世界数学难题——欧拉七桥问题
哥尼斯堡七桥问题简介
哥尼斯堡七桥问题简介在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。
想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。
然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。
他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。
你说，他是不是特别酷？于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。
他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。
每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。
他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。
这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。
有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。
这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。
简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。
如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。
哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。
可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。
像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。
欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。
于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的问题。
很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。
最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。
一笔画哥尼斯堡七桥问题
一笔画哥尼斯堡七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
故事背景七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
著名数学家欧拉后来推论出此种走法是不可能的。
七桥问题与一笔画
● 点A、B表示岛 点C。D表示岸 ▎线表示桥
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ● ●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
一.填空
1.图（1）中，有 2.图（2）中，有 3.图（3）中，有 4.图（4）中，有
（1）
（2）
个奇点；有 8 个奇点；有 4 个奇点；有 6 个奇点；有 4
（3）
0 个偶点。 个偶点。 1 个偶点。 6 个偶点。 5
（4）
练一练
二.在下图中,哪个图形能一笔画出？哪个不能一 笔画出？能一笔画出的，请把他们画出来。
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
√ （1）
（2）√
√ （3）
√ （4）
× （5）
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
问题情景
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一 条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两 岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的 居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不 重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
世界数学难题——欧拉七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题世界数学难题。
18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727 年在欧拉20 岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
笔画问题。
经过研究，欧拉发现了一笔画一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连一笔画通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①，一定可以一笔画成。
画时2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
另外，笔者很好奇，小学的时候曾有老师提出别人类七桥的经典问题：能否三笔走完，条件如上。
？？？？谁能用一片论文证实？以我的资质，是没法证实的了，谁能给出答案?。
欧拉究竟是怎样解决_七桥问题
参考文献 1 梁宗巨 ,王青建 ,孙宏安 1 世界数学通史 (下册) . 沈阳 :辽宁教
了利用表格判断的程序 :
·用大写字母 A ,B ,C 等表示被水隔开的各
个陆地区域.
·把桥的总数加一的和写在表格的顶端.
·在表格的第一列写出表示陆地的大写字
母 A ,B , C 等 ,第二列写出每个字母对应连接的 桥数.
·在对应偶数的字母上打上星号. ·把第二列中的偶数的一半以及奇数加一
的和的一半写在对应的第三列. ·把第三列各数加起来 ,如果这个和与顶端
许多文献在论及欧拉解决七桥问题的方法时都会提到一个类似于图2的点线图认为欧拉是把这个问题的物?背景变换并简化为一种数学设计称作图或网络即把每一块陆地用一个点来代替将每一座桥用连接相应的两个点的一条线来代替从而相当于得到一个图图2进而通过判断这个图是否能够一笔画解决了七桥问题
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数学通报 2009 年 第 48 卷 第 7 期
问题得到解决之后 ,欧拉总结出了更为简便 的判断方法. 在论文的第二十段总结出了如下的
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数学通报 2009 年 第 48 卷 第 7 期
三条结论 : ·如果连接奇数座桥的陆地不止两个 ,那么
满足要求的路线不存在. ·如果恰好有两个陆地连接奇数座桥 ,那么
满足要求的路线存在 ,但是要从这两个陆地之一 出发.
生 ,有效发挥考试对教学良好导向作用的关键.
参考文献 [ 1 ] [ 4 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] O ECD. Assessing Scientific , Reading and
七桥问题的通用规则
七桥问题的通用规则七桥问题，也被称为哥尼斯堡七桥问题，是一道著名的数学难题。
该问题最早由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，并成为图论的开端之一。
七桥问题描述了一个位于哥尼斯堡的岛屿上的一系列桥梁以及这些桥梁连接的方式。
解决这个问题需要运用到图论中的一些基本原理和规则。
在七桥问题中，岛屿上有一些桥梁，而我们的目标是从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。
然而，这个问题的挑战在于，岛屿上的桥梁连接方式并不是一个简单的环，而是一个复杂的图。
因此，我们需要运用一些通用规则来解决这个问题。
首先，我们需要了解一些图论的基本概念。
在图论中，桥梁被表示为图中的边，而岛屿则被表示为图中的顶点。
七桥问题中的桥梁连接方式可以被看作是一个图，我们需要将其转化为数学模型，以便进行分析和解决。
在这个过程中，我们可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示桥梁和岛屿之间的连接关系。
接下来，我们可以运用欧拉路径的概念来解决七桥问题。
欧拉路径是指一条路径，该路径恰好经过图中的每一条边一次。
对于七桥问题，我们的目标是找到一条欧拉路径，使得我们可以从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。
根据欧拉路径的特性，我们可以得出以下的通用规则。
首先，欧拉路径存在的条件是：图中所有顶点的度数为偶数，或者恰好有两个顶点的度数为奇数，其余顶点的度数为偶数。
度数是指与顶点相连的边的数量。
因此，在七桥问题中，如果岛屿上的每一座桥的连接点的度数都是偶数，或者有且只有两座桥的连接点的度数为奇数，我们就可以找到一条欧拉路径。
其次，如果图中存在度数为奇数的顶点，那么我们的欧拉路径的起点和终点一定是这些顶点中的一个。
因为每条桥梁的连接点度数为偶数，除了起点和终点外，其余所有顶点的度数一定是偶数，无法成为欧拉路径的起点和终点。
因此，在七桥问题中，如果岛屿上存在两座或更多的桥梁连接点的度数为奇数，我们就可以从其中一个度数为奇数的连接点出发，找到一条欧拉路径。
数学家欧拉和七桥问题
数学家欧拉和七桥问题
18世纪，欧洲有一位伟大的数学家名字叫欧拉。
欧拉是有史以来拥有最多遗产的数学家，全欧洲的科学家都以他为师表，都称自己是他的学生。
他实际上支配了18世纪的数学。
作为数学教授，他任教于圣彼得堡和柏林。
七桥问题
这是18世纪著名的古典数学问题之一。
在哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结。
（如图）城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题。
当时的人们始终没有能找到答案。
欧拉想出了好办法，他将桥搬到纸上画出图。
将南、北两岸和小岛分别用点来表示，用线表示桥，将点与线连接起来。
（如图）他用一支笔，笔尖从起点开始沿着线画，代表人行走的路线，每条线只画一次。
欧拉通过对七桥问题的研究，解决了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明一笔画的三条结论，即欧拉定理。
著名数学家的故事
目录著名数学家的故事欧拉与哥尼斯堡七桥问题 (2)费马与费马大定理 (3)高斯与算术几何平均 (4)希尔伯特与数学问题 (5)佩尔斯与数学中的反例 (6)艾伦.图灵与计算机科学 (7)约翰.纳什与博弈论 (8)艾米.诺特与数学中的性别平等 (9)格里高利.佩雷尔曼与庞加莱猜想 (10)阿基米德（Archimedes）的故事 (11)艾萨克.牛顿（Isaac Newton）的故事 (12)黎曼的故事 (13)阿贝尔的故事 (14)伽罗瓦的故事 (15)柯西的故事 (16)罗巴切夫斯基的故事 (17)欧拉与哥尼斯堡七桥问题在18世纪的欧洲，哥尼斯堡城（现俄罗斯加里宁格勒）有一条普雷格尔河穿城而过，河上有两个小岛，它们与河岸之间分别有七座桥相连。
这优美的景色吸引了无数的游客，同时也引起了数学家欧拉的注意。
有一天，欧拉与几位朋友在河边散步，他们被这座城市的桥所吸引，并产生了一个有趣的问题：一个行人从某处出发，走过每座桥恰好一次，最后回到出发点，这可能吗？欧拉意识到，这个问题实际上是一个图论问题，他回家后开始研究。
他首先将这个问题抽象化，把陆地和岛屿看作点，桥看作连接这些点的线，从而构建了一个图。
然后，他开始尝试使用各种方法来解决这个问题。
经过数日的努力，欧拉发现，要满足题目中的条件，这个图必须是欧拉图，即图中每条边都恰好属于某个环。
但是，在哥尼斯堡的七桥问题中，这个图并不是欧拉图。
因此，欧拉得出结论：行人不可能从某处出发，走过每座桥恰好一次，最后回到出发点。
这个结论不仅解决了哥尼斯堡的七桥问题，也开启了数学中的图论领域，欧拉因此成为了图论的奠基人之一。
费马与费马大定理17世纪，法国数学家费马在阅读一本数学书籍时，在书的边缘写下了一个简短的注释：“我找到了一个真正精彩的证明，但这里的空间不足以写下它。
”这个注释是关于一个看似简单却困扰了数学家们数百年的问题——费马大定理。
费马大定理说的是：“不存在正整数,,x y z和n，使得n n n+=，其中n是大于x y z2的整数。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
历史著名的欧拉七桥问题
在一些数学竞赛中有一些数学题目是给定的图形能不能一笔画的问题，其实这些就是来源于著名的七桥问题。
18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。
这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。
河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。
人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥呢？每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。
这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。
”七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。
欧拉简化后的数学模型这显然并没有改变问题的本质特征。
于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。
这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。
接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析：一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。
除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点。
欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。
如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”。
欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。
七桥问题在生活中的应用应用
七桥问题在生活中的应用张凤军七年级数学中提到了一个非常有趣的问题：18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题，当时有很多人都想找出问题的答案，但都没能找到，这是为什么呢？找到了答案又会在生活中有何应用呢？一、与“一笔画”的联系。
首先我们先看一看著名数学家欧拉是怎样给出问题答案的：他用四个点A、B、C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何一笔画出图中的图形？欧拉经过研究发现，此图不能一笔画出，这就是说找不到不重复地经过所有七座桥的路线，那么什么样的图形才能一笔画出呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。
②有偶数条边相连的点叫偶点。
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
可以想象，①凡是“一笔画”，一定有一个“起点”，一个“终点”，还有一些“过路点”。
有一条线进入过路点，必有一条线离开过路点，即对于过路点来说，“进”和“出”的线段总是成对出现的，也就是说，对于过路点，和它们相连的线段总是偶数条。
②对于起点和终点来说，如果它们不是同一点，那么和它们相连的线段就是奇数条，这时奇点有2个.如果起点和终点是同一点，那么就没有奇点，即奇点个数为0.简单说：能够一笔画的图形奇点的个数只能是0或2，而七桥问题中不符合一笔画的条件，也就无法不重复的经过所有七座桥，通过上面的分析，我们今后能很快看出哪些图形可以一笔画，那些不能。
二、知识的拓宽与应用1.在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！2.一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下图（左）：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？3.下图（右）是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？用概率判断游戏的公平性大北中学 张凤军我们在生活中常做一些游戏，但游戏规则的制定必须对双方都是公平的，这个游戏才能进行，否则就会有一方因为游戏不公平而退出游戏，那么如何判断游戏规则是否公平呢？学习了初中数学中《用列举法求概率》一节内容，问题便迎刃而解了。
七桥问题与解读
七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。
七桥问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理F”。
1提出时间七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
七桥问题
七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
七桥问题
七桥问题18世纪，东欧的哥尼斯保堡城(现俄罗斯的加里宁格勒)，普雷格尔河静静地流入市区，把奈发夫岛分成两个小岛，形成一个“8”字(如图2－26)．后来，在河两岸及河中两个岛上建立了一座风景优美的公园，并用七座桥把两岸和两个小岛连接起来．当时，市民们都喜欢到这个美丽的公园中游玩，还热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能够一次走遍这七座桥，每座桥只走过一次，最后又回到出发点．这就是历史上有名的“七桥问题”．七桥问题看似简单，但多少个春秋过去了，成千上万的人试过了，都没有找到答案．这个问题也很快传遍欧洲，成为全欧洲闻名的难题．因工作过度劳累而右眼失明的著名数学家欧拉当时正在彼得堡工作，他也对七桥问题发生了兴趣．许多人的失败引起他的深思，也许并不存在这种走法．但是，猜测不能代替严密的数学证明．欧拉为了证明自己的猜想，首先考虑“穷举法”．他仔细地把所有可能的走法列成表格，逐一检查，实在是太困难了．他又想到，如果在同样的问题中，桥更多时，那这种“穷举法”就毫无实用价值了，因此，他放弃了穷举法．欧拉改变了他考虑问题的方法．从七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关这一特点出发，联想到莱布尼茨最先提出的“位置几何学”．这种几何学只讨论与位置有关的关系，研究位置的性质，不考虑长短、大小也不涉及量的计算．欧拉用A、D表示两个小岛，点B、C表示河的两岸，再用连接两点的线表示桥(如图2－27)，由此得到一个由4个点和7条线组成的图形．在这里岛的大小和桥的长短是无关紧要的．这样，七桥问题就转化为该图形能否用一笔画出，并且最后回到起点的“一笔画”问题．1736年，欧拉在彼得堡科学院作了一次精彩的科学报告，用上述方法证明了自己的猜想，从而彻底解决了七桥问题．“七桥问题”或“一笔画问题”显然是一道几何问题，而这种几何问题是我们没有研究过的，它与点的位置无关，与线段长短也无关，与线段长短也无关，只与点线间的相互位置有关．这类问题是属于一种新的数学学科—拓扑学．。
七桥问题
七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Preg el的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
欧拉与7桥问题
欧拉与7桥问题
黄来芳
有一段时间，欧拉旅居普鲁士国哥尼斯堡。
这是一座风景秀丽的小城，普勒哥尔河流过市中心，河上有两个岛，岛与岛、岛与河岸之间共有7座桥连接（如图1），当地居民都有饭后去河边散步的习惯。
久而久之，有人提出一个问题：能否不重复地一次走完7座桥再回到出发点？
市民都坏着极大的好奇心在桥上走来走去。
遗憾的是竟无一人能完成规定的走法。
消息传到欧拉那里，他也试着在那里走了几回，结果都不成功。
回到住地，他再次研究了这个棘手而有趣的问题。
他想着，画着，一个奇妙的念头产生了：如果把这个问题转化成图形来思考，点代表陆地（岸边
或岛上），用线段代表桥梁，这个问题可用图2来表示（注
意图中A、B、C、D与前面A、B、C、D的对应），整个问
题转化为：能否一笔画出这个图形？
欧拉继续研究发现：它是不能一笔画出的，这就是说：
不重复地游览7座桥是不可能的。
欧拉把有奇数条线经过的点称为奇点，进而他证明了一
个更一般的结论：能够一笔画出的图形，它的奇点个数是0或2。
欧拉记载这个结论的文章竟引发了“拓扑学”和“图论”两们数学分支的诞生。
欧拉与七桥问题
• 欧拉小学时就表现出了他的数学天赋。一天，老 欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺 少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰 起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码 ，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见 方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平 方码。” 这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷 地发现这一点，并不容易。欧拉13岁被巴塞尔大 学录取，受到著名数学家约翰·伯努利的赏识， 对他进行了重点培养。 17岁获得数学硕士学位 ，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老 师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里， 担任自己的助教
• 1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡 特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣 彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达 31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师， 并以他为自豪。
3 推理证明
• 作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然 问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4 块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块 陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问 题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组 成的几何图形的问题了。
• 1707年，欧拉出生在瑞士一个风景秀丽的城 市——巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧 师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉 长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。 可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷 根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够 虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。
欧拉的推理
• ①只画一条线的时候，一定只有一起点和一个终 点。
• ②如果终点回到起点，就是一个封闭图形，这时 起点和终点都是同一点（交点）。这一点可以理 解成偶数条线（最少2条）的交点，即：一进一出 形成交点。
世界著名数学疑难问题简介
世界著名数学疑难问题简介哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图 1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图 2于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
(更多的了解，请参看《力学园地》2010-4期的“释疑解惑”的介绍。
)哥德巴赫猜想1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
从七桥问题中品味数学的思想方法
从七桥问题中品味数学的思想方法
七桥问题是欧拉在1735年提出的一个数学难题，它的实质是如何沿着图形的
边行走，经过每个边仅一次，最终回到起点。
通过研究这个问题，我们可以深入了解数学思想方法。
首先，解决七桥问题需要我们具备抽象思维能力。
欧拉将桥和岛屿抽象成了图形中的点和线，并用数学符号来表示它们之间的联系。
这种抽象思维能力可以帮
助我们在解决其他问题时，将问题简化成易于处理的模型，并通过模型来解决问题。
其次，解决七桥问题需要我们具备逻辑思维能力。
欧拉通过逻辑推理，证明了七桥问题无解，即无法找到一条路径，使得每条边恰好经过一次。
逻辑思维能力可以帮助我们在解决问题时，明确问题的前提和条件，并通过逻辑推理得出结论。
此外，解决七桥问题还需要我们具备创新思维能力。
欧拉提出了欧拉回路和欧拉通路的概念，并通过创新的思维方法，解决了七桥问题。
创新思维能力可以帮
助我们在解决问题时，打破常规思维方式，开拓新的思路和方法，从而找到更加有效的解决方案。
总之，通过研究七桥问题，我们可以深入了解数学思想方法，包括抽象思维能力、逻辑思维能力和创新思维能力，这些能力可以帮助我们在解决各种问题时，从容应对，找到更加有效的解决方案。
欧拉七桥问题
数据结构与图论
“数据结构”的研究不仅涉及到计算机硬件（特别是编码理论、存储装置和存取方法）的研究范围，而且和计算机软件的研究有着更为密切的关系。数据结构：计算机处理的对象之间通常存在着的是一种最简单的线性关系，这类数学模型可称为线性的数据结构，简单地来说，数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的操作对象以及它们之间的关系和操作等的科学。在计算机面向对象的编程中，我们常常将具体事物抽象为类，从而研究类的属性，然而类的属性则不单单只是简单的外在属性的描述，更为重要的是它同其他类之间的内在逻辑关系，或者说是线性关系。可见数据结构则是支撑这一理论的根据。然而又是什么东西在支撑着数据结构呢，我们从以上分析中不难看出图论是其中很重要的一部分。
欧拉图、哈密顿图与图论
我们看看一笔画问题牵扯着计算里的算法和可计算性欧拉问题放在七桥问题上则是能否可以不重复地走完七个桥，如何走的问题当然这只是一个例子，他代表的是一种思维方式，一门新的学课思想。那就是图论。这是就有人要问那么能一笔画的问题呢，在图论中一笔画的问题交给了图论里的另一个重要研究问题即是哈密顿图，哈密顿图则是给出我们最优过程或者最优解的一种抽象的研究方法。欧拉问题促进了图论的诞生而哈密顿图则是对图论的发展和补充。
图论
图：图是一种抽象的数据结构图论：它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论在数据结构、数据库、网络技术、程序设计等课程中都有广泛应用，成为计算机科学与应用技术中必不可少的一部分。而图论的研究起源于“哥尼斯堡城七桥问题”，欧拉成为图论的奠基人。
解决问题
因此，欧位得出以下结论：
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世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题世界数学难题。
18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727 年在欧拉20 岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
笔画问题。
经过研究，欧拉发现了一笔画一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连一笔画通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，
这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶
点
的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、
④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①
，一定可以一笔画成。
画时2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：
①→②→③→①→④
3．其他情况的图都不能一笔画出。
另外，笔者很好奇，小学的时候曾有老师提出别人类七桥的经典问题：
能否三笔走完，条件如上。
？？？？谁能用一片论文证实？以我的资质，是没法证实的了，谁能给出答案?。