最新-习题选讲-1

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例题选讲

解答：

四叉树结点的度数均不大于4，结点总数应等于度为i的结点数(记为ni)之和： N=no+n1+n2+n3+n4 (1) 因为度为 i的结点有i个孩子，而根结点不是任何结点的孩子，故结点总数为： N=n1+2n2+3n3+4n4+1 (2) 由上面的(1)、(2)式得到： no=n2+2n3+3n4+1=1+20+60+1=82
例1-3

设A是一个线性表（a1,a2,…,an），若采用顺序存储结构，则在等概率的前提下，平均插入一个元素需要移动的元素个数为多少？若元素插在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为
n -i n(n 1) / 2
则平均每插入一个元素所移动的元素的个数又是多少？
解答：

在等概率的前提下，平均插入一个元素需要移动的元素个数为：（0+1+2+…+n）/(n+1)=n/2 若元素插在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为 n -i n(n 1) / 2 ，则平均每插入一个元素所移动的元素的个数为：
例题选讲
线性结构
1线性表

例1-1关于线性表的说法，下面选项正确的是（）。 A. 线性表的特点是每个元素都有一个前驱元素和一个后继元素 B.线性表是具有n(n≥0)个元素的一个有限序列 C.线性表就是顺序存储的表 D.线性表只能用顺序存储结构实现
例1-2

下面关于线性表的叙述中，错误的是哪一个？ A.线性表采用顺序存储，必须占用一片连续的存储单元 B.线性表采用顺序存储，便于进行插入和删除操作 C.线性表采用链式存储，不必占用一片连续的存储单元 D.线性表采用链式存储，便于插入和删除操作

离散数学习题选讲

（4）设 B 为偏序集 < A, ≤ > 的子集，若 B 中存在最大元，则它就是 B 的最小上界，否则
从 A − B 中选择那些向下可达 B 中每一个元素的结点，它们都是 B 的上界，其中的最小元是 B 的最小上界，类似地可以确定 B 的最大上界。
离散数学习题选讲
第6页共7页
第五章代数系统的一般性质
如果给定了两个以上的运算，在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论。
容易验证本题中的 6 个函数全是实数集 R 上的二元运算，它们的可交换性、结合性、
幺元和零元的判别结果如下：
函数
交换
结合
么元
零元
f1
√
√
为0
×
f2
×
×
×
×
f3
√
√
为1
为0
f4
√
√
×
×
f5
√
√
×
×
f6
√
×
×
×
离散数学习题选讲
第7页共7页
第六章几个典型的代数系统
有的结点检查完毕，就得
到 G′ 。以本题为例。图（1）表示 R 的关系图 G 。依次
检查结点 1、2、3、4。从 1 出发，沿环走 2 步仍回
到 1。所以， G′ 中有过 1
的环。从 1 出发，经过 <1,1>和<1,4>，2 步可达
4。所以 G′ 中有从 1 到 4
的边。结点 1 检查完毕。类似地检查其它 3 个结点。2 步长的路径还有 2→1→1，2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。
前提引入
② ∃y(F ( y) → G( y))
①EG

概率习题课一

性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则 P A B P A P B 并且 P A P B .
概率论
性质 5 对于任一事件 A , 都有 P A 1 . 性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P A B P A P B P AB P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
例9
分析：只需计算P( A1 D)和P( A3 D)比较大小
概率论
A1 , A2 , A3组成了样本空间的一个划分，且 1 P(A1 )=P(A 2 )=P(A3 )= 3 1 另外，P( D A1 ) , P( D A2 ) 0, P( D A3 ) 1, 2 则由贝叶斯公式：
1 1 P( A1 )P( D A1 ) 1 3 2 P( A1 D) 3 1 1 1 1 0 1 3 P( Ai )P( D Ai ) 3 2 3 3 i 1
2) P( A B) P( B A) P( B AB) y z 3) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 x z
4) P( A B) P( A B) 1 x y z
概率论
例3 （摸球问题）设盒中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示“取到一红一白”
n
i 1,2,, 一发子弹，
以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试
用A、B、C的运算关系表示下列事件：
作业 P23 1.7
概率论
若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且 P(W)=0.125，P(E)=0.075, P(WE)=0.025, 求下列事件的频率：（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛 P(W+E)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.175 （2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛 P(W-E)=P(W)-P(WE)=0.1 （3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛

习题选讲

3．矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5KN， a =1.5m，[σ]= 10MPa，试确定此矩形截面b/h的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径d。
Wbh2 b(d2b2)
6
6
令抗弯截面系数取最大值，则： dW 0
db
h/b 2
7.5KN•m
3d 2
2、图示等直杆，杆长为3a，材料的抗拉刚度为EA，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移有四种答案：( B )
（A）0；
（B）Fa/(EA);
F
（C）2 Fa/(EA);
（D）3 Fa/(EA)
2F
3、刚性杆AB的左端铰支，1、2两杆为长度相等、横截面面积相等的直杆，其弹性横量分别为E1 和E2，且有 E1 = 2 E2 ，平衡方程与补充方程可能有以下四种：（ C )
FN1a2FN2a3Fa0FN12FN23F
2l1l22F EN 1A 1lF EN 2A 2lFN1FN2
4、图示平板，两端受均布载荷q 作用，若变形前在板面划上两条平行线段AB和CD，则变形后：( A )
（A） AB//CD， a角减小；（B） AB //CD，a角不变（C） AB //CD，a角增大（D）） AB 不平行于CD
d3
b ,h d,W
3
3
93
m a x M W m a x [] W M [m ] a x d 393 M [m ] a x 0 .2 2 7 m
4、简支梁如图所示，试求梁的最低层纤维的总伸长。 M ( x ) 1 qx (l x ) 2

(x)

6M (x) bh2
应为 B

大学物理下册第六章习题课选讲例题

_
We

2
4π 0
ln
R2 R1
Eb
max
2 π 0 R1
max 2 π 0 E b R1
W e π 0 E R ln
2 b 2 1
R2 R1
1) 0
l
-+ -+ -+ -+
_
_
R1
R2
_ _
dW e d R1
π 0 E R 1 ( 2 ln
点，则距球心 r 的 P 点（R1 < r < R2）电势为（A）
Q1 4 π 0 r Q1 4 π 0 R1 Q2 4 π 0 R 2 Q2 4 π 0 R 2
（B）
Q1 4 π 0 r

Q2 4 π 0 r
（C）
（D） 4 π 0 R1 4 π 0 r
Q1
Q2
例有一外表形状不规则的带电的空腔导体，比较 A 、两点的电场强度 E 和电势U ，应该是：（） B
U d 1000 10
3
V m
1
10 V m
6
1
10 kV m
3
1
Байду номын сангаас
E E0 r
3 . 33 10 kV m
2
1
P ( r 1) 0 E 5 . 89 10
6
C m
2
-2
0 0 E 0 8 . 85 10
Q
S
D dS
q
可得
0 r RA
2 2
E1 0 E2 q / 4 π 0r E3 q / 4 π 0r

数学分析选讲刘三阳-部分习题解答

1 / 13第一讲习题解答习题1-11 计算下列极限计算下列极限① ()1lim 11,0pn n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式解：原式==()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x ax a x a →--解：原式解：原式==()()()()sin sin sin sin limlim sin x ax a x a x ax a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 11lim 1mnx x x →--，,m n 为自然数解：原式解：原式==()()111111lim 11mmn x nx x x x nxx mx x →==--'⋅=⋅=--'④ ()lim 21,0nnna a →∞⋅-> 解：原式()()1ln 21lim ln 211limln 21limn x n nx a e a n a nxn e ee→∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭--→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20xa a xxa axx e ee a ---→'-====⑤ lim ,0x ax a a x a x a →->-解：原式解：原式==lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x ax a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x aax x ax aa a a a x →->-解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a xx a a x →→---==⋅---()lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅-- lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim x a a a a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a x→⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭ ()()()()1ln 1x a a y a a y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ln a a a a =⋅⑦ ()()101011sin limsin x tgxxx →+--解：原式解：原式==()()101011sin limsin x tgxxx xx→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg xxx→⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim mk m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数为自然数解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()11111lim 12m kkmn i i x i mk k n i i x in→∞===⎛⎫+-⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()000202lim hf x h f x f x h h→+-+-。

数学分析选讲刘三阳部分习题解答

第一讲习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。

线性代数第1章行列式(习题选讲) 20101104

1 1+ ∑ i=1 ai 0 M = M L an 0
1 0
a1 L M 0 L an
1习题课-9
计算n阶行列式：计算n阶行列式：
题解P26 习题1.5 题解P26 习题1.5
2 -1 1 + a1 a1a 2 L a1a n L a1 + a1 a2 an a 2 a1 1 + a 2 L a 2 a n a1 a 21 + a 2 L an 2 = a1a 2 L a n M M M M M M 2 a n a1 a n a 2 L 1 + a n L a n1 + a n a1 a2
证明：证明：
y +z z+x x+y x y z x+y y +z z+x = 2z x y y z x z+x x+y y +z
y z+x x+y z z+x x+y = x y +z z+x + y y +z z+x z x+y y +z x x+y y +z
1习题课-3
对下面的行列式，对下面的行列式，有D1=_____D -24
-1 a 1 + a1 a 2 L a n 2 1 + a1 - a 1 1 a 21 L 0 -1 = a1a 2 La n M M M = M 0 L a n1 - a1 1 -1
2 a2 L an 2 n 1 L 0 = 1+ ∑ ai M M i=1 0 L 1
1习题课-10
计算行列式：计算行列式：
a11 a12 D = a 21 a 22 a 31 a 32

集合论习题选讲

证明：① 先证T具有自反性
x∈A, 由于R是A上自反关系, 所以<x,x>∈R 即<x,x>∈R ∧ <x,x>∈R
由T的定义知：<x,x>∈T 所以T具有自反性
8
② 再证T具有对称性 x,y∈A ,若<x,y>∈T 由T的定义知：<x,y>∈R ∧ <y, x>∈R 即 <y, x>∈R ∧ <x,y>∈R
3
12.设A、B为任意集合，证明：
Hale Waihona Puke (1) (2)P(A)∩P(B) = P(A∩B)
P(A)∪P(B) P(A∪B)
针对（2）举一反例，说明P(A)∪P(B) = P(A∪B)对某些集合A和B是不成立的证明：(1) ① 先证所以 xA ∧ xB 所以 x A∩B, 即 x∈P(A∩B) P(A)∩P(B) P(A∩B) x∈P(A)∩P(B), 则 x∈P(A) ∧ x∈P(B)
6
(3) 举例：
令A={1},B={2} 则 A∪B={1，2} 则P(A)={，{1}}，P(B)={，{2}} 而P(A∪B)={，{1},{2},{1,2}}
显然P(A)∪P(B)= P(A∪B)不成立.
7
13.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T，使得 x, y∈A <x, y>∈T <x ,y>∈R ∧ <y, x>∈R 证明：T是A上的等价关系。
5. A=且B≠，则BA= ?
6. 设A={a}，则{{φ},φ}P(P(A)) ？ 7. 设f：N×N→N,f(<x,y>)=xy,则f是满射的 ?

应用文写作课后练习题答案选讲

【复习与训练】
2.试指出下列各发文字号的毛病，并予以改正。
（1）×府办字［2006］十四号（2）×府办字(2006)14号（3）×府办字［06］14号（4） ×府办字［二00六］14 号（5）［2006］×府办字14号（6）×府办字［2006］14
3.试指出下列成文时间写法的毛病，并予以改正。
(1)2006年10月13日 (2)2006年十月十三日 (3)二零零六年拾月13日
4.试指出以下公文格式和文字的毛病。
【参考答案】
四、病例析改
1.试析下列标题(发文机关略)的毛病，并予以改正：
（1）答案：关于禁止赌博的通知（2）答案：自然科学成果奖励条例（3）答案：关于设立鲜花市的请示（“撤销鲜花县”在文中说明）（4）答案：关于进一步管好留成外汇的决定（5）答案：关于水灾后恢复工作的报告（6）答案：关于机构调整问题的请示
四、阅读与选择
1. 答案：
这段文字的说明方式是：C、D
2. 答案：
这段文字的论证方式是B、D
三、病例析改题参考答案 1.与会者请于4月23日报到。 2.当前经济领域中的严重犯罪活动，正在破坏我们的党、政府和军队的肌体。 3.我们的请示已送上一个多月，请上级早日批复。 4.贵校实力雄厚，以上之事，请能予以支持。 5.当前局势的恶劣状况，已摆在我们面前。
四、阅读与析评
1. 答案：
（1）主旨是明确的，但请示的理由不具体，不充分，也不够有力。（2）上级领导看到这篇请示，可能会产生下列想法：这篇请示提供的材料如此不具体，不少问题没有交代清楚，如被撤销的是什么店？属于谁的店？撤销此店后并入什么店？有无办好有关手续？拟建之楼需要多少钱？是否此文需要退回去让下级重写？等等。（3）修改思路：职工住房困难拟盖楼房（地点）该处商店处理需多少资金？资金如何解决？请示要求

小学六年级上数学习题选讲--百分数

小学六年级上数学习题选讲1.（1）张华写了一本散文集的稿费3600元，按照个人所得税法规定，稿费收入超过800元的部分按20%交纳个人所得税，他应缴税多少元？解：（1）（3600-800）×20%，=2800×0.2，=560（元）；答：他应缴税560元．（2）2010年1月张叔叔将20000元存入银行，定期五年，年利率5.76%，到期后共可取多少元？（按5%缴纳利息税）（2）20000+20000×5.76%×5×（1-5%），=20000+5472，=25472（元）；答：到期后共可取25472元．2李老师要买150本笔记本．在甲商店，看到一种标价为8元的笔记本，李老师感到很满意，问营业员怎么买？营业员说：“每本8元，十本起，可打九折”．到了乙商店，看到同样的笔记本，营业员介绍说：“买十本送一本”．根据以上信息请你算一算，李老师到那家商店购买合算，为什么？解：甲商店：150×8×90%，=1200×90%，=1080（元）乙商店：因为买十本送一本，买137本送13本，所以买137本笔记本所需要的钱数：137×8=1096（元），因为1080元＜1096元，所以李老师到甲商店购买合算；答：李老师到甲商店购买合算．3有一台机器，使用了一种类型的零件1000个，一周内报废的零件在本周末换新零件．在新零件中有10%在第一周末报废，有30%在第二周报废，有60%在第三周末报废，没有能使用四周以上的零件．问（1）新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是多少？（2）新机器中必须在第三周末换新零件的个数是多少？答案解：第一周报废：1000×10%=100（个）．第二周末换新的个数有：1000×30%+100×10%=310（个）．第三周末换新的零件有：1000×60%+100×30%+310×10%=661（个）．答：新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是310个，新机器中必须在第三周末换新零件的个数是661个4们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数=×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦．在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖，小明的父亲身高18分米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况．答案解：×100%，=×100%，≈25%；25%在24%～26%，属于偏胖的范围．答：小明的父亲偏胖．5按要求完成下面的任务．（1）把下面的百分数化成小数：56% 0.8% 130% 4% 43.7% 700% 75% 310% （2）把小数化成百分数：4.6 0.3 1.72 0.375 2.05 0.07 ⑩3.125 0.0005 （3）把下面的百分数化成分数：8% 2.5% 40% 60% 125% 150% 32% 45%（4）把下面的分数化成百分数： 1．答案解：（1）56%=0.56，0.8%=0.008，130%=1.3，4%=0.04，43.7%=0.437，700%=7，75%=0.75，310%=3.1；（2）4.6=460%，0.3=30%，1.72=172%，0.375=37.5%，2.05=205%，0.07=7%，3.125=312.5%，0.0005=0.05%；（3）8%=0.08，2.5%=0.025，40%=0.4，60%=0.6，125%=1.25，150%=1.5，32%=0.32，45%=0.45；（4）==5%，1≈1.667=166.7%，≈0.857=85.7%，==5%，=0.625=62.5%，==46%，=0.5=50%，=1.25=125%．6用4000千克大豆榨豆油1440千克，求大豆的出油率．答案解：1440÷4000×100%，=0.36×100%，=36%．答：大豆的出油率是36%．7六年级一班有男同学25名，女同学20名．答案解：根据题意连线如下：8、豆豆今年4岁，是妈妈年龄的．妈妈今年多少岁？解：4÷=26（岁），答：妈妈今年26岁．9花生仁的出油率为38%，要榨380千克花生油大约需要多少千克花生仁？答案解：380÷38%=1000（千克）；答：大约需要1000千克花生仁．10一种手表，原价每块108元，现价81元，便宜了百分之几？答案解：（108-81）÷108，=27÷108，=25%；答：便宜了25%．11一本书售价36元，利润是成本的20%，成本是多少元？答案解：36÷（1+20%），=36÷1.2，=30（元）；答：成本价是30元．12个书包的原价是45元，打八折后的价格是多少元？答案解：45×80%=36（元）；答：打八折后的价格是36元．13一件衣服降价20%出售，现价192元．降价了多少元？解：162÷（1-20%）×20%，=162÷80%×20%，=202.5×20%，=40.5（元）；答：降价了40.5元．14一台液晶电视，降价600元后，卖4400元．降价百分之几？答案解：600÷（600+4400），=600÷5000，=12%；答：降价12%．15实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了百分之几？答案解：（1200-1000）÷1000，=200÷1000，=0.2，=20%．答：实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了20%．。

数学分析选讲：习题解答(刘三阳)

(1− sin x)10 − sin x
−1
= 10(1 +
t)9
|t = 0
+10(1 +
t)9
|t=0 =
20 .
∑ ∑ ∑ （8）原式
=
lim
n→∞
k i =1
(n
+ i)m − nm−1
nm
=
k i =1
i
⋅ lim n→∞
(1 +
i )m n i
−1
=
k i ⋅ m = m k(k +1) .
− (1−
1
)
1 6
]
=
lim
x⋅
2
⋅
1
(1
+
ξ
−
)
5 6
=
1
。
x→+∞
x
x
x→+∞ x 6
3
(8) 原式 = lim
n2
1 ln(n+1)
1 ln n
[en − en+1 ] = lim
n2
eξ [1 ln(n +1) − 1 ln n]
n→∞ ln(n +1)
n→∞ ln(n +1) n
n +1
[ln f (t )]′ t=a (ln t )′ t=a
a f ′(a) f (a)
x→a
x→a
练习 1-2（中值定理求极限）
1.求下列极限
（1） lim (sin x +1 − sin x −1) x→+∞
（2） lim cos(sin x) − cos x
x→0

量子力学习题选讲精选全文

可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ，定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。

解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1）其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。

研究生习题选讲(计算机网络)

序列号。试计算以下三种协议可达到的最大信道利用率？ 1）停等协议；2）后退N帧协议；3）选择重传协议
解：对应三种协议的窗口大小值分别是1、7 和4。
使用卫星信道端到端的典型传输延迟是270ms，以1Mb/s 发送， 1000bit 长的帧的发送时间为1ms。用t=0 表示传输开始的时间，那么在t=1ms 时，第一帧发送完毕；t=271ms时，第一帧完全到达接收方； t=272ms，对第一帧的确认帧发送完毕；t=542ms，确认帧完全到达发送方。因此一个发送周期为542ms。
F的延时。试写出路由器C在分别收到3个矢量之后的新路由表？
B 6 C 3 5 A D
E
F
解：已知路由器C测得到达自己的邻接路由器B、D和E的时延分别等于 6、3和5。在收到来自D的矢量(16,12,6,0,9,10)后，路由器C9,0,4)后，路由器C的路由表如下表所示：
如果在542ms 内可以发送k 帧，由于每一个帧的发送时间为1ms，
则信道利用率为k/542，因此：（a） k=1，最大信道利用率=1/542=0.18%
（b） k=7，最大信道利用率=7/542=1.29%
（c） k=4，最大信道利用率=4/542=0.74%
3.假设需要设计一个类似于TCP滑动窗口协议，该协议将运行在一个 100Mb/s的网络上，网络中线路的往返时间RTT=100ms，报文段的最大生存时间为60s。那么，所设计的协议头部中的窗口字段和序号字段最少应该有多少比特？为什么？解：窗口大小必须能够将容纳的数据应该为RTT×带宽，而序号则应该保证不会回绕造成具有相同序号的报文段在网络中同时传输，即序号大小至少为报文最大生存时间×带宽。已知该网络的带宽为 100Mb/s，线路的往返时间RTT为100ms，报文最大生存时间为60s。则RTT×带宽=100ms×100Mb/s=10Mb=10×106b,而223＜10×106 ＜224，这样窗口大小必须容纳224/8=221B，即窗口字段最小应该为 21b 。而报文段最大生存时间 × 带宽 =60s×100Mb/s=6000Mb=6×109b, 232 ＜6×109 ＜233 ，这样序号空间大小至少233/8=230，即序号字段最小应该为30b。

大学物理第11章习题课选讲例题

为：（）
(1) B1 0 , B2 0
I B1
(2)
B1 0 , B2 2
20I
πl
a
I
b
(3)
B1 2
20I
πl
,
B2
0
B2
cd I
(4) B1 2
20I
πl
,
B2

2
20I
πl
例如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电
流为 I ，则下述各式中哪一个是正确的? （）
每一无限长直线电流在 O 点
的磁感强度 B B1 B2 B3 B4
B 0I 0I
2π 2l 2 2πl
B0 4Bcos45
2R
解：dN = π N2dq
dB =
0I y 2 2(x 2+y 2)3
dN
2
=π(
0 NI x 2+
y y
2
2 )3
2
dq
=π(R2c0oNsI2qR+2cRo2ssi2qn2q )3 2 dq
=
0NI
πR
cos 2q dq
B=
0NI
πR
π
2 0
cos 2q dq
=
0NI 4R
（A）2倍（B）4倍（C）1/2倍（D）1/4倍
例在均匀磁场中，有两个平面线圈，其面积 A1 =
2A2，通有电流 I1 = 2I2，它们所受到的最大磁力矩之比
M1 / M2等于
（A）1
（B）2
（C）4
（D）1 / 4
例：电流均匀地流过宽度为 b 的无限长平面导体薄板，电流为 I ，沿板长方向流动。求：

第一讲集合——精选推荐

第一讲集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）（2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3）（4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。

高中政治选修1 练透讲义第一单元第一课达标检测2 国家的政权组织形式

达标检测2国家的政权组织形式题组一人民代表大会制1．我国宪法第二条明确规定，“中华人民共和国的一切权力属于人民”。

我国人民当家作主的重要途径和最高实现形式是()A．人民代表大会制度B．人民民主专政的国家性质C．中国共产党的领导D．人民代表大会2．我国的人民代表大会制度与西方的议会制、总统制同属于民主共和制，但它们具有本质上的区别，这种区别在于所体现的()A．阶级属性不同B．国家主权不同C．权力授受关系不同D．国家政权运行方式不同3．人民代表大会制度同国家、人民的命运息息相关，因此，在任何时候、任何情况下，都要毫不动摇地坚持和完善人民代表大会制度，发挥其优势和功能。

这是因为()①人民代表大会制度决定着国家的其他具体制度②人民代表大会是中国人民当家作主的重要途径和最高实现形式③人民代表大会制度决定了我国人民当家作主的地位④人民代表大会制度是中国社会主义政治文明的重要制度载体A．①③B．②③C．①④D．②④题组二民主共和制和君主立宪制4．A国总理在实施经济改革过程中，遭遇到议会的不信任案。

为此总理提请总统解散议会，进行议会选举，由新组成的议会来决定总理的去留。

根据材料可以判断出()①A国的政府对总统负责②A国的总统只是虚位，没有实际的权力③A国实行君主立宪制④A国的政府由议会产生，对议会负责A．②③B．①②C．③④D．②④5．当前世界，英国和美国是政体比较典型的国家。

英国是君主立宪制，美国是民主共和制。

这两种政体的主要区别有()①立法机关与行政机关的关系不同②国家元首的产生方式不同③国体与政体的关系不同④政府的国家机构的职责不同A．①②B．③④C．①③D．②④6．(2023·济南市章丘区第四中学高二期末)某校举办网上模拟联合国活动，其中一场是为欧洲疫情问题寻找解决方案。

由甲、乙、丙、丁四位同学分别扮演的英、美、法、德外交官都对一项方案表示了异议。

下面是他们的发言，具有合理性的是()A．甲：“我们很难接受该方案，这方案一定会被国王陛下否决。

线性规划习题选讲

| i || yi (bxi a) |,
min | i | min(ui vi ),
i 1 i 1
19
19
s.t.
i yi (bxi a); i ui vi ;
xxgh5.lg4
表1.2 蔬菜食谱问题的数据每份蔬菜所含营养成分
费用铁(mg) 磷(mg) VA(单位) VC(mg) 烟酸(mg) （元/份） 0.45
0.45 1.05 0.4
青豆
胡萝卜花菜卷心菜
10
28 50 25
415
9065 2550 75
8
3 53 27
0.3
0.35 0.6 0.15
1.5
1.5 2.4 0.6
(5)已知一个量y依赖于另一个量x，现收集有数据如表1.5。
y随
1.5 1.5 6.6 2.7
表1.5
x 变化的数据表
1.9 2.0 7.0 5.7 2.5 2.4 7.6 4.6 3.0 3.2 8.5 6.0 3.5 2.0 9.0 6.8 4.0 2.7 10.0 7.3 4.5 3.5
x x
甜菜
土豆每周营养最低需求量
0.5
0.5 6.0
22
75 325
15
235 17500
5
8 245
0.25
0.8 5.0
1.8
1.0
解：设选用青豆、胡萝卜、花菜、卷心菜、甜菜、土豆为x1…x6份，则可以建立数学模型如下： Min 1.5x1+1.5x2+2.4x3+0.6x4+1.8x5+1.0x6; s.t. x1+x2+x3+x4+x5+x6=14; x1…x6非负整数； x4<=2;x1<=4; x2<=4;x3<=4;x5<=4;x6<=4; 0.45x1+0.45x2+1.05x3+0.4x4+0.5x5+0.5x6>=6.0; 10x1+28x2+50x3+25x4+22x5+75x6>=325; 415x1+9065x2+2550x3+75x4+15x5+235x6>=17500; 8x1+3x2+53x3+27x4+5x5+8x6>=245; 0.3x1+0.35x2+0.6x3+0.15x4+0.25x5+0.8x6>=5.0; xxgh2.lg4

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第一章晶体结构由布喇格公式：
2dhklsin(n1) d 1 1 0 2 sin1 2 si1 n .5 1 4 9 0 .6 5 1 1 o 2 .2 9 5 1 0 1 0 (m )
d2002sin21.63341010(m ) d2112sin31.33771010(m )
第一章晶体结构
该平面（ABC）法线方向的单位矢量是:
ndhidkjdlk a1 a2 a3
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间
距。由|n|=1得到:
1 ( dh ) 2 ( dk ) 2 ( dl ) 3
a1
a2
a3
d
[(
h
)2
(
k
)2
(
l
)
3
]
1 2
a1
a2
a3
故
d
1
( h )2 ( k )2 ( l )3
体积=(1/4)a3
第一章晶体结构
面心立方的次近邻为6个原子，
因此，所有次近邻原子的连线的中垂面围成一个立方体，体积为a3
补充：试求出SC；BCC；FCC；HCP的最近邻到第十近邻原子数和距离
列表如下：
N
SC
BCC
FCC
近邻数距离近邻数距离近邻数距离
16 1
8
1
12 1
2 12
2
2
b3 a (i k i)
倒格子原胞的体积:
b1•(b2b3)3 a32
FCC结构的布里渊区
第一章晶体结构
补充2、按照WS原胞的构造法，如果FCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？如果FCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？解：面心立方的最近邻为12个原子，因此，所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个12面体，如图：
那么，倒格子的基矢为：
i jk
b1 2a2a3
2
3a 2
a 2
0
2 i2 j
3a a
00c
b2
2
a3 a1
2
ij 00 3a a 22
k c 2 i 2 j
3a a 0
ij
b3
2
a1 a3
2
3a a 22
3a a 22
k 0 2 k
a 0
与正点阵相比，倒点阵仍然是简单六方点阵，但相对正点阵绕c轴旋转了30°.
a3.27251010(m )
补充： 1、试计算面心立方晶胞的第一布里渊区的
体积。解：因为面心立方晶胞的倒格子为体心立方
面心立方的基矢：
a a1 2 (i j)
a a2 2 ( j k)
a3
a 2
(k
i)
a1
•(a2
a3)
1 a3 4
面心立方晶胞的倒格子基矢为：
b1
2
a
(i
j
k)
2
b2 a (i j k )
d2202sin31.16091010(m )
d3102sin41.04031010(m )
应用立方晶系面间距公式 :
dhkl
a h2 k2 l2
第一章晶体结构
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值为（×10-10 m） 3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得：
a1
a2
a3
第一章晶体结构
1.9 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
I F h k l| f 2 [ 1 c o s n ( h k l ) ] 2 f 2 s i n 2n ( h k l )
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。
38
3
46
4
5 24
5
6 24
6
6
4/3
6
2
12
8/3
24
3
24
11/ 3
12
4
8
12 / 3
24
5
8
16 / 3
8
6
结束语
谢谢大家聆听！！！
24
其第一布里渊区的WS原胞，仍然为一个六方正棱柱。
1.8 若基矢a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族
（hkl）的面间距为：
dhkl
1 (h)2 (k)2 (l )2
abc
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为:
a1 ; a2 ; a3 ; hk l
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：
Rf
2a 2
第一章晶体结构
1.7 六方晶胞的基矢为：
a
3 ai a j
b
3 ai a j
22
22
c ck
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区。答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积：
a•(bc) 3a2c 2
-习有许多金属既可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小. 设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构中同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：