分数巧算基础知识

分数巧算基础知识

进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。

一、基础知识

1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数

（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。

2、常用运算定律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：a＋b＋c＝ (a＋b)＋c a＋ (b＋c)＝ (a ＋c)+b

乘法交换律：ab＝ba

乘法结合律：abc＝ (ab)c＝a(bc)＝ (ac)b

乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ab＋ac= a(b＋c)

减法的运算性质：a－b－c＝a－ (b＋c)

除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷(b×c) a÷(b×c)= a ÷b÷c= a÷c÷b

a÷b×c＝a÷(b÷c) a÷(b÷c)= a ÷b×c

3、分数变形：分子是1，分母是非零的自然数的真分数叫分数单

位。运算时可以把分数拆分成单位分数，以方便运算。

11×2 =1－2

1 12×3 =21－31 13×4 =31－41 21+31=3232X =6

5（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是两分母的乘积）

12×4 =（21－41）×21 （分母两数差为2，所以乘以21

） 15×9 =（51－91）×41 （分母两数差为4，所以乘以4

1

）

第二节 分数巧算方法

1、凑整法

在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。而在小分和分数运算中，是把分数凑成整数，便于计算。

例题：341+632+143+8

31

=(341+143)+(632+83

1

)

=5+15 =20 2、改顺序

通过改变分数式中的先后顺序，使运算算简便。常见有以下几种方法：

（1）加括号性质

在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：

a+b-c=a+(b-c) a-b+c=a-(b-c) a-b-c=a-(b+c)

例题：2

178－1136－137 =2178－(1136+137

)

=2178

－2

=17

8

（2）去括号性质

在一个有括号的加减法运算的算式中，将算式中的括号去掉，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。用字母表示：

a+（b-c ）=a+b-c a-（b+c ）=a-b-c a-（b-c ）=a-b+c

例题：376－(49

5

－171)

=376+171－495

=5－49

5

=

9

4 （3）分数搬家

在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，

可以带着符号“搬家”，用“字母”表示： a-b-c=a-c-b a-b+c=a+c-b

例题：272+365－172+161

=(272－172)+(365+16

1

)

=1+5 =6 3、提取公因数

当几个乘积相加减，而这些乘积中又有相同的因数时，我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。如果乘积中另外几个因数相加减的结果正好凑成整十、整百、整千、整万的数，或是是一些比较简单的数，那么计算就更为简便。这种方法叫“提取公因数法”。

例1：简单提取法

31×152－2×31+31×15

3

=31×(152－2+153

)

=31

×(3－2) =31

×1

=3

1

对于复杂的分数算式，要根据算式特点，进行一定的转化，创造条件后再运用提取公因数的方法来简算。

例2：25

4×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28 =＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2 ＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2 ＝2.8×88.8＋88.8×7.2 ＝88.8×（2.8＋7.2） ＝88.8×10 ＝888

例3：3333872

1×79+790×66661

4

1 ＝333387.5×79+790×66661.25 ＝33338.75×790+790×66661.25 ＝（33338.75+66661.25）×790 ＝100000×790 ＝79000000

例4：53×172+0.6×175

－261×60% 例5：56 ×113 +59

×213 +518 ×613

=53×172+53×175－261×53

＝16 ×513 +29

×513 +618 ×5

13

=53×(172+17

5

－261) ＝（16 +29

+

618 ）×513

=5

3

×(3－261) ＝1318 ×513

=53

×65 ＝518

=

2

1

4、拆数法

一组分数混合运算时，为了能够“凑整”或凑成比较简单的数，常常需要先把分数中分子或分母进行拆分，再来进行分组运算。这种巧算方法叫“拆分法”，也叫“分解分组法”。 例1：

125124×78 例2：125

88

×126 =（1－1251）×78 =125

88

×（125+1）

=278-12578 =125

88×125+

125

88 =277

12547 =88+125

88 =88

125

88

例3：15 ×27+3

5

×41 例4：