掌握众数的定义：众数是指在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，也就是一组数据中出现次数最多的数值．6.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A.B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】连接OB ，OC ，由⊙O 的周长等于6π，可得⊙O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x 个，甜果有y 个，则可列方程组为（）A.100041199979x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B.100079909411x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C.100079999x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.1000411999x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A 【解析】【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】解：设苦果有x 个，甜果有y 个，由题意可得，100041199979x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（）A.0a >B.当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C.点B 的坐标为()4,0D.420a b c ++>【答案】D 【解析】【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即0a <，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；C 、根据二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，可得对称轴()112B x x +-==，解得3B x =，即()3,0B ，故该选项不符合题意；D 、根据()3,0B 可知，当2x =时，420y a b c =++>，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x 轴交点()1,0A -得到()3,0B 是解决问题的关键．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共5个小题）9.计算：()23a -=______．【答案】6a 【解析】【分析】根据幂的乘方可直接进行求解．【详解】解：()236a a -=；故答案为6a ．【点睛】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．10.关于x 的反比例函数2m y x-=的图像位于第二、四象限，则m 的取值范围是________．【答案】2m <【解析】【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解．【详解】根据题意得：m-2＜0，解得：m ＜2．故答案为：m ＜2．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y ＝kx（k≠0），（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．11.如图，ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF的周长比是_________．【答案】2:5【解析】【分析】根据位似图形的性质，得到OCA OFD ∆∆ ，根据:2:3OA AD =得到相似比为25CA OA OA FD OD OA AD ===+，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．【详解】解： ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，∴OCA OFD ∆∆ ，∴CA OAFD OD=， :2:3OA AD =，∴25CA OA OA FD OD OA AD ===+，∴根据ABC 与DEF 的周长比等于相似比可得25ABC DEF C CA C FD ∆∆==，故答案为：2:5．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．12.分式方程31144x x x-+=--的解是_________．【答案】3x =【解析】【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x 的系数化为1，求出x 的值，将求出的x 的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．【详解】解：31144x x x-+=--解：化为整式方程为：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解，故答案为：3x =．【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．13.如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．【答案】7【解析】【分析】连接EC ，依据垂直平分线的性质得EB EC =．由已知易得90BEC CEA ∠∠=︒＝，在Rt △AEC 中运用勾股定理求得AE ，即可求得答案．【详解】解：由已知作图方法可得，MN 是线段BC 的垂直平分线，连接EC ，如图，所以BE CE =，所以45ECB B ∠=∠=︒，所以∠BEC =∠CEA =90°，因为5AC =，4BE =，所以4CE =，在AEC △中，3AE ==，所以347AB AE BE =+=+=，因此AB 的长为7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得AE 即可．三、解答题（本大题共5个小题）14.计算：113tan 3022-⎛⎫+︒+ ⎪⎝⎭．（2）解不等式组：3(2)252123x x x x +≥+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②．【答案】（1）1；（2）12x -≤<【解析】【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．【详解】解：（1）113tan 3022-⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭=-+⨯+23323=-+-12=1．（2）3(2)252123x x x x +≥+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②不等式①的解集是x ≥-1；不等式②的解集是x＜2；所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．等级时长：（单位：分钟）人数所占百分比A02t≤<4xB24t≤<20C46t≤<36%D6t≥16%根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生总人数为_________，表中x的值为_________；（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）50，8%（2）200（3）2 3【解析】【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A 的学生人数；（2）利用概率计算公式先求出等级为B 的学生所占的百分比，再求出等级为B 的学生人数；（3）记两名男生为a ，b ，记两名女生为c ，d ，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【小问1详解】解：∵D 组人数为8人，所占百分比为16%，∴总人数为816%50÷=人，∴4508%x =÷=．【小问2详解】解：等级为B 的学生所占的百分比为205040%÷=，∴等级为B 的学生人数为50040%200⨯=人．【小问3详解】解：记两名男生为a ，b ，记两名女生为c ，d ，列出表格如下：∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，82123P ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．16.2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin 720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan 72 3.08︒≈）【答案】约为19cm【解析】【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△A DO'中，根据正弦函数求得A D'的值．【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=10201sin302OC==°，在Rt△A DO'中，18072A OC A OBⅱÐ=°-Ð=°，20OA OA'==cm，∴sin72200.9519A D OAⅱ=盎�cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．17.如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在 CD 上取一点E，使BE CD=，连接DE，作射线CE交AB边于点F．（1）求证：A ACF∠=∠；（2）若8AC=，4cos5ACF∠=，求BF及DE的长．【答案】（1）见解析（2）BF=5，4225DE=【解析】【分析】（1）根据Rt ABC△中，90ACB∠=︒，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据BE CD=，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF ，得到AF =CF ，BF =CF ，推出AF =BF =12AB ，根据4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，得到AB =10，得到BF =5，根据6BC ==，得到3sin 5BC A AB ==，连接CD ，根据BC 是⊙O 的直径，得到∠BDC =90°，推出∠B +∠BCD =90°，推出∠A =∠BCD ，得到3sin 5BD BCD BC ∠==，推出185BD =，得到75DF BF BD =-=，根据∠FDE =∠BCE ，∠B =∠BCE ，得到∠FDE =∠B ，推出DE ∥BC ，得到△FDE ∽△FBC ，推出DE DF BC BF =，得到4225DE =．【小问1详解】解：∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =∠ACF +∠BCF =90°，∵ BECD =，∴∠B =∠BCF ，∴∠A =∠ACF ；【小问2详解】∵∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF ∴AF =CF ，BF =CF ，∴AF =BF =12AB ，∵4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，∴AB =10，∴BF =5，∵6BC ==，∴3sin 5BC A AB ==，连接CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC =90°，∴∠B +∠BCD =90°，∴∠A =∠BCD ，∴3sin 5BD BCD BC ∠==，∴185BD =，∴75DF BF BD =-=，∵∠FDE =∠BCE ，∠B =∠BCE ，∴∠FDE =∠B ，∴DE ∥BC ，∴△FDE ∽△FBC ，∴DE DFBC BF=，∴4225DE =．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=，点B 的坐标为()2,2（2）或5172（3）()4,1--，()1,5-【解析】【分析】(1)首先把点A 的坐标代入26y x =-+，即可求得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入ky x=，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B 的坐标；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点C 的坐标为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 与y 轴的交点为点D ，把点A 、C 的坐标分别代入y =kx +b ，可求得点D 的坐标为40,4m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可求得AD 、CD 的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点B 作PB AB ⊥，交4y x=的另一支于点P ，过点P 作x 轴的平行线，过点B 作x 轴的垂线，交于点C ，作AD BC ⊥交于点D ，设,BQ AP 交于点M ，根据ADB BCP ∽，求得点P 的坐标，进而求得AP 的解析式，设点D 的坐标为(a ，b )，根据定义AQ AB =以及M 在直线AP 上，建立方程组，即可求得点Q 的坐标．【小问1详解】解：把点A 的坐标代入26y x =-+，得426a =-+，解得a =1，故点A 的坐标为(1,4)，把点A 的坐标代入k y x=，得k =4，故反比例函数的表达式为4y x=，264y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得232=0x x -+，解得11x =，22x =，故点A 的坐标为(1,4)，点B 的坐标为()2,2；【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点C 的坐标为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 与y 轴的交点为点D ，把点A 、C 的坐标分别代入y =kx +b ，得44k b mk b m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得444k m b m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故点D 的坐标为40,4m ⎛⎫+⎪⎝⎭，AD ∴==，CD ==，如图：当AD :CD =1:2时，连接BC ，12=，得2264120m m-+=，得4212640m m +-=，解得24m =或216m =-(舍去)，故2m =-或2m =(舍去)，故此时点C 的坐标为(-2,-2)，BC ∴==如图：当CD :AD =1:2时，连接BC ，12=，得22164630m m-+=，得4263160m m +-=，解得214m =或216m =-(舍去)，故12m =-或12m =(舍去)，故此时点C 的坐标为1,82⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5172BC ∴==，综上，BC 的长为或5172；【小问3详解】解：如图，过点B 作PB AB ⊥，交4y x=的另一支于点P ，过点P 作x 轴的平行线，过点B 作x 轴的垂线，交于点C ，作AD BC ⊥交于点D ，设,BQ AP 交于点M ，如图∵()()1,4,2,2A B ∴()2,4D设4,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0m <，则42,2,2,1PC m BC DB AD m=-=-==90︒∠= ABP 90ABD PBC BPC∴∠=︒-∠=∠又D C∠=∠∴ADB BCP∽AD DB BC PC ∴=即12=422mm --解得4m =-或2m =（舍去）则点()4,1P --设直线PA 的解析式为y sx t =+，将点()1,4A ，()4,1P --414s t s t -+=-⎧⎨+=⎩解得13s t =⎧⎨=⎩∴直线PA 的解析式为3y x =+设(),Q a b ，根据题意，BQ 的中点M 在直线PB 上，则M 2222a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，∵QA AB ====则()()22223=22145a b a b ++⎧+⎪⎨⎪-+-=⎩解得15a b =-⎧⎨=⎩或06a b =⎧⎨=⎩（在直线AB 上，舍去）()1,5Q ∴-．综上所述，()()4,1,1,5P Q ---．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．B 卷一、填空题（本大题共5个小题）19.已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________．【答案】72##3.5##312【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：2211a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a aa a ⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a -+-÷＝22(1)1a a a a -⨯-＝(1)a a -＝2-a a ．2272a a -=，移项得2227a a -=，左边提取公因式得22()7a a -=，两边同除以2得272a a -=，∴原式＝72．故答案为：72．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．【答案】【解析】【分析】由题意解一元二次方程2640x x -+=得到3x =+3x =-，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是【详解】解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，∴由公式法解一元二次方程2640x x -+=可得63616625322x ±===，∴根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．21.如图，已知⊙O 是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．【答案】24π-【解析】【分析】如图，设OA =a ，则OB =OC =a ，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．【详解】解：如图，设OA =a ，则OB =OC =a ，由正方形的性质可知∠AOB =90°，AB ==，由正方形的性质可得CD =CE =OC =a ，∴DE =2a ，S 阴影=S 圆-S 小正方形=)()2222222a a a a πππ-=-=-，S 大正方形=()2224a a =，∴这个点取在阴影部分的概率是()222244a a ππ--=，故答案为：24π-【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．22.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t （秒）之间满足函数关系25h t mt n =-++，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w 表示0秒到t 秒时h 的值的“极差”（即0秒到t 秒时h 的最大值与最小值的差），则当01t ≤≤时，w 的取值范围是_________；当23t ≤≤时，w 的取值范围是_________．【答案】①.05w ≤≤②.520w ≤≤【解析】【分析】根据题意，得-45+3m +n =0，24(5)204(5)n m ⨯-⨯-=⨯-，确定m ，n 的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【详解】根据题意，得-45+3m +n =0，24(5)204(5)n m ⨯-⨯-=⨯-，∴2204000m n +-=，∴2605000m m -+=，解得m =50，m =10，当m =50时，n =-105；当m =10时，n =15；∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴n ＞0，∴251015h t t =-++，∵对称轴为t =102(5)-⨯-=1，a =-5＜0，∴01t ≤≤时，h 随t 的增大而增大，当t =1时，h 最大，且max 20h =（米）；当t =0时，h 最最小，且min 15h =（米）；∴w =max min 20155h h -=-=，∴w 的取值范围是05w ≤≤，故答案为：05w ≤≤．当23t ≤≤时，w 的取值范围是∵对称轴为t =102(5)-⨯-=1，a =-5＜0，∴123t ≤≤＜时，h 随t 的增大而减小，当t =2时，h =15米，且max 20h =（米）；当t =3时，h 最最小，且min 0h =（米）；∴w =max min 20155h h -=-=，w =max min 20020h h -=-=，∴w 的取值范围是520w ≤≤，故答案为：520w ≤≤．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．23.如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE CD ⊥交对角线AC 于点E ，连接BE ，点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P '，点Q 是AC 上一动点，连接P Q '，DQ ．若14AE =，18CE =，则DQ P Q '-的最大值为_________．【答案】1623【解析】【分析】延长DE ，交AB 于点H ，确定点B 关于直线DE 的对称点F ，由点B ，D 关于直线AC 对称可知QD=QB ，求QD QP '-最大，即求QB QP '-最大，点Q ，B ，P '共线时，QD QP QB QP BP '''-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP '最大，当点P '与点F 重合时，得到最大值.连接BD ，即可求出CO ，EO ，再说明EOD DOC V :V ，可得DO ，根据勾股定理求出DE ，然后证明EOD BHD V :V ，可求BH ，即可得出答案．【详解】延长DE ，交AB 于点H ，∵AB CD ，ED ⊥CD ，∴DH ⊥AB ．取FH=BH ，∴点P 的对称点在EF 上．由点B ，D 关于直线AC 对称，∴QD=QB ．要求QD QP '-最大，即求QB QP '-最大，点Q ，B ，P '共线时，QD QP QB QP BP '''-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP '最大，当点P '与点F 重合时，得到最大值BF ．连接BD ，与AC 交于点O ．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO +∠DEO =90°，∠EDO +∠CDO =90°，∴∠DEO=∠CDO ．∵∠EOD=∠DOC ，∴EOD DOC V :V ，∴EO DO DO CO=，即221632DO =⨯=，解得DO =，∴2BD DO ==．在Rt △DEO 中，6DE ==．∵∠EDO=∠BDH ，∠DOE=∠DHB ，∴EOD BHD V :V ，∴EO DE BH BD=，即2BH =解得3BH =，∴23BF BH ==．故答案为：1623．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．二、解答题24.随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h ，乙骑行的路程()km s 与骑行的时间()h t 之间的关系如图所示．（1）直接写出当00.2t ≤≤和0.2t >时，s 与t 之间的函数表达式；（2）何时乙骑行在甲的前面？【答案】（1）当00.2t ≤≤时，15s t =；当0.2t >时，201s t =-（2）0.5小时后【解析】【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．【小问1详解】由函数图像可知，设00.2t ≤≤时，s kt =，将()0.2,3代入，得3150.2s k t ===，则15s t =，当0.2t >时，设s at b =+，将()0.2,3，()0.5,9代入得0.230.59t b t b +=⎧⎨+=⎩解得201t b =⎧⎨=-⎩∴201s t =-【小问2详解】由（1）可知00.2t ≤≤时，乙骑行的速度为15km /h ，而甲的速度为18km/h ，则甲在乙前面，当0.2t >时，乙骑行的速度为20km /h ，甲的速度为18km/h ，设x 小时后，乙骑行在甲的前面则18201x x <-解得0.5x >答：0.5小时后乙骑行在甲的前面【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =-≠与抛物线2y x =-相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 关于y 轴的对称点为B '．（1）当2k =时，求A ，B 两点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB '，BB '，若B AB 'V 的面积与OAB 的面积相等，求k 的值；（3）试探究直线'AB 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为()3,9--，点B 的坐标为()1,1-（2）2或2-（3）是，()0,3【解析】【分析】(1)解方程组223y x y x=-⎧⎨=-⎩，整理得到2230x x +-=，解方程即可得到答案．(2)分k ＜0和k ＞0，两种情形求解．(3)设直线A B '的解析式为y =px +q ，根据题意求得p ，q 的值，结合方程组的意义，确定与y 轴的交点即可．【小问1详解】根据题意，得223y x y x =-⎧⎨=-⎩，整理得到2230x x +-=，解方程，得123,1x x =-=，当x =-3时，y =-9；当x =1时，y =-1；∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为（-3，-9），点B 的坐标为（1，-1）．【小问2详解】∵A ，B 是抛物线2y x =-图像上的点，设A （m ，2m -），B （n ，2n -），则B '（-n ，2n -），当k ＞0时，根据题意，得23y kx y x =-⎧⎨=-⎩，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=的两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线y =kx -3与y 轴的交点为D ，则点D （0，-3）∴13()()22OAB S OD n m n m =-=⨯- △，2211()2()22B AB B A S BB y y n n m '''=-=⨯⨯-+ △，∴3()2n m ⨯-=2212()2n n m ⨯⨯-+=12()()2n m n m n ⨯⨯+-，∴3=2()n m n -⨯+=2nk ，∴2nk mn =-，∵n ≠0，∴2m k =-，n k =，∴23k k -⨯=-，解得k =2或k =-2(舍去)，故k =2；当k ＜0时，根据题意，得23y kx y x=-⎧⎨=-⎩，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=的两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线y =kx -3与y 轴的交点为D ，则点D （0，-3）∴13()()22OAB S OD n m n m =-=⨯- △，2211()2()22B AB A B S BB y y n n m '''=-=⨯⨯- △，∴3()2n m ⨯-=2212()2n n m ⨯⨯-=12()()2n m n n m ⨯⨯+-，∴3=2()n m n ⨯+=-2nk ，∴-2nk mn =-，∵n ≠0，∴2m k =，3n k =-，∴2(3)3k k ⨯-=-，解得k =-2或k =2(舍去)，故k =-22；综上所述，k 的值为2或22-．【小问3详解】直线A B '一定过定点（0，3）．理由如下：∵A ，B 是抛物线2y x =-图像上的点，∴设A （m ，2m -），B （n ，2n -），则B '（-n ，2n -），根据题意，得23y kx y x =-⎧⎨=-⎩，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=的两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线A B '的解析式为y =px +q ，根据题意，得22m mp q n np q⎧-=+⎨-=-+⎩，解得p n m q mn =-⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式为y =（n -m ）x -mn ，∵mn =-3，∴-mn =3，∴直线A B '的解析式为y =（n -m ）x ，故直线A B '一定过定点（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，()1AD nAB n =>，点E 是AD 边上一动点（点E 不与A ，D 重合），连接BE ，以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ，使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ，EG 交直线CD 于点H ．（1）【尝试初探】在点E 的运动过程中，ABE △与DEH △始终保持相似关系，请说明理由．（2）【深入探究】若2n =，随着E 点位置的变化，H 点的位置随之发生变化，当H 是线段CD 中点时，求tan ABE ∠的值．（3）【拓展延伸】连接BH ，FH ，当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时，求tan ABE ∠的值（用含n 的代数式表示）．【答案】（1）见解析（2）222-或222+（3）2n【解析】【分析】（1）根据题意可得∠A =∠D =∠BEG =90°，可得∠DEH =∠ABE ，即可求证；（2）根据题意可得AB =2DH ，AD =2AB ，AD =4DH ，设DH =x ，AE =a ，则AB =2x ，AD =4x ，可得DE =4x -a ，再根据△ABE ∽△DEH，可得(22a x =或(22a ，即可求解；（3）根据题意可得EG =nBE ，然后分两种情况：当FH =BH 时，当FH =BF =nBE 时，即可求解．【小问1详解】解：根据题意得：∠A =∠D =∠BEG =90°，∴∠AEB +∠DEH =90°，∠AEB +∠ABE =90°，∴∠DEH =∠ABE ，∴△ABE ∽△DEH ；【小问2详解】解：根据题意得：AB =2DH ，AD =2AB ，∴AD =4DH ，设DH =x ，AE =a ，则AB =2x ，AD =4x ，∴DE =4x -a ，∵△ABE ∽△DEH ，∴AB AE DE DH=，∴24x a x a x =-，解得：(22a x =或(22a -，∴(2AB a =或(2a ，∴22tan 2AE ABE AB -∠==或22+；【小问3详解】解：∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，()1AD nAB n =>，∴EG =nBE ，如图，当FH =BH 时，∵∠BEH =∠FGH =90°，BE =FG ，∴Rt △BEH ≌Rt △FGH ，∴EH =GH=12EG ，∴2n EH BE =，∵△ABE ∽△DEH ，∴2DE EH n AB BE ==，即2n DE AB =，∴2n AE AD DE AB =-=，∴tan 2AE n ABE AB ∠==；如图，当FH =BF =nBE 时，HG ==，∴(EH EG HG n BE =-=-，∵△ABE ∽△DEH ，∴DE EH n AB BE ==-(DE n AB =-，∴AE AD DE =-=，∴tan AE ABE AB==∠；综上所述，tan ABE ∠的值为2n 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．。
2023年成都市中考数学试卷及答案
2023年成都市中考数学试题A 卷（共100分） 第I 卷（选择题,共32分）一、选择题（本大题共有8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求）1. 在3,7-,0,19四个数中,最大的数是（ ） A. 3B. 7-C. 0D.192. 将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. 8310⨯B. 9310⨯C. 10310⨯D. 11310⨯3. 下列计算正确的是（ ） A. 22(3)9x x -=- B. 27512x x x +=C. 22(3)69x x x -=-+D. 22(2)(2)4x y x y x y -+=+4. 近年来,随着环境治理的不断深入,成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好,杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI ）：33,27,34,40,26,则这组数据的中位数是（ ） A. 26B. 27C. 33D. 345. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,则下列结论一定正确的是（ ）A. AC BD =B. OA OC =C. AC BD ⊥D. ADC BCD ∠=∠ 6. 学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目,老师提供6张背面完全相同的卡片,其中蔬菜类有4张,正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张,正面分别印有草莓、西瓜图案,每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀,小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）A.12B.13C.14D.167. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木,不知长短．引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺,则可列方程为（ ）A. 1( 4.5)12x x +=- B.1( 4.5)12x x +=+ C. 1(1) 4.52x x +=-D. 1(1) 4.52x x -=+8. 如图,二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A -,B 两点,下列说法正确的是（ ）A. 抛物线的对称轴为直线1x =B. 抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. A ,B 两点之间的距离为5D. 当1x <-时,y 的值随x 值的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题,共68分）二、填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分）9. 因式分解：m 2﹣3m ＝__________．10. 若点()()123,y ,1,A B y --都在反比例函数6y x=的图象上,则1y _______2y （填“>”或“<”）．11. 如图,已知ABC DEF ≌△△,点B ,E ,C ,F 依次在同一条直线上．若85BC CE ==，,则CF 的长为___________．12. 在平面直角坐标系xOy 中,点()5,1P -关于y 轴对称的点的坐标是___________． 13. 如图,在ABC ∆中,D 是边AB 上一点,按以下步骤作图：①以点A 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB ,AC 于点M ,N ；①以点D 为圆心,以AM 长为半径作弧,交DB 于点M '；①以点M '为圆心,以MN 长为半径作弧,在BAC ∠内部交前面的弧于点N '：①过点N '作射线DN '交BC 于点E ．若BDE ∆与四边形ACED 的面积比为4:21,则BECE的值为___________．三、解答题（本大题共5个小题,共48分）14. （12sin 45(π3)2|︒--︒+．（2）解不等式组：()2254113x x x x ⎧+-≤⎪⎨+>-⎪⎩①② 15. 文明是一座城市的名片,更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼,于贴心处落地,积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动,其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”,每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况,该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生,将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息,解答下列问题：（1）本次调查的师生共有___________人,请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中,求“敬老服务”对应的圆心角度数：（3）该校共有1500名师生,若有80%的师生参加志愿者服务,请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．16. 为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷,便于社区居民休憩．如图,在侧面示意图中,遮阳篷AB 长为5米,与水平面的夹角为16︒,且靠墙端离地高BC 为4米,当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45︒时,求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28,cos160.96,tan160.29︒≈︒≈︒≈）17. 如图,以ABC ∆的边AC 为直径作O ,交BC 边于点D ,过点C 作CE AB ∥交O 于点E ,连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．（1）求证：AC BC =；（2）若tan 23B CD ==，,求AB 和DE 的长．18. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线5y x =-+与y 轴交于点A ,与反比例函数k y x=的图象的一个交点为(,4)B a ,过点B 作AB 的垂线l ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上,且ABC ∆的面积为5,求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点,连接P A ,以P 为位似中心画PDE ∆,使它与PAB ∆位似,相似比为m ．若点D ,E 恰好都落在反比例函数图象上,求点P 的坐标及m 的值．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分）19. 若23320ab b --=,则代数式22221ab b a b a a b⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭的值为___________． 20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,它的主视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体的小立方块最多有___________个．21. 为传承非遗文化,讲好中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半径是10米,从A 到B 有一笔直的栏杆,圆心O 到栏杆AB 的距离是5米,观众在阴影区域里观看演出,如果每平方米可以坐3名观众,那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（π取 1.73）22. 如图,在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,过D 作DE BC ∥交AC 于点E ,将DEC ∆沿DE 折叠得到DEF ∆,DF 交AC 于点G ．若73AG GE =,则tan A =__________．23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ,n 的平方差,且1m n ->,则称这个正整数为“智慧优数”．例如,221653=-,16就是一个智慧优数,可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列,则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．二、解答题（本大题共3个小题,共30分）24. 2023年7月28日至8月8日,第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主,热情迎嘉宾”,成都某知名小吃店计划购买A ,B 两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B 种食材共需68元,购买5千克A 种食材和3千克B 种食材共需280元． （1）求A ,B 两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克,其中购买A 种食材千克数不少于B 种食材千克数的2倍,当A ,B 两种食材分别购买多少千克时,总费用最少？并求出最少总费用． 25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -,与y 轴交于点(0,1)A ,直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ,C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形,求点B 的坐标；（3）过点(0,)M m 作y 轴的垂线,交直线AB 于点D ,交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ,使得OD OE ⊥始终成立？若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt ABC △中,90,C AC BC ∠=︒=,D 是AB 边上一点,且1AD BD n=（n 为正整数）.E 是AC 边上的动点,过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】（1）如图1,当1n =时,兴趣小组探究得出结论：2AE BF AB +=,请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2,当2n =,且点F 在线段BC 上时,试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系,请写出结论并证明；①请通过类比、归纳、猜想,探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论,不必证明） 【拓展运用】（3）如图3,连接EF ,设EF 的中点为M ．若AB =求点E 从点A 运动到点C 的过程中,点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）.2023年成都市中考数学试题答案A 卷（共100分）一、选择题.1. A2. D3. C4. C5. B6. B7. A8. C二、填空题.9. ()3m m - 10. > 11. 3 12. ()5,1-- 13.23解：根据作图可得BDE A ∠=∠ ①DE AC ∥ ①BDE BAC ∽△△①BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21①24214BDC BACS BE SBC ⎛⎫== ⎪+⎝⎭①25BE BC = ①BE CE 23= 故答案为：23．三、解答题.14. （1）3 （2）41x -<≤15. （1）300,图见解析 （2）144︒ （3）360人 【小问1详解】解：依题意,本次调查的师生共有6020%300÷=人 ①“文明宣传”的人数为300601203090---=（人） 补全统计图,如图所示故答案为：300． 【小问2详解】在扇形统计图中,求“敬老服务”对应的圆心角度数为360120430014⨯︒=︒ 【小问3详解】估计参加“文明宣传”项目的师生人数为90150080%360300⨯⨯=（人）． 16. 2.2米解：如图所示,过点A 作AG BC ⊥于点G ,AF CE ⊥于点F ,则四边形AFCG 是矩形依题意, 16BAG ∠=︒,5AB =（米）在Rt ABG △中,sin 5sin1650.28 1.4GB AB BAG =⨯∠=⨯︒≈⨯=（米）cos1650.96 4.8AG AB =⨯︒≈⨯=（米）,则 4.8CF AG ==（米）①4BC =（米）①4 1.4 2.6AF CG BC BG ==-=-=（米） ①45ADF ∠=︒① 2.6DF AF ==（米）① 4.8 2.6 2.2CD CF DF =-=-=（米）． 17. （1）略（2）AB =DE =【小问2详解】 解：设BD x =AC 是O 的直径90ADC ADB ∴∠=∠=︒tan 2B =2ADBD∴=,即2AD x = 根据（1）中的结论,可得3AC BC BD DC x ==+=+ 根据勾股定理,可得222AD DC AC +=,即()()222233x x +=+ 解得12x =,20x =（舍去）2BD ∴=,4=AD根据勾股定理,可得AB =； 如图,过点E 作DC 的垂线段,交DC 的延长线于点FCB CA =1802ACB B ∴∠=︒-∠（1）中已证明B ACE ∠=∠180ECF ACB ACE B ∴∠=︒-∠-∠=∠EF CF ⊥tan tan 2ECF B ∴∠=∠=,即2EF CF= 90B BAD ∠+∠=︒,90ADE EDF ∠+∠=︒,B ADE ∠=∠BAD EDF ∴∠=∠9090DEF EDF BAD B ∴∠=︒-∠=︒-∠=∠2DF EF∴= 设CF a =,则3DF DC CF a =+=+2EF a ∴= 可得方程322a a+=,解得1a = 2EF ∴=,4DF =根据勾股定理,可得DE =18. （1）点A 的坐标为(0,5),反比例函数的表达式为4y x =（2）点C 的坐标为(6,9)或(4,1)--（3）点P 的坐标为111,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；m 的值为3 【小问1详解】解：令0x =,则55y x =-+=①点A 的坐标为(0,5)将点(,4)B a 代入5y x =-+得：45a =-+解得：1a =①(1,4)B将点(1,4)B 代入k y x =得：41k = 解得：4k =①反比例函数的表达式为4y x=； 【小问2详解】解：设直线l 于y 轴交于点M ,直线5y x =-+与x 轴得交点为N令50y x =-+=解得：5x =①(5,0)N①5OA ON ==又①90AON ∠=︒①45OAN ∠=︒①(0,5)A ,(1,4)B①AB ==又①直线l 是AB 的垂线即90ABM ∠=︒,45OAN ∠=︒①AB BM ==2AM ==①()0,3M设直线l 得解析式是：11y k x b =+将点()0,3M ,点(1,4)B 代入11y k x b =+得：11143k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：1143k b =⎧⎨=⎩ ①直线l 的解析式是：3y x ,设点C 的坐标是()3t t +， ①1121522ABC B C S AM x x t △,(,B C x x 分别代表点B 与点C 的横坐标) 解得： 4t =-或6当4t =-时,31t +=-；当6t =时,39t +=①点C 的坐标为(6,9)或(4,1)--.【小问3详解】①位似图形的对应点与位似中心三点共线①点B 的对应点也在直线l 上,不妨设为点E ,则点A 的对应点是点D①点E 是直线l 与双曲线4y x=的另一个交点 将直线l 与双曲线的解析式联立得：43y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得：14x y =⎧⎨=⎩或41x y =-⎧⎨=-⎩ ①()4,1E --画出图形如下：又①D PAB P E △∽△①D PAB P E ∠=∠①AB DE ∥①直线AB 与直线DE 的解析式中的一次项系数相等设直线DE 的解析式是：2y x b =-+将点()4,1E --代入2y x b =-+得：()214b -=--+解得：25b =-①直线DE 的解析式是：=5y x --①点D 也在双曲线4y x=上 ①点D 是直线DE 与双曲线4y x =的另一个交点 将直线DE 与双曲线的解析式联立得：45y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩ 解得：14x y =-⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=-⎩ ①()1,4D --设直线AD 的解析式是：33y k x b =+将点(0,5)A ,()1,4D --代入33y k x b =+得：33345k b b -+=-⎧⎨=⎩解得：1195k b =⎧⎨=⎩ ①直线AD 的解析式是：95y x =+又将直线AD 的解析式与直线l 的解析式联立得：953y x y x =+⎧⎨=+⎩解得：14114x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点P 的坐标为111,44⎛⎫- ⎪⎝⎭①BP ==EP ==①3EP m BP==. B 卷（共50分）一、填空题. 19. 23解：22221ab b a b a a b⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭ 22222a b a ab b a a b ⎛⎫-+=⨯ ⎪-⎝⎭()222a b a b a a b⨯--= 2ab b =-23320ab b --=2332ab b ∴-=223ab b ∴-= 故原式的值为23 故答案为：23． 20. 6 解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个,第二列最多1个小正方形,如图所示①搭成这个几何体的小立方块最多有22116+++=故答案为：6．21. 184解：如图,过点O 作AB 的垂线段,交AB 于点C圆心O 到栏杆AB 的距离是5米5OC ∴=米OC AB ⊥1sin2OC OBC OB ∴∠==,22AB BC AC ====米 30OBC ∴∠=︒OA OB =1802120AOB OAB ∴∠=︒-∠=︒∴可容纳的观众=阴影部分面积()21201333105184.253602AOB AOB S S π︒⎛⎫⨯=⨯-=⨯⨯⨯-⨯≈ ⎪︒⎝⎭△扇形（人） ∴最多可容纳184名观众同时观看演出故答案为：184．22.解：如图所示,过点G 作GM DE ⊥于M①CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,DE BC ∥①12∠=∠,23∠∠=①13∠=∠①ED EC =①折叠①3=4∠∠①14∠=∠又①DGE CGD ∠=∠①DGE CGD ∽ ①DG GE CG DG= ①2DG GE GC =⨯①90ABC ∠=︒,DE BC ∥,则AD DE ⊥①AD GM ∥ ①AG DM GE ME=,MGE A ∠=∠ ①73DM ME AG GE == 设3,7GE AG ==,3EM n =,则7DM n =,则10EC DE n ==①2DG GE GC =⨯①()23310930DG n n =⨯+=+ 在Rt DGM △中,222GM DG DM =-在Rt GME △中,222GM GE EM =-①2222DG DM GE EM -=-即()()222930733n n n +-=- 解得：34n =①94EM =,3GE =则4GM ===①9tan tan ME A EGM MG =∠===故答案为：7． 23. ①. 15 ①. 57解：依题意, 当3m =,1n =,则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =,2n =,则第2个智慧优数为224214-=当4m =,1n =,则第3个智慧优数为224115-=当5m =,3n =,则第5个智慧优数为225316-=当5m =,2n =,则第6个智慧优数为225221-=当5m =,1n =,则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数,同理7m =时有5个,8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数,当9m =时,7n =,第22个智慧优数为2297814932-=-=第23个智慧优数为9,6m n ==时,2296813657-=-=故答案为：15,57．二、解答题.24. （1）A 种食材单价是每千克38元,B 种食材单价是每千克30元（2）A 种食材购买24千克,B 种食材购买12千克时,总费用最少,为1272元【小问1详解】解：设A 种食材的单价为a 元,B 种食材的单价为b 元,根据题意得6853280a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3830a b =⎧⎨=⎩答：A 种食材的单价为38元,B 种食材的单价为30元；【小问2详解】解：设A 种食材购买x 千克,则B 种食材购买()36x -千克,根据题意()236x x ≤-解得：24x ≤设总费用为y 元,根据题意,()38303681080y x x x =+-=+①80>,y 随x 的增大而增大①当24x =时,y 最小①最少总费用为82410801272⨯+=（元）.25. （1）2114y x =-+ （2）点B 的坐标为(4,3)--或(25----或(25-+-+ （3）存在,m 的值为2或23【小问1详解】解：①抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -,与y 轴交于点(0,1)A ①1631a c c +=-⎧⎨=⎩,解得141a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ①抛物线的函数表达式为2114y x =-+；【小问2详解】 解：设21,14B t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭根据题意,ABP 是以AB 为腰的等腰三角形,有两种情况：当AB AP =时,点B 和点P 关于y 轴对称①()4,3P -,①()4,3B --；当AB BP =时,则22AB BP =①()()2222221101141344t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理,得24160t t +-=解得12t =--22t =-+当2t =--时,2114t -+(212154=-⨯--+=--则(25B ----当2t =-+,2114t -+(212154=-⨯-++=-+则(25B -+-+综上,满足题意的点B 的坐标为(4,3)--或(25----或(25-+-+；【小问3详解】解：存在常数m ,使得OD OE ⊥．根据题意,画出图形如下图设抛物线2114y x =-+与直线(0)y kx k =≠的交点坐标为(),B a ka ,(),C b kb 由2114y x kx =-+=得2440x kx +-= ①4a b k +=-,4ab =-；设直线AB 的表达式为y px q =+则1ap q ka q +=⎧⎨=⎩,解得11ka p a q -⎧=⎪⎨⎪=⎩ ①直线AB 的表达式为11ka y x a-=+ 令y m =,由11ka y x m a -=+=得()11a m x ka -=- ①()1,1a m D m ka -⎛⎫ ⎪-⎝⎭同理,可得直线AC 的表达式为11kb y x b -=+,则()1,1b m E m kb -⎛⎫ ⎪-⎝⎭过E 作EQ x ⊥轴于Q ,过D 作DN x ⊥轴于N则90EQO OND ∠=∠=︒,EQ ND m ==,()11b m QO kb -=--,()11a m ON ka -=- 若OD OE ⊥,则90EOD ∠=︒①90QEO QOE DON QOE ∠+∠=∠+∠=︒①QEO DON ∠=∠①EQO OND ∽①EQ QO ON ND= 则()()1111b m m kb a m mka ---=-- 整理,得()()()22111m ka kb ab m --=--即()()22211m abk k a b ab m ⎡⎤-++=--⎣⎦ 将4a b k +=-,4ab =-代入,得()()222244141mk k m -++=- 即()2241m m =-,则()21m m =-或()21m m =--解得12m =,223m = 综上,存在常数m ,使得OD OE ⊥,m 的值为2或23． 26. （1）见解析（2）①123AE BF AB +=,证明过程略 ①当点F 在射线BC 上时,11AE BF AB n n +=+,当点F 在CB 延长线上时1AE BF AB n -= （3证明：如图,连接CD当1n =时,1AD BD=,即AD BD = 90,C AC BC ∠=︒=∴45A B ∠=∠=︒,CD AB ⊥,1452FCD ACB ∠=∠=︒ CD AD ∴=,AB =,即2BC AB = DE FD ⊥90ADE EDC FDC EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒CDF ADE ∠=∠∴在ADE ∆与CDF ∆中ADE CDF DA DCDAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ADE CDF ∴≌AE CF ∴=2BC CF BF AE BF AB ∴=+=+=； 【小问2详解】①123AE BF AB += 证明：如图,过BD 的中点G 作BC 的平行线,交DF 于点J ,交AC 于点H当2n =时,12AD DB =,即2AD DB =G 是DB 的中点AD DG ∴=,23AG AB =HG BC ∥90AHG C ∴∠=∠=︒,45HGA B ∠=∠=︒45A ∠=︒∴AHG 是等腰直角三角形,且DJG DBF △∽△12JG DG FB DB ∴==根据（1）中的结论可得2AE JG AG +=1223AE JG AE FB AG AB AB ∴+=+===；故线段AE BF AB ，，之间的数量关系为123AE BF AB +=； ①解：当点F 在射线BC 上时 如图,在DB 上取一点G 使得AD DG =,过G 作BC 的平行线,交DF 于点J ,交AC 于点H同①,可得2AE JG AG += 1AD BD n =,AD DG = 1DG BD n ∴=,21AG AB n =+ 同①可得1JG DG FB DB n==121AE JG AE FB AG AB AB n n ∴+=+===+即线段AE BF AB ，，之间数量关系为11AE BF AB n n +=+； 当点F 在CB 延长线上时如图,在DB 上取一点G 使得AD DG =,过G 作BC 的平行线,交DF 于点J ,交AC 于点H ,连接HD同（1）中原理,可证明()ASA DHE DGJ △≌△可得2AE GJ AG -= 1AD BD n =,AD DG = 1DG BD n ∴=,21AG AB n =+ 同①可得1JG DG FB DB n==121AE JG AE FB AG AB AB n n ∴-=-===+即线段AE BF AB ，，之间数量关系为11AE BF AB n n -=+综上所述,当点F 在射线BC 上时,11AE BF AB n n +=+；当点F 在CB 延长线上时,11AE BF AB n n -=+； 【小问3详解】 解：如图,当1E 与A 重合时,取11E F 的中点1M ,当2E 与C 重合时,取22E F 的中点2M .可得M 的轨迹长度即为12M M 的长度.如图,以点D 为原点,1DF 为y 轴,DB 为x 轴建立平面直角坐标系,过点2E 作AB 的垂线段,交AB 于点G ,过点2F 作AB 的垂线段,交AB 于点H .12AD AB DB n ==1AD n ∴=+,1DB n =+11E n ⎛⎫∴- ⎪ ⎪+⎝⎭145F BD ∠=︒1F D BD ∴=1F ⎛∴ ⎝⎭1M 是11E F 的中点1M ⎛∴ ⎝⎭12GB GC AB ===1DG DB BG n ∴=-=+21E n ⎛∴ +⎝根据（2）中的结论221AE BF AB n -=2222211n n BF n AE AB n n ⎛⎫-∴=-= ⎪ ⎪++⎝⎭22221BH F H BF n ∴===+DH DB BH ∴=+=22,1F n ⎫∴-⎪⎪+⎭2222M n ⎛+∴ +⎝⎭12M M ∴=。
2020年四川省成都市中考数学试卷及参考答案与试题解析
2020年四川省成都市中考数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×1044．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 36．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 8．（3分）（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 9．（3分）（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（3分）（2020•成都）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2020•成都）分解因式：x 2+3x ＝ ．12．（4分）（2020•成都）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．13．（4分）（2020•成都）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠AOB ＝50°，∠B ＝55°，则∠A 的度数为 ．14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9； （2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②． 16．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 17．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有 人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．18．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．22．（4分）（2020•成都）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ．23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．24．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x 交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x 交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 ．25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件）12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC 的值．28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 【解答】解：﹣2的绝对值为2．故选：C ．2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左面看是一列2个正方形．故选：D ．3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×104【解答】解：36000＝3.6×104，故选：B ．4．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）【解答】解：将点P （3，2）向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3，2﹣2），即（3，0），故选：A ．5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 3【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 3•a 2＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、（﹣a 3b ）2＝a 6b 2，原计算正确，故此选项符合题意；D 、a 2b 3÷a ＝ab 3，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．6．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人． 故选：A ．7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵AC ＝6，AD ＝2，∴BD ＝CD ＝4，故选：C ．8．（3分）（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：把x ＝2代入分式方程得：k 2−1＝1，解得：k ＝4．故选：B ．9．（3分）（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．103【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC =DE EF ，∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，∴56=DE 4，∴DE =103，故选：D ．10．（3分）（2020•成都）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9【解答】解：∵二次函数y ＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9＝（x +4）（x ﹣2），∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2020•成都）分解因式：x2+3x＝x（x+3）．【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．12．（4分）（2020•成都）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为m＞12．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得m＞1 2．故答案为：m＞1 2．13．（4分）（2020•成都）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为30°．【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8 ．【解答】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9；（2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②．【解答】解：（1）原式＝2×√32+4+2−√3−3 =√3+4+2−√3−3 ＝3；（2）{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②，由①得，x ≥2； 由②得，x ＜4，故此不等式组的解集为：2≤x ＜4．16．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 【解答】解：原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x ﹣3， 当x ＝3+√2时， 原式=√2．17．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有180人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）根据题意得：54÷30%＝180（人），答：这次被调查的学生共有180人；故答案为：180；（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，故答案为：126°；（3）列表如下：甲乙丙丁甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）=212=16．18．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝DC＝61，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝BC，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝22°， ∴DE =BEtan22°≈610.40≈152.5，∴AB ＝AE +BE ＝DE +CD ＝152.5+61≈214（米）． 答：观景台的高AB 的值约为214米．19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =mx （x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点． （1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y =mx（x ＞0）的图象经过点A （3，4）， ∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y =12x ； （2）∵直线y ＝kx +b 过点A ， ∴3k +b ＝4，∵过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点， ∴B （−bk，0），C （0，b ），∵△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍， ∴12×4×|−bk |＝2×12×|−bk |×|b |，∴b ＝±2， 当b ＝2时，k =23， 当b ＝﹣2时，k ＝2，∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B=43，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B=43=ACBC，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x 2+9x 2＝100， ∴x ＝2， ∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10， ∴BD ＝2， ∵OB 2＝OD 2+BD 2， ∴（6﹣OC ）2＝OC 2+4， ∴OC =83， 故⊙O 的半径为83；（3）连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ， 又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴∠OCE ＝∠OED ， ∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ， ∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝BF ＝AF ， ∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ， ∴∠DEF ＝∠DFE ， ∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF +BD ＝CE +BD ．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 49 ． 【解答】解：∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．22．（4分）（2020•成都）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 m ≤72．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m +12≥0， 解得：m ≤72， 故答案为：m ≤72．23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 7π ．【解答】解：FA1̂的长=60⋅π⋅1180=π3，A 1B 1̂的长=60⋅π⋅2180=2π3， B 1C 1̂的长=60⋅π⋅3180=3π3， C 1D 1̂的长=60⋅π⋅4180=4π3， D 1E 1̂的长=60⋅π⋅5180=5π3， E 1F 1̂的长=60⋅π⋅6180=6π3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=π3+2π3+⋯+6π3=21π3=7π， 故答案为7π．24．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 （√2，2√2）或（2√2，√2） ．【解答】解：联立y ＝mx （m ＞0）与y =4x 并解得：{x =2√m y =±2√m，故点A 的坐标为（√m，2√m ），联立y ＝nx （n ＜0）与y =−1x 同理可得：点D （√−1n ，−√−n ），∵这两条直线互相垂直，则mn ＝﹣1，故点D （√m ，1√m ），则点B （−√m ，√m）， 则AD 2＝（√m−√m ）2+（2√m √m ）2=5m +5m ，同理可得：AB 2=5m +5m ＝AD 2，则AB =14×10√2，即AB 2=252=5m +5m ， 解得：m ＝2或12，故点A 的坐标为（√2，2√2）或（2√2，√2）， 故答案为：（√2，2√2）或（2√2，√2）．25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH ≥√13−√2，∴DH 的最小值为√13−√2， 故答案为3√2，√13−√2．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件） 12 13 14 15 16 y （件）120011001000900800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）∵y 与x 满足一次函数的关系， ∴设y ＝kx +b ，将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：{1200=12k +b 1100=13k +b ，解得：{k =−100b =2400，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣100x +2400； （2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x ﹣2﹣10）+y （x ﹣10）＝400x ﹣4800+（﹣100x +2400）（x ﹣10）＝﹣100（x ﹣19）2+7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC的值．【解答】解：（1）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴BC ＝BF ，∠FBE ＝∠EBC ， ∵BC ＝2AB ， ∴BF ＝2AB ， ∴∠AFB ＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠CBF ＝30°， ∴∠CBE =12∠FBC ＝15°；（2）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，CE ＝EF ， 又∵矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AFB +∠DFE ＝90°，∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠AFB ＝∠DEF ， ∴△F AB ∽△EDF ， ∴AF DE=AB DF，∴AF •DF ＝AB •DE ，∵AF •DF ＝10，AB ＝5， ∴DE ＝2，∴CE ＝DC ﹣DE ＝5﹣2＝3， ∴EF ＝3，∴DF =√EF 2−DE 2=√32−22=√5， ∴AF =105=2√5， ∴BC ＝AD ＝AF +DF ＝2√5+√5=3√5． （3）过点N 作NG ⊥BF 于点G ，∵NF ＝AN +FD ， ∴NF =12AD =12BC ， ∵BC ＝BF ， ∴NF =12BF ，∵∠NFG ＝∠AFB ，∠NGF ＝∠BAF ＝90°， ∴△NFG ∽△BF A ， ∴NG AB=FG FA=NF BF=12，设AN ＝x ，∵BN 平分∠ABF ，AN ⊥AB ，NG ⊥BF ， ∴AN ＝NG ＝x ， 设FG ＝y ，则AF ＝2y ， ∵AB 2+AF 2＝BF 2，∴（2x ）2+（2y ）2＝（2x +y ）2， 解得y =43x ．∴BF ＝BG +GF ＝2x +43x =103x ． ∴AB BC=AB BF=2x103x =35．28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a =12，∴抛物线的解析式为y =12（x +1）（x ﹣4），即y =12x 2−32x ﹣2．（2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴DF AK =DEAE ， ∴S 1S 2=S △BDE S △ABE=DE AE=DF AK，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =0b =−2，解得{k =12b =−2， ∴直线BC 的解析式为y =12x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y =−12−2=−52， ∴AK =52，设D （m ，12m 2−32m ﹣2），则F （m ，12m ﹣2），∴DF =12m −2−12m 2+32m +2=−12m 2+2m ． ∴S 1S 2=−12m 2+2m52=−15m 2+45m =−15(m −2)2+45．∴当m ＝2时，S 1S 2有最大值，最大值是45．（3）符合条件的点P 的坐标为（689，349）或（6+2√415，3+√415）． ∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y =12x ，设P （a ，a2），①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0），∴AC =√5，AB ＝5，BC ＝2√5，∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°， ∵△PQB ∽△CAB ，∴PQ PB=AC BC=12，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°，∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠PBN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠PBN ，∴△QPM ∽△PBN ， ∴QM PN=PM BN=PQ PB =12，∴QM =a4，PM =12（a ﹣4）=12a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4−a4=34a ﹣4， ∴Q （34a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a)2−32×34a ﹣2＝a ﹣2，解得a ＝0（舍去）或a =689． ∴P （689，349）．②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（54a ，2）．此时点P 的坐标为（6+2√415，3+√415）．。
2020年四川省成都市中考数学试卷及答案
2020成都中考数学答案与解析A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共30分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.-2的绝对值是（ ）A.-2B.1C.2D.21 2.如图所示的几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）3.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约为36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A.3.6×103 B.3.6×104 C.3.6×105 D.36×1044.在平面直角坐标系中，将点P （3,2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A.（3,0） B.（1,2） C.（5,2） D.（3,4）5.下列计算正确的是（ ）A.ab b a 523=+B.623a a a =⋅C.2623)(b a b a =- D.332b a b a =÷6.成都市国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12,5,11,5,7（单位：人）这组数据的众数和中位数分别是（ ）A.5人，7人B.5人，11人C.5人，12人D.7人，11人 7.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：△分别以点B 和C 为圆心，以大于21BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；△作直线MN 交AC 于点D.若AC=6，AD=2，则BD 的长为（ ）A.2B.3C.4D.68.已知2=x 是分式方程113=--+x x x k 的解，那么实数k 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.69.如图，直线1l △2l △3l ，直线AC 和DF 被321,,l l l 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE 的长为（ ）A.2B.3C.4D.31010.关于二次函数822-+=x x y ，下列说法正确的是（ ） A.图象的对称轴在y 轴的左侧 B.图象与y 轴的交点坐标为（0,8） C.图象与x 轴的交点坐标为（-2,0）和（4,0）D.y 的最小值为-9第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11.分解因式：=+x x 32.12.一次函数2)12(+-=x m y 的值随x 值得增大而增大，则常数m 的取值范围为 .13.如图，A ，B ，C 是△O 上的三个点，△AOB=50°，△B=55°，则△A 的度数为 .14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五直金八两.牛羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 . 三.解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15.（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：9|32|)21(60sin 22--++︒-. （2）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->++≥-②,1312①,2)1(4x x x x16.（本小题满分6分） 先化简，再求值923112-+÷+-x x x ）（，其中23+=x .17.（本小题满分8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定.某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的同学共有 人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.18.（本小题满分8分）成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角韦45°，塔底部B处的俯角韦22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值.（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）.19.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(>=x xmy 的图象经过点A （3,4），过点A 的直线b kx y +=与x 轴、y 轴分别交于C B ,两点.（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式.20.（本小题满分10分）如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，O 为圆心，OC 为半径画△O,△O 与边AB 相切于点D ，AC=AD ，连接OA 交△O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F. （1）求证：AC 是△O 的切线； （2）若AB=10，4tan 3B =，求△O 的半径； （3）若F 是AB 的中点，试探究BD+CE 与AF 的数量关系B 卷（共50分）一.填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21.已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为 . 22.关于x 的一元二次方程232402x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是 . 23.如图，六边形ABCDEF 是正六边形 111111F E D C B FA 叫做“正六边形的渐开线”，1FA 、11A B 、11B C 、11C D 、11D E 、11E F ， 的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，曲线111111F E D C B FA 的长度是 .24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与双曲线4y x=交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线(0)y nx n =<与双曲线1y x=-交于B ，D 两点.当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为时，点A 的坐标为 .25.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点.动点P从点E 出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH△PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A 的过程中，线段PQ长度的最大值为，线段DH长度的最小值为.二.解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26.（本小题满分8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本价为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，x≤<）满足一次函数的关系，部分数据如下表：1224（1）求y与x的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.27.（本小题满分10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处. （1）如图1，若BC=2BA ，求△CBE 的度数；（2）如图2，当AB=2，且AF·FD=10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与△ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF=AN+FD时，求AB BC的值.28.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0),(4,0)A B - 两点，与y 轴交于点(0,2)C -. （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE的面积为1S ，△ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l △BC ，点P 、Q 分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB△△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2020成都中考数学参考答案与解析A卷（共100分）第I卷（选择题，共30分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.-2的绝对值是（ ）A.-2B.1C.2D.21【解析】根据负数的绝对值是它的相反数可知，答案为C2.如图所示的几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）【解析】根据左视图为从左往右观看几何体，故应选D3.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约为36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A.3.6×103 B.3.6×104 C.3.6×105 D.36×104 【解析】科学记数法为10Na ⨯，其中1||10a ≤<可得答案为B4.在平面直角坐标系中，将点P （3,2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A.（3,0） B.（1,2） C.（5,2） D.（3,4） 【解析】点的平移规律为左减右加，上加下减，所以答案为A5.下列计算正确的是（ ）A.ab b a 523=+B.623a a a =⋅C.2623)(b a b a =- D.332b a b a =÷【解析】A 选项3a 和2b 不是同类项，不能直接相加，B 选项，同底指数幂相乘，底数不变，指数应相加，所以正确结果为5a ，D 选项应是3ab ，故正确答案为C6.成都市国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12,5,11,5,7（单位：人）这组数据的众数和中位数分别是（ ）A.5人，7人B.5人，11人C.5人，12人D.7人，11人【解析】将数据按从小到大顺序排列号为5,5,7,11,12，所以众数是5，中位数是7，故答案为A7.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：△分别以点B 和C 为圆心，以大于21BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；△作直线MN 交AC 于点D.若AC=6，AD=2，则BD 的长为（ ）A.2B.3C.4D.6【解析】由题意可得，按步骤作图的结果是：DN 为线段BC 的垂直平分线，△DC=BD ，又△AC=6，AD=2，△CD=BD=4，故选C 8.已知2=x 是分式方程113=--+x x x k 的解，那么实数k 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】将2x =代入分式方程，得11221k -+=-得3k =，故选A 9.如图，直线1l △2l △3l ，直线AC 和DF 被321,,l l l 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE 的长为（ ）A.2B.3C.4D.310【解析】由平行线分线段成比例564x =，得201063x ==，故选D 10.关于二次函数822-+=x x y ，下列说法正确的是（ ） A.图象的对称轴在y 轴的左侧 B.图象与y 轴的交点坐标为（0,8） C.图象与x 轴的交点坐标为（-2,0）和（4,0） D.y 的最小值为-9【解析】对称轴为直线1x =-在y 轴的左侧，故A 选项错误，图象与y 轴的交点为(0,8)-，故选项B 错误，2280x x +-=的解为122,4x x ==-，△228y x x =+-与x 轴交点坐标为（2,0）和（-4,0），故选项C 错误，D 选项配方可得2(1)9y x =+-，所以y 的最小值为-9，故答案为D第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11.分解因式：=+x x 32.【解析】提公因式即可得到答案，故答案为(3)x x +12.一次函数2)12(+-=x m y 的值随x 值得增大而增大，则常数m 的取值范围为 .【解析】由一次函数y kx b =+的增减性可知，y 随x 的增大而增大时，0k >，所以210m ->，解之得12m >，△本题答案为12m > 13.如图，A ，B ，C 是△O 上的三个点，△AOB=50°，△B=55°，则△A 的度数为 .【解析】△OB=OC=r ，△△B=△OCB=55°，△△BOC=180°-△B -△OCB=70°，△△AOC=△AOB+△BOC=50°+70°=120°，△OA=OC ，△△OAC=△OCA=30°，本题答案为30° 14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五直金八两.牛羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 .【解析】依题意可得5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩三.解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15.（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：9|32|)21(60sin 22--++︒-. （2）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->++≥-②,1312①,2)1(4x x x x【解析】（1）2122312()2⨯++-； （2）解不等式△得2x ≥；解不等式△得4x <423+=3 ； 所以不等式组的解集为24x ≤< 16.（本小题满分6分）先化简，再求值923112-+÷+-x x x ）（，其中23+=x . 【解析】原式=2(3)(3)332x x x x x x ++-⋅=-++将3x =+3x - 17.（本小题满分8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定.某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题（4）这次被调查的同学共有 人；（5）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；（6）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.【解析】（1）根据条形统计图和扇形统计图得到“跳水”项目有54人，所占比例为30%，所以被调查的总人数为5430%180÷=人（2）由扇形统计图可得“篮球”项目所占比例为130%15%20%35%---=，所以篮球项目对应的扇形圆心角的度数为36035%126︒⨯=︒ （3）列表可得由表格可得，甲，乙，丙，丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者总的情况有12种，恰好是甲，乙两位同学的情况有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为21 12618.（本小题满分8分）成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角韦45°，塔底部B处的俯角韦22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值.（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）.【解析】过D作DE⊥AB于E在Rt△BDE中tan∠BDE=BE DE∴61152.5tan 200.4BE DE ===︒米∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE=152.5米，∵∠DCB=∠CBE=∠BED=90° ∴四边形BCDE 是矩形 ∴DC=BE=61米∴AB=AE+BE=213.5米≈214米 答：观景台AB 的高度约为214米. 19.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(>=x xmy 的图象经过点A （3,4），过点A 的直线b kx y +=与x 轴、y 轴分别交于C B ,两点.（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式.【解析】（1）将A （3,4）代入m y x =得12m =，∴反比例函数的表达式为12y x= （2）当直线y kx b =+与x 轴负半轴交于B ，与y 轴正半轴交于C∵△AOB 的面积是△BOC 的面积的2倍∴BOC AOC S S ∆∆=，∴C 是AB 的中点又∵C 在y 轴上，∴0C x =∴02A BC x x x +==，即3B A x x =-=- ∴(3,0)B -，将B （-3,0）、A （3,4）代入直线y kx b =+得3430k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解之得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为223y x =+当直线y kx b =+与x 轴正半轴交于B ，与y 轴负半轴交于C∵△AOB 的面积是△BOC 的面积的2倍 而11||,||22AOB A BOC C S OB y S OB y ∆∆==，∴|2||A C y y =，且0,4c A y y <= ∴2c y =-，∴(0,2)C -，将A （3,4），C （0，-2）代入直线可得342k b b +=⎧⎨=-⎩，∴22k b =⎧⎨=-⎩，此时直线的解析式为22y x =-综上所述：直线的函数表达式为223y x =+或22y x =- 20.（本小题满分10分）如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，O 为圆心，OC 为半径画△O,△O 与边AB 相切于点D ，AC=AD ，连接OA 交△O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F. （1）求证：AC 是△O 的切线； （2）若AB=10，4tan 3B =，求△O 的半径； （3）若F 是AB 的中点，试探究BD+CE 与AF 的数量关系【解析】（1）证明：连接OD ，∵△O 与AB 相切，∴∠ADO=90° 在△AOC 和△AOD 中,AC AD AO AO CO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△AOD （SSS ），∴∠ADO=∠ACO=90°，∴OC ⊥AC ∵OC 为△O 的半径，∴AC 是△O 的切线. （2）设OD=4x ，∵在Rt △OBD 中，4tan 3OD B DB ==，∴3BD x =，∴5OB x =，∴BC=OB+OC=9x 在Rt △ACB 中，4tan 3AC B CB ==，∴49123AC x x =⋅=，∴15AB x ==又∵AB=10，∴1510x =，∴23x =，∴843r x ==，即△O 的半径是83（3）探究关系结果：AF BD CE =+，理由如下：连接ED ，CD ，∵AC ，AD 为△O 的切线，∴AO 平分∠COD 和∠CAD ，∴∠COE=∠DOE 且∠COE 及∠DOE 均为圆心角，∴CE=DE ，∴∠ECD=∠EDC. 在△OCE 和△ODE 中,OC ODOE OE CE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OCE ≌△ODE （SSS ），∴∠CEO=∠DEO 设∠CAO=α，∠CEO=β∵AC=AD ，且OA 平分∠CAD ，∴OA ⊥CD ，∴∠CAO+∠ACD=90°，又∵∠ACD+∠OCD=90°，∴∠OCD=α ∴∠ECD=βα-，又∵∠AEF 和∠CEO 互为对顶角，∴∠AEF=∠CEO=β 在Rt △ACB 中，因为C 是斜边AB 中点，∴BF=AF=CF ，∴∠CAF=∠ACF=2α ∵∠CEO 为△ACE 的外角，∴∠CEO=∠CAO+∠ACF ，∴3βα=∴∠ECD=2βαα-=，又∵∠FED 是△CED 的外角，∴∠FED=∠ECD+∠EDC=4α∵∠EFD 是△AEF 的外角，∴∠EFD=∠OAD+∠AEF=4αβα+=，∴∠FED=∠EFD ，∴DE=DF ，∴EC=ED=FD 又∵BF=BD+DF ，且BF=AF ，DF=CE ，∴AF=BD+CEB 卷（共50分）一.填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21.已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为 .【解析】222237,69(3)749a b a ab b a b +=++=+==22.关于x 的一元二次方程232402x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是 . 【解析】一元二次方程有实根，所以判别式△≥0，所以23(4)42()02m --⨯-≥，解之得72m ≤，∴此题答案为72m ≤ 23.如图，六边形ABCDEF 是正六边形 111111F E D C B FA 叫做“正六边形的渐开线”，1FA 、11A B 、11B C 、11C D 、11D E 、11E F ， 的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，曲线111111F E D C B FA 的长度是 .【解析】曲线111111FA B C D E F 是由两段圆心角为60°，半径不同的扇形弧长组成.其长度为六段弧长之和，所以6016026036046056067180180180180180180πππππππ︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅+++++=︒︒︒︒︒︒故答案为：7π24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与双曲线4y x=交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线(0)y nx n =<与双曲线1y x=-交于B ，D 两点.当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为时，点A 的坐标为 .【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点中心对称，所以四边形中A 、C 关于O 对称，B 、D 关于O 中心对称，所以对角线AC 、BD 被坐标原点平分，即四边形ABCD是平行四边形，当AC ⊥BD 时，可得四边形ABCD 为菱形.由四边形周长为边形边长2AD =，将直线y mx =代入反比例函数4y x =得24x m =，∴A x =，代入反比例函数得A y =AC ⊥BD ，∴1mn =-，即1n m =-，将直线1y x m=-代入反比例函数1yx =-得2x m =，∴D x =D y =，∴D ∴22414,OA m OD m m m =+=+，在Rt △AOD 中，222AD OA OD =+，∴52552m m +=整理得(21)(2)0m m --=，∴12m =或2，当12m =时，A ，当2m =时，A ，∴A 的坐标为或25.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点.动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH△PQ 于点H ，连接DH.若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 .【解析】∵P 由E 往A 运动，Q 由F 往C 运动，且点P 的速度是点Q 的速度的2倍，所以当P 与A 重合时，Q 在FC 中点时，线段PQ 取得最大值，过Q 作QN ⊥AB 于N ，则AN=QN=3，此时线段2322=+=QN AN PQ ，连接DE ，HE ，则1322=+=AE AD DE ，所以HE DE DH -≥，当D 、H 、E 三点共线时DH 取得最小值，此时HE=2，故DH 最小值为213-二.解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26.（本小题满分8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本价为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，1224x ≤<）满足一次函数的关系，部分数据如下表：（3）求y 与x 的函数关系式；（4）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.【解析】（1）设一次函数的函数关系式为)0(≠+=k b kx y ，将1200,12==y x 代入函数得120012=+b k ，将1100,13==y x 代入函数得110013=+b k ，解方程组⎩⎨⎧=+=+110013120012b k b k 得⎩⎨⎧=-=2400100b k ，∴一次函数的函数关系式为2400100+-=x y（2）设商家线上和线下的月利润总和为w 元，由题意可得)10()102(400-+--=x y x w将2400100+-=x y 代入可得7300)19(1002+--=x w ，∴当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元27.（本小题满分10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处. （1）如图1，若BC=2BA ，求△CBE 的度数；（2）如图2，当AB=2，且AF·FD=10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与△ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF=AN+FD 时，求ABBC的值.【解析】（1）由翻折可得BC=BF ，∠EBF=∠CBE ，∵BC=2BA∴在Rt △ABF 中，sin ∠AFB=21=BF AB ，∴∠AFB=30° ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AFB=∠CBF=30°∴∠CBE=21∠CBF=15° （2）在矩形ABCD 中，有∠A=∠D=∠C=90°，由翻折性质可知∠C=∠BFE=90°. ∵在Rt △ABF 中，有∠AFB+∠ABF=90°，根据平角定义可得∠AFB+∠BFE+∠EFD=180°∴∠ABF=∠EFD ，又∵∠A=∠D=90°，∴△FAB ∽△EDF∴DFABED EA =，∴DF FA ED AB ⋅=⋅，∵10=⋅FD AF ，AB=5，解得ED=2 CE=CD -ED=5-2=3，由翻折性质可知EF=CE=3，在Rt △EFD 中,522=-=DE EF DF ;∵10=⋅FD AF ，∴52=AF ，∴53552=+=+=FD AF AD由矩形ABCD 性质可得，BC=AD=53 （3）作NG ⊥BF 于G ，在△FNG 和△FBA 中⎩⎨⎧︒=∠=∠∠=∠90BAF NGF BFA NFG ∴△FNG ∽△FBA ，∴BF NFBA NG FA FG ==， ∵NF=AN+FD 且NF+AN+FD=AD ，∴2NF=AD ，即21=AD NF ∵AD=BC ，BC=BF ，∴21=BF NF ，∴21=FA GF 设x AN NF ==,1，则x FD -=1，x AF +=1，∴2===BF BC AD ，∴21+=x GF ∵BM 平分∠ABF ，N 在BM 上，且NA ⊥AB ，NG ⊥BF ，∴NA=NG=x 在Rt △NGF 中，222NF GF NG =+，∴2221)21(=++x x ，整理可得03252=-+x x 解得53=x ，负值舍掉，∴54=GF ，∴56=BG 在Rt △BAN 和Rt △BGN 中⎩⎨⎧==BN BN NGAN ，∴Rt △BAN ≌Rt △BGN （HL ），∴56==BG BA ，∴53256==BC AB28.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0),(4,0)A B - 两点，与y 轴交于点(0,2)C -. （2）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE的面积为1S ，△ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l △BC ，点P 、Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB△△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将)2,0(),0,4(),0,1(--C B A 分别代入c bx ax y ++=2可得,204160⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-c c b a c b a 解之得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==22321c b a ，∴二次函数的解析式为223212--=x x y（2）设直线BC 的解析式为q px y +=，将)2,0(),0,4(-C B 代入直线可得⎩⎨⎧-==+204q q p ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221q p ，∴直线BC 的表达式为：221-=x y 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K .可得AK DF AE DE S S S S ABE BDE ===∆∆21，∵1-==K A x x ，∴25-=K y ，即线段25=AK 设点)22321,(2--m m m D ，则可得m m DF 2212+-=. 从而可得m m S S 5451221+-==54)2(512+--m ，当2=m 时，21S S 有最大值54（3）符合条件的点P 的坐标为)934,968(或)5413,54126(++，∵l ∥BC 且l 过原点O ，∴直线l 的表达式为x y 21=，设点P 的坐标为)2,(m m ①当点P 在直线BQ 的右侧时，如图，过P 作y 轴的平行线交x 轴于N ，过Q 作QM ⊥PN 于M.∵△PQB ∽△CAB ，∴∠BPQ=∠BCA在Rt △AOC 中，522=+=OC AO AC ，在Rt △BOC 中，5222=+=OB OC BC∵AB=5，∴222AB BC AC =+，即∠ACB=90°∴∠BPQ=90°，∴∠MPQ+∠BPN=90°，∵∠BPN+∠PBN=90°，∴∠PBN=∠QPM ∴△QPM ∽△PBN ，∴PNQM BN PM PB QP == 又∵△PQB ∽△CAB ，∴21525===CB CA PB QP ∴21==PN QM BN PM ，∵2,4mPN m NB =-=， ∴4,221mQM m PM =-=， ∴2,43-=+==-=m PM y y m QM x x p Q P Q ，∴)2,43(-m m Q ∵Q 在抛物线上，∴24323)43(21)2(2-⋅-=-m m m ，且4>m ，∴27272=m ∴此时P 的坐标为)934,968(②当点P 在直线BQ 左侧时.由①的方法可得点Q 的坐标为)2,45(m ，此时P 点坐标为)5413,54126(++。
2024年四川省成都市中考真题数学试卷含答案解析
2024年四川省成都市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣5的绝对值是（）A ．5B ．﹣5C ．15-D ．15【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A ．2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．()2233x x =B ．336x y xy+=C ．()222x y x y +=+D ．()()2224x x x +-=-【答案】D【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．【详解】解：A ．()2239x x =，原计算错误，故该选项不符合题意；B ．3x 和3y 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；C ．()2222x y x y xy +=++，原计算错误，故该选项不符合题意；D ．()()2224x x x +-=-，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4P -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,4--B ．()1,4-C ．()1,4D ．()1,4-【答案】B【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】解：点()1,4P -关于原点对称的点的坐标为()1,4-；故选：B ．5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）A ．53B ．55C ．58D ．646．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AD =B ．AC BD ⊥C ．AC BD =D ．ACB ACD∠=∠【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AC BD =，AD BC ∥，则ACB DAC ∠=∠，∴选项A 中AB AD =不一定正确，故不符合题意；选项B 中AC BD ⊥不一定正确，故不符合题意；选项C 中AC BD =一定正确，故符合题意；选项D 中ACB ACD ∠=∠不一定正确，故不符合题意，故选：C ．7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x ，琎价为y ，则可列方程组为（）A ．142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B ．142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C ．142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D ．142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．二、填空题9．若m ，n 为实数，且()240m +=，则()2m n +的值为．10．分式方程2x x=-的解是．【答案】x=3【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x ﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．考点：解分式方程11．如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为．12．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为．【答案】5【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，得到AC A C '=，A A l '⊥，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，再利用勾股定理求A O '即可．【详解】解：取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，则可知AC A C '=，A A l '⊥，∴PO PA PO PA A O ''+=+≥，即当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，∵直线l 垂直于y 轴，∴A A x '⊥轴，∵()3,0A ，()0,2B ，三、解答题14．（1）计算：()0162sin60π20242+︒--+-．（2）解不等式组：2311123x x x+≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩①②15．2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线x亲子互动慢游线48园艺小清新线y根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的员工共有______人，表中x的值为______：(2)在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；(3)若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【答案】(1)160，40(2)99︒(3)385【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是90︒可求解x值；（2）由360︒乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案；（3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”16．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC ；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD ．已知73.4ACB ∠=︒，26.6ADB ∠=︒，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.50︒≈，sin73.40.96︒≈，cos73.40.29︒≈，tan73.4 3.35︒≈）17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上一点，以BD 为直径作O ，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，DF ．(1)求证：BC DF BF CE ⋅=⋅；(2)若A CBF ∠=∠，tan BFC ∠=，AF =CF 的长和O 的直径．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．(1)求a ，b ，m 的值；(2)若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；(3)过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．【答案】(1)4a =，6m =，6b =(2)点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-(3)1-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设(),C t s ，根据平行四边形的性质，分当OA 为对角线时，当OB 为对角线时，当OC 为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；（3）设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，利用相似三角形的性质得2AB BE BD =⋅，进而解方程得2x =-，则()2,0D -，利用待定系数法求得直线AC 的表达式为2y x =+，联立方程组得220x x k +-=，根据题意，方程220x x k +-=有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．【详解】（1）解：由题意，将()2,A a 代入2y x =中，得224a =⨯=，则()2,4A ，将()2,4A 代入y x m =-+中，得42m =-+，则6m =，∴6y x =-+，将(),0B b 代入6y x =-+中，得06b =-+，则6b =；（2）解：设(),C t s ，由（1）知()2,4A ，()6,0B 若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：当OA 为对角线时，则026040t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =-⎧⎨=⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OB 为对角线时，则062004t s+=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =⎧⎨=-⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OC 为对角线时，依题意，这种情况不存在，综上所述，满足条件的点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-；（3）解：如图，设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，四、填空题19．如图，ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为．【答案】100︒/100度【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出45CED ACB ∠=∠=︒，再利用三角形内角和求出DCE ∠的度数即可．【详解】解：由ABC CDE △≌△，35D ∠=︒，∴45CED ACB ∠=∠=︒，∵35D ∠=︒，∴1801803545100DCE D CED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：100︒20．若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．21．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为；若24n =，则k 的值为．【答案】9144【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n 值所对应k 值，找到变化规律求解即可．22．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠23．在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =-+-图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．五、解答题24．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ，B 两种水果共1500kg 进行销售，其中A 种水果收购单价10元/kg ，B 种水果收购单价15元/kg ．(1)求A ，B 两种水果各购进多少千克；(2)已知A 种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A 种水果的最低销售单价．【答案】(1)A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克(2)A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，（1）设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可．（2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．【详解】（1）解：设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意有：1500101517500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1000500x y =⎧⎨=⎩，∴A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克（2）设A 种水果的销售单价为a 元/kg ，根据题意有：()()100014%120%100010a -≥+⨯⨯，解得12.5a ≥，故A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =-->与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．∴(12ACD D S CE x x =⋅- ∵ACD 的面积与ABD △∴222461n n n -++=-720⎛⎫则21,23AM n DM an an a =+=-++，∵AD DE =，∴1EM n =+，∵将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ，()()1,0,3,0,A B -∴()()22,23,4,23,A n an an aB n an an a -+++-++''由题意知抛物线L 平移得到抛物线L '，设抛物线L '解析式为()20y ax bx c a =++>，∵点A '，B '都落在抛物线L '上∴()()2222232344an an a an bn c an an a a n b n c ⎧-++=++⎪⎨-++=++++⎪⎩，解得2463b an a c an a =--⎧⎨=+⎩，则抛物线L '解析式为()22463y ax an a x an a=+--++∵()22232463ax ax a ax an a x an a--=+--++整理得()133n x n +=+，解得3x =，∴抛物线L '与L 交于定点()3,0．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．26．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．（2）连接CE，延长BM交∠=∠，∴ABD ACE∵中线BM（3）如图，当AD与故1·2CDES CD DE==如图，当AD 在CA 的延长线上时，此时故(11·22CDE S CD DE ==⨯ 如图，当DE EC ⊥时，此时过点A 作AQ EC ⊥于点Q ∵5AE AC ==，1EQ QC EC ==，如图，当DC EC ⊥时，此时过点A 作AQ EC ⊥于点∴12EQ QC EC x ===，1EN EQ ==【点睛】本题考查了旋转的性质，用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．。
2024年成都市中考数学试卷
选择题下列哪个数集包含的元素最多？A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集（正确答案）已知三角形ABC的三边长为a, b, c，且满足a2 + b2 = c2 + 2ab，则三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形（正确答案）下列哪个函数是奇函数？A. y = x2B. y = |x|C. y = 1/x（正确答案）D. y = x + 1已知圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆相切，则：A. d > rB. d < rC. d = r（正确答案）D. d与r无关下列哪个不等式表示x的取值范围在-3和5之间（不包括-3和5）？A. -3 < x < 5（正确答案）B. -3 ≤ x ≤ 5C. x > -3 且x < 5D. x ≥ -3 且x ≤ 5已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像开口向下，且与x轴有两个交点，则：A. a > 0, b2 - 4ac < 0B. a < 0, b2 - 4ac > 0（正确答案）C. a > 0, b2 - 4ac > 0D. a < 0, b2 - 4ac < 0下列哪个选项是正确的等式？A. √4 = ±2B. |-3| = 3（正确答案）C. (√2)2 = 3D. 30 = 0已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 7，a5 = 11，则a7 =：A. 13B. 14C. 15（正确答案）D. 16下列哪个选项是正确的三角函数值？A. sin(30°) = 0.5（正确答案）B. cos(45°) = 0.5C. tan(60°) = 1D. sin(90°) = 0。
2020年四川省成都市中考数学试卷及答案解析
2020年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×1044．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）5．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 36．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人7．（3分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 8．（3分）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（3分）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）分解因式：x 2+3x ＝ ．12．（4分）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为 ．13．（4分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠AOB ＝50°，∠B ＝55°，则∠A 的度数为 ．14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9； （2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②． 16．（6分）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有 人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．20．（10分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O 与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．22．（4分）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ．23．（4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．24．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x 交于A ，C两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 ．25．（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x （元/件）12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．27．（10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC 的值．28．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 【解答】解：﹣2的绝对值为2．故选：C ．2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左面看是一列2个正方形．故选：D ．3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×104【解答】解：36000＝3.6×104，故选：B ．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）【解答】解：将点P （3，2）向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3，2﹣2），即（3，0），故选：A ．5．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 3【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 3•a 2＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、（﹣a 3b ）2＝a 6b 2，原计算正确，故此选项符合题意；D 、a 2b 3÷a ＝ab 3，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人． 故选：A ．7．（3分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵AC ＝6，AD ＝2，∴BD ＝CD ＝4，故选：C ．8．（3分）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：把x ＝2代入分式方程得：k 2−1＝1，解得：k ＝4．故选：B ．9．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．103【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC =DE EF ，∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，∴56=DE 4，∴DE =103，故选：D ．10．（3分）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9【解答】解：∵二次函数y ＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9＝（x +4）（x ﹣2），∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）分解因式：x2+3x＝x（x+3）．【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．12．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为m＞12．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得m＞1 2．故答案为：m＞1 2．13．（4分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为30°．【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【解答】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9；（2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②．【解答】解：（1）原式＝2×√32+4+2−√3−3=√3+4+2−√3−3 ＝3；（2）{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②，由①得，x ≥2； 由②得，x ＜4，故此不等式组的解集为：2≤x ＜4． 16．（6分）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 【解答】解：原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x ﹣3， 当x ＝3+√2时， 原式=√2．17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有180人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）根据题意得：54÷30%＝180（人），答：这次被调查的学生共有180人；故答案为：180；（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，故答案为：126°；（3）列表如下：甲乙丙丁甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）=212=16．18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝DC＝61，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝BC，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝22°， ∴DE =BEtan22°≈610.40≈152.5，∴AB ＝AE +BE ＝DE +CD ＝152.5+61≈214（米）． 答：观景台的高AB 的值约为214米．19．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =mx （x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点． （1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y =mx（x ＞0）的图象经过点A （3，4）， ∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y =12x ； （2）∵直线y ＝kx +b 过点A ， ∴3k +b ＝4，∵过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点， ∴B （−bk，0），C （0，b ），∵△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍， ∴12×4×|−bk |＝2×12×|−bk |×|b |，∴b ＝±2， 当b ＝2时，k =23， 当b ＝﹣2时，k ＝2，∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．20．（10分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O 与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B=43，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B=43=ACBC，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x 2+9x 2＝100， ∴x ＝2， ∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10， ∴BD ＝2， ∵OB 2＝OD 2+BD 2， ∴（6﹣OC ）2＝OC 2+4， ∴OC =83， 故⊙O 的半径为83；（3）连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ， 又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴∠OCE ＝∠OED ， ∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ， ∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝BF ＝AF ， ∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ， ∴∠DEF ＝∠DFE ， ∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF +BD ＝CE +BD ．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 49 ． 【解答】解：∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．22．（4分）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 m ≤72． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m +12≥0， 解得：m ≤72， 故答案为：m ≤72．23．（4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 7π ．【解答】解：FA1̂的长=60⋅π⋅1180=π3，A 1B 1̂的长=60⋅π⋅2180=2π3， B 1C 1̂的长=60⋅π⋅3180=3π3， C 1D 1̂的长=60⋅π⋅4180=4π3， D 1E 1̂的长=60⋅π⋅5180=5π3， E 1F 1̂的长=60⋅π⋅6180=6π3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=π3+2π3+⋯+6π3=21π3=7π， 故答案为7π．24．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 （√2，2√2）或（2√2，√2） ．【解答】解：联立y ＝mx （m ＞0）与y =4x 并解得：{x =2√m y =±2√m，故点A 的坐标为（√m，2√m ），联立y ＝nx （n ＜0）与y =−1x 同理可得：点D （√−1n ，−√−n ），∵这两条直线互相垂直，则mn ＝﹣1，故点D （√m ，1√m ），则点B （−√m ，√m）， 则AD 2＝（√m−√m ）2+（2√m √m ）2=5m +5m ，同理可得：AB 2=5m +5m ＝AD 2，则AB =14×10√2，即AB 2=252=5m +5m ， 解得：m ＝2或12，故点A 的坐标为（√2，2√2）或（2√2，√2）， 故答案为：（√2，2√2）或（2√2，√2）．25．（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH ≥√13−√2，∴DH 的最小值为√13−√2， 故答案为3√2，√13−√2．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件） 12 13 14 15 16 y （件）120011001000900800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）∵y 与x 满足一次函数的关系， ∴设y ＝kx +b ，将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：{1200=12k +b 1100=13k +b ，解得：{k =−100b =2400，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣100x +2400； （2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x ﹣2﹣10）+y （x ﹣10）＝400x ﹣4800+（﹣100x +2400）（x ﹣10）＝﹣100（x ﹣19）2+7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 27．（10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC的值．【解答】解：（1）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴BC ＝BF ，∠FBE ＝∠EBC ， ∵BC ＝2AB ， ∴BF ＝2AB ， ∴∠AFB ＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠CBF ＝30°， ∴∠CBE =12∠FBC ＝15°；（2）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，CE ＝EF ， 又∵矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AFB +∠DFE ＝90°，∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠AFB ＝∠DEF ， ∴△F AB ∽△EDF ， ∴AF DE=AB DF，∴AF •DF ＝AB •DE ，∵AF •DF ＝10，AB ＝5， ∴DE ＝2，∴CE ＝DC ﹣DE ＝5﹣2＝3， ∴EF ＝3，∴DF =√EF 2−DE 2=√32−22=√5， ∴AF =10√5=2√5， ∴BC ＝AD ＝AF +DF ＝2√5+√5=3√5． （3）过点N 作NG ⊥BF 于点G ，∵NF ＝AN +FD ， ∴NF =12AD =12BC ， ∵BC ＝BF ， ∴NF =12BF ，∵∠NFG ＝∠AFB ，∠NGF ＝∠BAF ＝90°， ∴△NFG ∽△BF A ， ∴NG AB=FG FA=NF BF=12，设AN ＝x ，∵BN 平分∠ABF ，AN ⊥AB ，NG ⊥BF ， ∴AN ＝NG ＝x ， 设FG ＝y ，则AF ＝2y ， ∵AB 2+AF 2＝BF 2，∴（2x ）2+（2y ）2＝（2x +y ）2， 解得y =43x ．∴BF ＝BG +GF ＝2x +43x =103x ． ∴AB BC=AB BF=2x103x =35．28．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a =12，∴抛物线的解析式为y =12（x +1）（x ﹣4），即y =12x 2−32x ﹣2．（2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴DF AK =DEAE ， ∴S 1S 2=S △BDE S △ABE=DE AE=DF AK，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =0b =−2，解得{k =12b =−2， ∴直线BC 的解析式为y =12x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y =−12−2=−52， ∴AK =52，设D （m ，12m 2−32m ﹣2），则F （m ，12m ﹣2），∴DF =12m −2−12m 2+32m +2=−12m 2+2m ． ∴S 1S 2=−12m 2+2m52=−15m 2+45m =−15(m −2)2+45．∴当m ＝2时，S 1S 2有最大值，最大值是45．（3）符合条件的点P 的坐标为（689，349）或（6+2√415，3+√415）． ∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y =12x ，2①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0）， ∴AC =√5，AB ＝5，BC ＝2√5， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°， ∵△PQB ∽△CAB ， ∴PQ PB=AC BC=12，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°，∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠PBN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠PBN ， ∴△QPM ∽△PBN ， ∴QM PN=PM BN=PQ PB =12，∴QM =a4，PM =12（a ﹣4）=12a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4−a4=34a ﹣4， ∴Q （34a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a)2−32×34a ﹣2＝a ﹣2，解得a ＝0（舍去）或a =689．99②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（54a ，2）．此时点P 的坐标为（6+2√415，3+√415）．。
2020年四川省成都市中考数学试卷及答案解析
2020年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×1044．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）5．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 36．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人7．（3分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 8．（3分）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（3分）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）分解因式：x 2+3x ＝ ．12．（4分）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +2的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为 ．13．（4分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠AOB ＝50°，∠B ＝55°，则∠A 的度数为 ．14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9； （2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②． 16．（6分）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有 人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．20．（10分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O 与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．22．（4分）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ．23．（4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．24．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x 交于A ，C两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 ．25．（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x （元/件）12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．27．（10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC 的值．28．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．12 【解答】解：﹣2的绝对值为2．故选：C ．2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左面看是一列2个正方形．故选：D ．3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）A ．3.6×103B ．3.6×104C ．3.6×105D ．36×104【解答】解：36000＝3.6×104，故选：B ．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A ．（3，0）B ．（1，2）C ．（5，2）D ．（3，4）【解答】解：将点P （3，2）向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3，2﹣2），即（3，0），故选：A ．5．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．3a +2b ＝5abB ．a 3•a 2＝a 6C ．（﹣a 3b ）2＝a 6b 2D ．a 2b 3÷a ＝b 3【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 3•a 2＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、（﹣a 3b ）2＝a 6b 2，原计算正确，故此选项符合题意；D 、a 2b 3÷a ＝ab 3，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．5人，7人B ．5人，11人C ．5人，12人D ．7人，11人【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人． 故选：A ．7．（3分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若AC ＝6，AD ＝2，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵AC ＝6，AD ＝2，∴BD ＝CD ＝4，故选：C ．8．（3分）已知x ＝2是分式方程k x +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解答】解：把x ＝2代入分式方程得：k 2−1＝1，解得：k ＝4．故选：B ．9．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．103【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC =DE EF ，∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，∴56=DE 4，∴DE =103，故选：D ．10．（3分）关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ）A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8）C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D ．y 的最小值为﹣9【解答】解：∵二次函数y ＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9＝（x +4）（x ﹣2），∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）分解因式：x2+3x＝x（x+3）．【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．12．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为m＞12．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得m＞1 2．故答案为：m＞1 2．13．（4分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为30°．【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【解答】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：2sin60°+（12）﹣2+|2−√3|−√9；（2）解不等式组：{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②．【解答】解：（1）原式＝2×√32+4+2−√3−3=√3+4+2−√3−3 ＝3；（2）{4(x −1)≥x +2，①2x+13＞x −1．②，由①得，x ≥2； 由②得，x ＜4，故此不等式组的解集为：2≤x ＜4． 16．（6分）先化简，再求值：（1−1x+3）÷x+2x 2−9，其中x ＝3+√2． 【解答】解：原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x ﹣3， 当x ＝3+√2时， 原式=√2．17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有180人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）根据题意得：54÷30%＝180（人），答：这次被调查的学生共有180人；故答案为：180；（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，故答案为：126°；（3）列表如下：甲乙丙丁甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）=212=16．18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，∴DE＝BC，BE＝DC＝61，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝BC，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝22°， ∴DE =BEtan22°≈610.40≈152.5，∴AB ＝AE +BE ＝DE +CD ＝152.5+61≈214（米）． 答：观景台的高AB 的值约为214米．19．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =mx （x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点． （1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y =mx（x ＞0）的图象经过点A （3，4）， ∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y =12x ； （2）∵直线y ＝kx +b 过点A ， ∴3k +b ＝4，∵过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点， ∴B （−bk，0），C （0，b ），∵△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍， ∴12×4×|−bk |＝2×12×|−bk |×|b |，∴b ＝±2， 当b ＝2时，k =23， 当b ＝﹣2时，k ＝2，∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．20．（10分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O 与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B=43，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B=43=ACBC，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x 2+9x 2＝100， ∴x ＝2， ∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10， ∴BD ＝2， ∵OB 2＝OD 2+BD 2， ∴（6﹣OC ）2＝OC 2+4， ∴OC =83， 故⊙O 的半径为83；（3）连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ， 又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE （SAS ）， ∴∠OCE ＝∠OED ， ∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ， ∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝BF ＝AF ， ∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ， ∴∠DEF ＝∠DFE ， ∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF +BD ＝CE +BD ．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 49 ． 【解答】解：∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．22．（4分）关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 m ≤72． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m +12≥0， 解得：m ≤72， 故答案为：m ≤72．23．（4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA 1̂，A 1B 1̂，B 1C 1̂，C 1D 1̂，D 1E 1̂，E 1F 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 7π ．【解答】解：FA1̂的长=60⋅π⋅1180=π3，A 1B 1̂的长=60⋅π⋅2180=2π3， B 1C 1̂的长=60⋅π⋅3180=3π3， C 1D 1̂的长=60⋅π⋅4180=4π3， D 1E 1̂的长=60⋅π⋅5180=5π3， E 1F 1̂的长=60⋅π⋅6180=6π3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=π3+2π3+⋯+6π3=21π3=7π， 故答案为7π．24．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝mx （m ＞0）与双曲线y =4x交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y ＝nx （n ＜0）与双曲线y =−1x交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为10√2时，点A 的坐标为 （√2，2√2）或（2√2，√2） ．【解答】解：联立y ＝mx （m ＞0）与y =4x 并解得：{x =2√m y =±2√m，故点A 的坐标为（√m，2√m ），联立y ＝nx （n ＜0）与y =−1x 同理可得：点D （√−1n ，−√−n ），∵这两条直线互相垂直，则mn ＝﹣1，故点D （√m ，1√m ），则点B （−√m ，√m）， 则AD 2＝（√m−√m ）2+（2√m √m ）2=5m +5m ，同理可得：AB 2=5m +5m ＝AD 2，则AB =14×10√2，即AB 2=252=5m +5m ， 解得：m ＝2或12，故点A 的坐标为（√2，2√2）或（2√2，√2）， 故答案为：（√2，2√2）或（2√2，√2）．25．（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH ≥√13−√2，∴DH 的最小值为√13−√2， 故答案为3√2，√13−√2．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：件）与线下售价x （单位：元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x （元/件） 12 13 14 15 16 y （件）120011001000900800（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）∵y 与x 满足一次函数的关系， ∴设y ＝kx +b ，将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：{1200=12k +b 1100=13k +b ，解得：{k =−100b =2400，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣100x +2400； （2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x ﹣2﹣10）+y （x ﹣10）＝400x ﹣4800+（﹣100x +2400）（x ﹣10）＝﹣100（x ﹣19）2+7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 27．（10分）在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；（2）如图2，当AB ＝5，且AF •FD ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，延长EF ，与∠ABF 的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN +FD 时，求AB BC的值．【解答】解：（1）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴BC ＝BF ，∠FBE ＝∠EBC ， ∵BC ＝2AB ， ∴BF ＝2AB ， ∴∠AFB ＝30°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠CBF ＝30°， ∴∠CBE =12∠FBC ＝15°；（2）∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，CE ＝EF ， 又∵矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AFB +∠DFE ＝90°，∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠AFB ＝∠DEF ， ∴△F AB ∽△EDF ， ∴AF DE=AB DF，∴AF •DF ＝AB •DE ，∵AF •DF ＝10，AB ＝5， ∴DE ＝2，∴CE ＝DC ﹣DE ＝5﹣2＝3， ∴EF ＝3，∴DF =√EF 2−DE 2=√32−22=√5， ∴AF =10√5=2√5， ∴BC ＝AD ＝AF +DF ＝2√5+√5=3√5． （3）过点N 作NG ⊥BF 于点G ，∵NF ＝AN +FD ， ∴NF =12AD =12BC ， ∵BC ＝BF ， ∴NF =12BF ，∵∠NFG ＝∠AFB ，∠NGF ＝∠BAF ＝90°， ∴△NFG ∽△BF A ， ∴NG AB=FG FA=NF BF=12，设AN ＝x ，∵BN 平分∠ABF ，AN ⊥AB ，NG ⊥BF ， ∴AN ＝NG ＝x ， 设FG ＝y ，则AF ＝2y ， ∵AB 2+AF 2＝BF 2，∴（2x ）2+（2y ）2＝（2x +y ）2， 解得y =43x ．∴BF ＝BG +GF ＝2x +43x =103x ． ∴AB BC=AB BF=2x103x =35．28．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a =12，∴抛物线的解析式为y =12（x +1）（x ﹣4），即y =12x 2−32x ﹣2．（2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴DF AK =DEAE ， ∴S 1S 2=S △BDE S △ABE=DE AE=DF AK，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =0b =−2，解得{k =12b =−2， ∴直线BC 的解析式为y =12x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y =−12−2=−52， ∴AK =52，设D （m ，12m 2−32m ﹣2），则F （m ，12m ﹣2），∴DF =12m −2−12m 2+32m +2=−12m 2+2m ． ∴S 1S 2=−12m 2+2m52=−15m 2+45m =−15(m −2)2+45．∴当m ＝2时，S 1S 2有最大值，最大值是45．（3）符合条件的点P 的坐标为（689，349）或（6+2√415，3+√415）． ∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y =12x ，2①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0）， ∴AC =√5，AB ＝5，BC ＝2√5， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°， ∵△PQB ∽△CAB ， ∴PQ PB=AC BC=12，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°，∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠PBN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠PBN ， ∴△QPM ∽△PBN ， ∴QM PN=PM BN=PQ PB =12，∴QM =a4，PM =12（a ﹣4）=12a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4−a4=34a ﹣4， ∴Q （34a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a)2−32×34a ﹣2＝a ﹣2，解得a ＝0（舍去）或a =689．99②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（54a ，2）．此时点P 的坐标为（6+2√415，3+√415）．。
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2017年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A．647×108B．×109C．×1010D．×10114．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）|A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜15．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a67．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：100得分（分）607080~90人数（人）7121083则得分的众数和中位数分别为（）A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分!8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0、二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）（﹣1）0=．12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；`（2）解不等式组：．16．（6分）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；~（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是．\22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则=．24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=．25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=cm．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：—地铁站A B C D Ex（千米）8910|13y1（分钟）1820222528（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短并求出最短时间．^27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；-（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形若能，求出m的值；若不能，请说明理由．2017年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）&A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．故选：B．2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上边看一层三个小正方形，故选：C．|3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A．647×108B．×109C．×1010D．×1011【解答】解：647亿=647 0000 0000=×1010，故选：C．4．（3分）二次根式中，x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，∴x≥1，故选（A）|5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．6．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误；B．a7÷a=a6，所以此选项正确；C．a3•a2=a5，所以此选项错误；D．（﹣a3）2=a6，所以此选项错误；故选B．7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：8090100得分（分）60【70人数（人）7121083则得分的众数和中位数分别为（）A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．故选：C．8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D ．：【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，#∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=，故选：A．9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：将x=3代入﹣=2，∴解得：k=2，故选（D）:10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0【解答】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，即b＜0；抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；∴abc＞0，|∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）（﹣1）0=1．【解答】解：（﹣1）0=1．故答案为：1．12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．|【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1＜y2．（填“＞”或“＜”）．{【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上右，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为15．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，|∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共54分）'15．（12分）（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4=﹣1﹣2++4=3；（2），①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，﹣x＜4，x＞﹣4，）②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1．不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．16．（6分）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．【解答】解：÷（1﹣）=•=，∵x=﹣1，∴原式==．17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．。