2013B班 数学分析(1) 第六章 §4函数的极值与最值
新教材高中数学第六章导数及其应用：导数与函数的极值最值pptx课件新人教B版选择性必修第三册
在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得
极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;
当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,
因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),
则当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)≥0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),
所以函数f(x)的极小值点为0,没有极大值点,
即函数f(x)有且仅有一个极值点.故选D.
规律方法
x0是极值点满足的条件
一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函
数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极
值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么
是极值点.
名师点睛
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于
x0的x,都有
(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极大值点 ,且f(x)在x0处取极大
值;
(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极小值点 ,且f(x)在x0处取极小
函数的极值-课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
高中数学备课教案函数的极值与最值
高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。
本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。
二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。
极值分为最大值和最小值两种。
2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。
（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。
（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。
2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。
并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。
（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。
解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。
将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。
高等数学b2第六章教材答案
高等数学b2第六章教材答案高等数学B2 第六章教材答案第一节：函数极值和最值1. 函数的极值和最值是函数在定义域内的特殊点，它们在数学和实际问题中具有重要的应用价值。
下面是第六章教材中相关习题的答案：习题1：a) 求函数$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$在区间[-1, 2]上的极大值和极小值。
解：首先求函数$f'(x) = 6x - 6$的零点，即$6x - 6 = 0$，得$x = 1$。
将$x = -1, x = 1, x = 2$代入$f(x)$中，分别得到$f(-1) = 13, f(1) = -1, f(2)= 10$。
所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值-1，在$x = -1$处取得极大值13。
b) 求函数$g(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 3$在整个定义域上的最大值和最小值。
解：首先求函数$g'(x) = 3x^2 - 9x$的零点，即$3x^2 - 9x = 0$，得$x = 0, x = 3$。
将$x = 0, x = 3$代入$g(x)$中，分别得到$g(0) = 3, g(3) =\frac{27}{2}$。
所以$g(x)$在$x = 3$处取得最大值$\frac{27}{2}$，在$x = 0$处取得最小值3。
2. 函数的极值和最值在实际问题中有很多应用，比如优化问题、经济学中的最大效益等。
通过求解函数的极值和最值，可以找到使函数取得最优结果的变量取值。
习题2：一块长方形的地面上，以其一条边为底，作一个等腰直角梯形，使得梯形的上底与下底分别与已知两块木板的宽度相等。
问该等腰直角梯形的底边长度为多少，才能使梯形的面积最大。
解：设等腰直角梯形的底边长度为$x$，则梯形的上底和下底长度也都为$x$。
设梯形的高为$h$，根据勾股定理得到$h = \sqrt{2}x$。
梯形的面积$S(x) = \frac{1}{2}(x + x)(\sqrt{2}x)$。
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
高中数学教案学习函数的极值与最值
高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。
通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。
一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。
极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
它分为两种类型：极大值和极小值。
1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。
1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。
二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。
常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。
对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。
而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。
2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。
如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。
2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。
如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。
三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。
3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
高中数学教案函数的极值与最值
高中数学教案函数的极值与最值高中数学教案：函数的极值与最值一、引言函数的极值与最值是数学中重要且常见的概念。
通过求解函数的导数和解方程，我们可以确定函数在特定区间内的极值和最值。
本教案将介绍如何理解和求解函数的极值与最值。
二、概念解释1. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。
极大值是最大值，极小值是最小值。
2. 最值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为最值。
最大值是所有极大值中的最大值，最小值是所有极小值中的最小值。
三、求解过程1. 确定定义域：首先确定函数的定义域，即函数的取值范围。
2. 求导数：对函数进行求导，得到函数的导数表达式。
3. 求导数为零的点：将导数表达式等于零，求解方程，得到导数为零的点，即可能的极值点。
4. 求导数不存在的点：在导数表达式中寻找导数不存在的点，即可能的极值点。
5. 确定极值点：将求解得到的导数为零和导数不存在的点代入原函数，求出对应的函数值。
6. 比较大小：通过比较极值点对应的函数值，确定极大值和极小值。
四、示例教学在具体教学中，可以通过以下步骤和实例来引导学生理解和掌握函数的极值与最值。
步骤一：引入问题利用一个实际问题，例如一个汽车行驶的距离和时间的关系，通过绘制图像或给出函数公式，展示函数的变化趋势，并引出极值和最值的概念。
步骤二：概念解释在引入问题后，对极值和最值进行简单而清晰的解释，帮助学生理解这两个概念的含义，并区分极值和最值之间的区别。
步骤三：求解过程演示通过具体的函数例子，例如二次函数或三角函数，演示求解函数的极值与最值的过程。
引导学生理解每一步骤的目的和意义。
步骤四：学生练习提供一些练习题目，让学生自己应用所学的求解方法，求解给定函数的极值与最值。
逐步增加难度，让学生独立思考和解决问题。
步骤五：总结与巩固结合课堂练习的结果，对函数的极值与最值进行总结，强化学生对这一概念的理解和应用能力。
五、教学评估在教学过程中，可以进行以下一些评估方式：1. 课堂练习：通过课堂练习题目的完成情况，评估学生对函数极值与最值的理解和应用能力。
2013B班 数学分析(1) 第四章 函数的连续性 习题课
5、间断点及其分类
第 一 类 ：f ( x0
0)全都存
在{可 跳去 跃： ：ff
( (
x0 x0
0) 0)
f ( x0 f ( x0
0); 0).
第二类：f ( x0 0)之一不存在(无穷大间断、振动间断、 ）
例2 （1）讨论函数
y
y 1 x
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim(1 x) 2
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 1为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,
则可使其变为连续点.（连续延拓）
令fˆ
(1)
2，则
fˆ
(
x)
2
x,
0 x 1, 在x 1处连续.
令
min
1im,ri
{|
x0
ri
x0
|} 0,
若x为无理数，则R( x) 0;
当0 | x x0 | 时，
（x ri )
若x为有理数，则其分母必大于k，于是
R( x)= 1 1 ,
qk
(欲使 | R( x) | ,只需取k [ 1] 1 1 )
总之，有 | R( x) 0 | , lim R( x) 0. x x0
证
x0 （0,1）, 0,
取k [ 1] 1,
要证:x0
（0,1）,
有 lim xx0
R( x)
0.
0, 0,当 x x0 时,
有 R(x) 0 R(x)
因为分母不超过k的有理点的个数是有限的，设只有m个
函数的极值与最大(小)值(解析版)
函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。
本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。
一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。
定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。
其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。
2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。
通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。
3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。
通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。
4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。
这种方法在实际问题中应用较多。
三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。
2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。
3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。
4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。
总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
函数最值和极值的知识点
函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。
在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。
本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。
1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。
函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。
2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。
3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。
而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。
4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。
具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。
b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。
5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。
在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。
总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。
通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。
这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。
§4.函数的极值与最大(小)值解读
§4. 函数的极值与最大（小）值教学内容：函数的极值和最值的判断与计算。
教学目的：清楚函数极值与最值的概念；掌握判断和求解函数极值与最值的一般方法和步骤；并能灵活加以运用正确的判定和求出函数的极值与最值。
教学重点：利用导数求极值的方法。
教学难点：极值的判定。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：函数的极值与最值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中也占有重要的地位，本节课我们就来重点讨论判断和求解函数极值与最值的常用方法。
首先，回顾前面已经介绍过的极值与最值的概念： 设函数)(x f 定义在数集I 上，若：1．I x U ⊂∃)(0，对一切)(0x U x ∈，都有⎩⎨⎧≤≥)()()()()()()()(000000x f x x f x f x f x f x x f x f x f 取得极大值在极大值点称函数取得极小值在极小值点称函数2．I x ∈∃0，对一切I x ∈，都有⎩⎨⎧≤≥)()()()()()()()(000000x f x x f x f x f x f x x f x f x f 取得最小值在最小值点称函数取得最大值在最大值点称函数. 一、极值的判定：1．第一充分条件：（f 在0x 点连续）定理6.10 设函数f 在点0x 连续，在某);(0δx U内可导，（1）若当00(,)x x x δ∈-时，0()0f x '≤；当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值；（2）若当00(,)x x x δ∈-时，0()0f x '≥；当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值；（3）若()f x '在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内不变号，则点0x 不是极值点。
证明：这里只证明（1），其它可类似给予证明。
yo δ-0x 0x δ+0x x当00(,)x x x δ∈-时，0()0f x '≤，)(x f ∴在),(00x x δ-内单调递减，又 当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '≥，)(x f ∴在),(00δ+x x 内单调递增，而f 在点0x 连续，从而f 在],(00x x δ-递减，在),[00δ+x x 递增，故对一切),(0δx U x ∈，恒有)()(0x f x f ≤，即f 在点0x 取得极小值。
数学分析(上) 6-4函数的极值与最大(小)值
例1 求函数 f ( x) 3arctan x ln x 的极值点 .
解由
f
( x)
3 1 x2
1 x
( x2 3 x 1) x(1 x2 )
0,
求得稳定点
3 5
3 5
x1 2 , x2 2 .
x
3 (0,
5 3 )
5 (3 5 ,3
5) 3
5
(3
5 , )
2
2
2
2
2
6( x 1)( x 2)
, ,
1 4
0
x
x0 .
5 2
容易计算 f (0 0) 12, f (0 0) 12, 并且 f ( x)
在 x = 0 连续，由导数极限定理推知
12 f(0) f(0) 12, 故在 x = 0 不可导.
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这样就得到不可导点为 0, 稳定点为 1, 2. 又因
其中 n( x)
f (n)( x0 ) o (1) , n!
它在某邻域 U ( x0; )
内恒与 f (n)( x0 ) 同号.
(i) 当 n 为偶数, 而 f (n)( x0 ) 0 时 , 有
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n( x)( x x0 )n 0 , x U( x0; ),
故 f ( x) f ( x0 ) , x U ( x0; ), 即 x0 是极小值点 ;
f (0) 0 , f (1) 1 ,
因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因 f (4)( x) 24(35x3 45x2 15x 1) ,
f (4)(0) 0 , 所以 f (0) 0 是极大值( n = 4是偶数 ).
函数的极值和最值讲解
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈因为1)(-=x x f 在处取得极值所以'(1)3630f m -=--=所以3m =。
数学分析6.4函数的极值与最大（小）值（讲义）
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)一、极值判别定理6.10：(极值的第一充分条件)设f在点x0连续，在某邻域U0(x0,δ)内可导：1、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，则f在点x0取得极小值.2、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≥0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≤0，则f在点x0取得极大值.证：∵当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，∴f在(x0-δ,x0)内递减.∵当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，∴f在(x0-δ,x0)内递增.∴对任意x∈U(x0,δ)，恒有f(x)≥f(x0)，即f在x0取得极小值。
同理可证2.定理6.11：(极值的第二充分条件)设f在点x0的某邻域U(x0,δ)内一阶可导，在x= x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0.1、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值.2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.证：依题意，f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2).∵f’(x0)=0，∴f(x)-f(x0)=12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2)=[12!f”(x0)+o(1)](x-x0)2.又f”(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 2!f”(x0)与12!f”(x0)+o(1)同号.∴当 f ”(x 0)<0时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0)，∴f 在点x 0取得极大值. 当 f ”(x 0)>0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)>f(x 0)，∴f 在点x 0取得极小值.例1：求f(x)=(2x-5) x 23的极值点与极值.解：f(x)=(2x-5) x 23=2x 53-5x 23, f ’(x)=103x 23−103x −13, f ”(x)=209x−13+109x −43.当f ’(x)=0时，103x 23−103x −13=0，解得x=1.∵f ”(1)=209+109=103>0，f(1)=2-5=-3. ∴f 在x=1取得极小值f(1)=-3. 又f 在x=0连续，f ’(0)不存在，当0<x<1时，f ’(x)= 103x 23−103x −13<0，当x<0时，f ’(x)= 103x 23−103x −13>0，∴f(x)在x=0取得极大值f(0)=0.例2：求f(x)=x 2+432x的极值点及极值.解：f ’(x)=2x −432x 2, f ”(x)=2+864x 3. 当f ’(x)=0时，2x −432x 2=0，解得x=6.∵f ”(6)= 2+86463=6>0，f(6)=36+72=108. ∴f 在x=6取得极小值f(6)=108.定理6.12：(极值的第三充分条件)设f 在x 0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x 0处n 阶可导，且f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，f (n)(x 0)≠0，则：1、当n 为偶数时, f 在x 0取得极值，且当f (n)(x 0)<0时取极大值，当f (n)(x 0)>0时，取得极小值.2、当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值.证：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+12!f ”(x 0)(x-x 0)2+…+1n!f (n)(x 0)(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ).∵f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，∴f(x)-f(x0)=1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n)=[12!f(n)(x0)+o(1)](x-x0)n.又f(n)(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 n!f(n)(x0)与12!f(n)(x0)+o(1)同号. ∴当n为偶数时，有当f(n)(x0)<0时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0)，∴f在点x0取得极大值. 当f(n)(x0)>0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)>f(x0)，∴f在点x0取得极小值. 当n为奇数且f(n)(x0)<0时，有当x0<x<x0+δ’时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0).当x0-δ’<x<x0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)<f(x0).即f(x)递增. 同理可证，当n为奇数且f(n)(x0)>0时，f(x)递减.∴当n为奇数时, f在x0处不取极值.例3：试求函数x4(x-1)3的极值.解：记f(x)=x4(x-1)3=x7-3x6+3x5-x4.当f’(x)=7x6-18x5+15x4-4x3=0时，x=0或x=1或x=47.∵f”(x)=42x5-90x4+60x3-12x2，∴f”(0)=0,f”(1)=0,f”(47)=6449>0.∵f”’(x)=210x4-360x3+180x2-24x，f”’(0)=0, f”’(1)=6(无极值). f(4)(x)=840x3-1080x2+360x-24，f(4)(0)=-24<0.∴x4(x-1)3在x=0处有极大值f(0)=0，在x=47处有极小值f(47)=−6912823543.四、最大值与最小值比较f的所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，以取得f的最值.例4：求f(x)=|2x3-9x2+12x|在闭区间 −14,52上的最大值与最小值.解：当f(x)=|2x3-9x2+12x|=0时，x=0，∴f’(x)=|6x2-18x+12|, (x≠0). 当f’(x) =|6x2-18x+12|=0时，x=1或x=2.f(−14)=|2× −143-9× −142+12× −14|=3932, f(1)=|2-9+12|=5,f(2)=|2×23-9×22+12×2|=4, f(52)=|2×523-9×522+12×52|=5.∵0<3932<4<5，∴f在x=0处取最小值0，在x=1,x=52处取最大值5.例5：一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小?解：记速度为x km/h, 燃料费为y元,可设y=kx3,将x=10, y=6代入上式得6=1000k, ∴k=0.006.记每航行1km所消耗的费用为f(x)=1x(0.006x3+96).当f’(x)=0.018x−1x2(0.006x3+96)=0时，x=20.又当x<20时，f’(x)<0，∴f(x)>f(20)；当x>20时，f’(x)>0，∴f(x)>f(20)，即x=20是f唯一的极小值点，且f在(0,+∞)处处可导，∴当轮船的速度为20km/h时，每航行1km所消耗的费用f(20)=120(0.006×203+96)=7.2(元)最小.例6：剪去边长为a的正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子容积最大. 解：设小正方形的边长为x，则0<x<a2，记盒子的容积为：f(x)=x(a-2x)2=4x3-4ax2+a2x, x∈(0,a2)，当f’(x)=12x2-8ax+a2=0时，x=a2(舍去)或x=a6.又当x<a6时，f’(x)>0，∴f(x)<f(a6)；当a6<x<a2时，f’(x)<0，∴f(x)<f(a6)；即x=a6是f唯一的极大值点，且f在(0,a2)处处可导，∴剪去小方块的边长为a6时，盒子容积f(a6)=a6(a−2a6)2=2a327最大.。
数学分析函数的极值和最值
§4.微分中值定理在研究函数极值与最大（小）值方面的应用[教学目的]会求函数的极值和最值。
[教学要求]（1）会求函数的极值与最值；（2）弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。
[教学重点]利用导数求极值的方法[教学难点]极值的判定[教学方法]讲授法＋演示例题[教学程序]引言函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。
Fermat 定理告诉我们：若函数f 在点0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=，即可导函数f 在点0x 有极值的话，必有0()0f x '=。
进一步的问题是：如果y ＝f(x)在点0x 不可导，它有没有可能在0x 点取得极值呢？回答是肯定的，例如y ＝|x|，在x ＝0不可导，但在x ＝0有极小值。
综上可见：极值点只可能是下述两种点：（1）0()0f x '=；（2）y ＝f(x)在点0x 不可导。
把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。
如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？这正是我们今天要解决的问题。
1、极值判别定理1（极值的第一充分条件）：设f 在点0x 连续，在某邻域U(0x ,δ)内可导，（1）若当00(,)x x x δ∈-时，0()0f x '≤；当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '≥，则f 在点0x 取得最小值；（2）若当00(,)x x x δ∈-时，0()0f x '≥；当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '≤，则f 在点0x 取得最大值；（3）若()f x '在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内不等号，则点0x 不是极值点。
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3.第三充分条件 (定理6.13) 若f ( x)在x0有n 阶导数，
且 f (k) ( x0 ) 0, (k 1, , n 1), f (n) ( x0 ) 0, 则
(i) 当n是偶数时，f 在x0取得极值，
且当 f (n) ( x0 ) 0时取极大值； f (n)( x0 ) 0时取极小值；
x
1 3
3
1 3x
(5x
2a).
当a
0 时,
稳定点为
x
2a 5
, 不可导点为
x
0
;
当 a 0 时，稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
为了更好地加以判别，我们列表如下： f (x) 1 (5x 2a) 33 x (1) a 0
x (, 0)
0
(0,
2a 5
)
2a 5
(
2a 5
,
)
y 不存在
有 f (0) 6 0，
故 f ( x)在x 0取得极小值f (0) 0;
y y=f(x)
-1 O +1 x
又 f (1) 0 ？（第二充分条件不满足）
求更高阶导数：f ( x) 120x3 72x, f (1) 0 ？
（第三充分条件：不取极值）
由于在 x 1 两侧 f (x) 不变号， 根据第一充分条件 ， x 1都不是 f ( x)的极值点.
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x) 0, y
当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x) 0,
则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
o
x0
x
(ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0, 当x ( x0, x0 )
时，f ( x) 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
5 3
2
x3
0
f ( x)在（ ， ）严格增加，不存在极值点.
例2 求 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值.
解：f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2)
令 f ( x) 0，得稳定点 x1 4，x2 2.
由于f ( x) 6x 6，有 f (4) 18 0,
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 , 那么 x x0 是 f ( x)的一个极值点 , 并且 (i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x) 在 x x0 处取极大值 .
证 (i) 由已知
f ( x0 )
2a
5
5
y
0
( 2a , 0) 5
2
y
增
3 5
2 5
3
a
5 3
减
0
不存在
0
(0, )
增
即
x
2a 5
是极大值点,
y
f
2a 5
3 5
2 5
2
3
a 53 是极大值；
1
x 0是极小值点, f (0) 0 是极小值 .
-1 O
1x
-1
(3)
5
a 0, f ( x) x 3 ,
f ( x)
(iii) 若f ( x)在x0两侧不变号，则 f ( x) 在点 x0 不取极值 .
y
y
o
x0
xo
x0
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
x0
x
(不是极值点情形)
2.第二充分条件 (定理6.12)
设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域 U 0(x0, ) 上一阶可导， 在点 x x0 处二阶可导，且
(ii) 当n是奇数时，f 在x0不取极值.
例4 求 f ( x) e x e x 2cos x 的极值. 解 f ( x) e x e x 2sin x
令 f ( x) 0，得稳定点 x 0. (唯一的？) 又f ( x) e x e x 2cos x, 有 f (0) 0;
若x0为f ( x)的极值点，则f ( x0 ) 0 （稳定点）.
极值的必要条件：若 f ( x) 在 x0的某邻域 有定义，
点x0是极值点 f ( x0 ) 0 或 f ( x0 )不存在
一、极值的判别法
1.第一充分条件 (定理6.11)
设函数 f (x) 在点x0 连续，在某邻域 U 0(x0, ) 上可导.
f ( x) e x e x 2sin x, 有 f (0) 0; f (4) ( x) e x e x 2 cos x, 有 f (4) (0) 2 0.
第六章 微分中值定理及其应用
§4 函数的极值与最值
复习极值的概念： 若在 某个U( x0 )上恒有 f ( x) f ( x0 ) ( f (x) f (x0 ) ) 成立,
则称 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值（极小值）， x0 为 f (x)的一个 极大值点（极小值点）.
费马定理：设 f ( x) 在 x0的某邻域 有定义，且在点x0可导.
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
f ( x)
lim
0,
xx0 x x0
根据极限的保号性，存在1 0 （1 ),
当 x U ( x0; 1) 时,
f ( x) 0 . x x0
从而当 x ( x0 1, x0 ) 时, f ( x) 0 ;
当 x ( x0, x0 1) 时, f ( x) 0.
故有极大值
f (4) 60 ;
M
又有f (2) 18 0,
故有极小值
f (2) 48.
m
例3 求 f ( x) ( x2 1)3 1的极值.
* 解 f ( x) 6x( x2 1)2.
令 f ( x) 0，得稳定点 x 1, 0, 1.
由 f ( x) 6( x2 1)(5x2 1)，
0
y增
0
减
3 5
2 5
2 3
a
5 3
增
极大值
极小值
y
即 x 0是极大值点，f (0) 0 是极大值 ;
x 2a 是极小值点 ,
1 x 2a 5
5
f
2a 5
3 5
2 5
2 3
5
a 3 是极小值.
-1
O -1
1
x
-2
(2) a 0
f ( x) 1 (5x 2a) 33 x
x (, 2a )
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
问：若 f (x0 ) f (n1) ( x0 ) 0 , 且 f （n）(x0 ) 0 ?
例1
求函数
f
(
x
)
(
x
a
)
x
2 3
的极值点与极值
.
解：f
(x)
5
x3
2
ax 3
在
(, )
上连续
.
当 x 0 时,
f
( x)
5 3
2
x3
2a 3