八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时作一条线段等于已知线段与作一角等于已知角华东师大版

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华东师大版八年级数学上册第13章13.4尺规作图(三课时)导学案设计

华东师大版八年级数学上册第 13 章13.4 尺规作图（三课时）导教案设计13.4尺规作图第 1课时1.作一条线段等于已知线段2.作一个角等于已知角·教课目标·1.知道什么是尺规作图；2.掌握尺规作图的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角；3.掌握画图的步骤并会灵巧应用 .·教课重难点·解析实质作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．·教课过程·一、导入新课直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟习的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆 .假如只用无刻度的直尺和圆规，你还可以画出吻合条件的线段、角吗?实质上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1:已知线段a，用直尺和圆规正确地画一条线段等于已知线段 a.请同学们谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：先画出一条射线，而后用圆规一射线的端点为圆心，以线段 a 的长为半径截取.问题 2:已知角∠ MPN，用直尺和圆规正确地画一个角等于已知角∠MPN.请同学们谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：(1) 画射线 OA.(2) 以角∠ MPN的极点 P 为圆心，以合适长为半径画弧，交∠MPN的两边于E、 F.(3)以点 O为圆心，以 PE长为半径画弧，交 OA于点 C.(4) 以点 C 为圆心，以EF 长为半径画弧，交前一条弧于点 D.(5) 经过点 D 作射线 OB.1 / 8∠ AOB就是所画的角 .( 如图 )观察、概括什么叫尺规作图？【我们把只好使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图.】特别注意 : 几何作图要保存作图印迹.例题讲解 :例 1已知：线段a、 b、 c.( 画出三条线段a、 b、 c)求作：△ ABC，使得三边为线段a、 b、 c.解析：以一条线段为三角形的一边，则这条线段的两个端点就是所求三角形的两个极点，作图的重点是找出三角形的第三个极点，第一作出一条线段，而后分别以这条线段的两个端点为圆心，以另两条线段长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个极点.作法：略例 2 如图 , 已线段 a、b 及∠α .求作 :△ ABC,使其有一个角是∠α ,且∠ α 的对边等于a,另一边等于 b.ab解析：依据已知条件，可先作一个∠ MBN 等于∠α，在∠ MBN 的一边上截取 BA=b，而后以 A 为圆心，以线段a 长为半径画弧即可 .作法：略课堂练习1.以下属于尺规作图的是 ( )A. 用量角器画出∠MBNB.已知∠ α ，作∠ MBN，使∠ MBN=2∠ αC. 画线段 AB=3cmD.用三角板作AB 的垂线答案: B2．作一个角等于已知角的依照是全等判断方法中的公义.答案：SSS3. 已知：两角分别为、，线段a，求作：△ ABC，使 AB=a，BAC，∠ ABC=．a答案 : 作法：（ 1）作线段AB= a（ 2）分别以A， B 点为极点，射线AB，BA 为一边，在AB 的同侧作DAB，2 / 8∠ EBA=，AD，BE交于C点，则△ ABC就是所求作的三角形．E DCA B三、本课小结1. 尺规作图是指用圆规和无刻度的直尺.2.基本作图：（ 1）用尺规作一条线段等于已知线段；（ 2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.3.作一个角等于已知角的依照是全等判断方法中的“边边边”公义.3 / 813.4 尺规作图第 2课时3.作已知角的均分线·教课目标·1.掌握尺规的基本作图：画角均分线；2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握正确的作图语言.·教课重难点·解析实质作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．·教课过程·一、导入新课我们知道三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的均分线．值得注意的是三角形的角均分线是一条线段，而一个已知角的均分线是一条射线，这两个看法是有差别的．在从前我们是这样作出三角形的角均分线的：用量角度量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角均分线．此刻只有直尺和圆规，你能设计一个作角的均分线的操作方案吗？（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1:实验研究：已知∠ AOB，用直尺和圆规正确地画出已知∠AOB的均分线 .请各小组同学谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：谈论结果展现：作已知角的均分线的方法：已知：∠ AOB．求作：∠ AOB的均分线．作法：（ 1）以 O为圆心，合适长为半径作弧，分别交OA、 OB于 M、 N．（ 2）分别以M、 N 为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．2（ 3）作射线OC，射线 OC即为所求．问题 2: 在上边作法的第二步中，去掉“大于1AOB的MN的长”这个条件行吗？所作的两弧交点必定在∠24 / 8内部吗？解析：去掉“大于1MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，因此就找不到角的均分线．若分别2以 M、N 为圆心，大于1MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB?的内部，也可能在∠AOB的外面，2而我们要找的是∠AOB内部的交点，?不然两弧交点与极点连线获得的射线就不是∠AOB的均分线了．观察、概括作一个角的角均分线的理论依照是什么？【作一个角的角均分线的理论依照是全等判断方法中的“边边边”公义. 】特别注意 : 角的均分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?因此第二步中的两个限制缺一不行．例题讲解 :例已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α +∠ β)的一半 .解析：要完成这个作图，先作出等于(∠α +∠ β)的角，再作均分线即可.已知：求作：作法：课堂练习把一个角分红两部分，使这两部分的度数之比为1： 3.解析：本题可在原角内作一个角等于原角的1，故将原角均分后再次均分即得. 4答案 : 已知：如图，已知∠AOB.求作：射线OC,使∠ AOC:∠ COB=1:3作法：（ 1）作∠ AOB的均分线OP；（ 2）作∠ AOP的均分线 OC；射线 OC,将∠ AOB分红 1:3 的两部分 .ACPOB三、本课小结1.三角形的角分线是一条线段，角的均分线是一条射线；2.基本作图：用尺规作一个角的角均分线；3.作一个角的角均分线的理论依照是全等判断方法中的“边边边”公义；4.解决尺规作图问题，先作出吻合条件的图形草图，再确立详尽的作图方法.5 / 813.4 尺规作图第 3课时4.经过一已知点作已知直线的垂线5.作已知线段的垂直均分线·教课目标·1.掌握尺规的基本作图：画线段的垂直均分线，画直线的垂线；2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握正确的作图语言.·教课重难点·过已知直线外一点作这条直线的垂线．·教课过程·一、导入新课我们知道三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的均分线．现在只有直尺和圆规，你能用尺规作图作出三条高线、中线吗？（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1: 一个已知点与一条已知直线的地点关系有两种：①②解析：点和直线有两种地点关系，①点在直线上；②点在直线外.问题 2: 作平角∠AOB的均分线OC，(1)平角∠AOB的均分线OC与直线AB有何地点关系？(2)此刻你能用尺规“经过已知直线上一点作这条直线垂线”吗？解析： (1) 平角∠ AOB的均分线OC与直线 AB 垂直； (2)“经过已知直线上一点作这条直线垂线”实质上就是以这点为极点的平角的角均分线.问题 3: 等腰三角形的三线合一，高线就是顶角的均分线，利用这个性质你能用尺规“经过已知直线外一点作这条直线垂线”吗？解析：如图以 A 为圆心，作能与直线 a 订交于 C、D两点的弧，则△ACD为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的均分线”可知，只要作出∠CAD的均分线 .问题 3: 对已知线段AB的垂直均分线上的随意两点C、D，总有CA=CB，DA=DB，由此，你能发现作垂直均分线的方法吗？谈谈你的作法 .6 / 8C CABA B D D解析： (1) 分别以点A、 B 为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，两弧交于点 C 和 D.(2)作直线 CD.直线 CD就是所要求作的线段 AB 的垂直均分线 .观察、概括①“经过已知直线上一点作这条直线垂线”的实质是什么？②“经过已知直线外一点作这条直线垂线”的依据是什么？【①的实质就是作平角的角均分线并反向延伸；②的依据是“等腰三角形底边上的高就是顶角的均分线”. 】如何证明直线CD就是线段AB 的垂直均分线？【只要证明△ACD≌△ BCD，则∠ CAD=∠ BCD，由等腰三角形的三线合一即可说明. 】特别注意 : 作线段的垂直均分线时，一定以大于已知线段的一半为半径画弧，负责两弧无交点．例题讲解 :例 1利用直尺和圆规作一个等于45°的角．（保存作图印迹，并写出作法）解析：要完成这个作图，先作出向来角，再作均分线即可.已知：求作：作法：例 2 已知底边及底边上的高作等腰三角形.（保存作图印迹，并写出作法）解析：要完成这个作图，先作出底边，再作底边的垂直均分线，取高，最后完成三角形 .已知：求作：作法：课堂练习1.过直线l外一点 A，作 l的垂线，以下作法中正确的选项是()A．过 A作 AB⊥ l于 B，则线段 AB即为所求B．过 A作 l的垂线，垂足是 B，则射线 AB即为所求C．过 A作l 的垂线，垂足是B，则直线 AB即为所求D．以上作法都不正确答案:C2. 已知等腰三角形P，使 PA=PB. （保存作图印迹，ABC， AB=AC，∠ A≠ 90 ,在 AC 所在的直线上求作一点不写作法）答案 : 以以下图：A7 / 8PB C华东师大版八年级数学上册第 13 章13.4 尺规作图（三课时）导教案设计三、本课小结1.三角形的高线、中线都可以用尺规作图作出；2.基本作图：过已知点作直线的垂线、作线段的垂直均分线.8 / 8。

华东师大版八年级上册数学第13章13.4课题1 作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角

4．以点C′为圆心，_C__D__长为半径画弧，交前面的弧于点D′； 5．过点D′作射线 _O_′_B_′_ ． ∠A′O′B′就是所求作的角．
范例已知∠α和线段a、b，如何求作△ABC，使∠C
＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？
作法：1.作∠MCN＝∠α； 2.在射线CM、CN上分别截取CB＝a，CA＝b； 3.连结AB.则△ABC为所求作的三角形．
作法：1.画线段AB＝a； 2．在AB的延长线上截取BC＝2b；线段AC就是所求作的线段．
知识模块二作一个角等于已知角
阅读教材P86，完成下面的内容：已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：1.作射线___O_′_A_′___； 2．以点O为圆心任意长为半径画弧，交__O_A____于点 C，交___O__B____于点D； 3．以点O′为圆心，同样___O_C___长为半径画弧交O′A′ 于点C′；
知识模块三作已知角的平分线
阅读教材P87，完成下面的内容：已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP，使∠AOP＝∠BOP(即OP平分∠AOB)．
作法：1.以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交
__O_A_、__O__B_于点M、N； 2．分别以点__M_、__N___为圆心，大于
1 2
__M__N__的长为
半径画弧，P.
射线___O_P______就是所要求作的∠AOB的平分线．
范例如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC 于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线DE 与直线AC的位置关系(不要求证明)．解：(1)如图所示． (2)DE∥AC.

《尺规作图》课件

拓展延伸
巩固练习
1.已知线段AB、CD如图所示，作一条
线段，使其等于AB-CD.
A
B
C
D
巩固练习
2.已知∠A、∠B如图所示，作一个角，使其等于∠A-2∠B.
B A
巩固练习
3.已知线段AB、CD如图所示，作一个等腰三角形，使其腰长等于AB，底边长等于CD.
A
B
C
D
祝同学们学习进步！
第13章全等三角形
13.4 尺规作图
思考
以前我们是怎样画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角的？
课前热身
做一做
在纸上任意画一条线段a和一个角 ∠1，然后用刻度尺和量角器画AB=a， ∠AOB=∠1.
画图前必须要先知道什么？
合作探究
互动1
已知一条线段a，若我们只有圆规和没有
刻度的直尺，你能画出一条线段AB=a吗？怎
样画？
a
先画一条射线AM，然后用圆规量取已知线段a的长，再在射线AM上截取线段 AB=a.
整理
尺规作图的概念：只用圆规和没有刻度的直尺作几何图形的方法称为尺规作图.
互动2
a 已知线段a 、b，用尺规作一
条线段AB=b-a（b＞a）.试试看.
b
a AB b
互动2 a 已知线段a 、b，用尺规作一
达标反馈
练习
已知线段AB、CD，如图所示.求作一条线段，使它的长度等于AB+2CD.
A
B
C
D
C
D
A
B
C
DM
练习
已知∠AOB、∠1（∠AOB>∠1），如图所示. A
O
B
1

八年级数学上册第13.4尺规作图4经过一已知点作已知直线的垂线5作已知线段的垂直平分线导学华东师大版

第13章全等三角形
13. 4 尺规作图 4．经过一已知点作已知直线的垂线 5．作已知线段的垂直平分线
第13章全等三角形
4.经过一已知点作已知直线的垂线 5.作已知线段的垂直平分线
知识目标目标突破总结反思
13.4 尺规作图知识来自标1．经过复习等腰三角形的“三线合一”、讨论、画图，理解、掌握基本作图“经过一已知点作已知直线的垂线”． 2．通过自学阅读、探索、讨论，会作已知线段的垂直平分线，理解其依据．
例 3 教材补充例题如图 13－4－12 所示，已知线段 AB 和线段 CD，求作一点 P，使点 P 既在线段 AB 的垂直平分线上，又在线段 CD 的垂直平分线上．
图 13－4－12
13.4 尺规作图
解：(1)作线段 AB 的垂直平分线 EF； (2)作线段 CD 的垂直平分线 MN，MN 交 EF 于点 P. 则点 P 就是所求作的点，如图．
图 13－4－11
13.4 尺规作图
解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂线段就是边 BC 上的高，如图中的线段 AF 就是所求作的高．
【归纳总结】作三角形的高是作垂线的简单运用．由于钝角三角形
有两条高在三角形的外部，所以作图时要注意延长三角形的边，保
留作图痕迹．
13.4 尺规作图
目标二会作已知线段的垂直平分线
13.4 尺规作图
3．在理解五种基本作图的基础上，能解决尺规作图的综合问题．
通过对特殊的同底数幂的除法算式的计算，在观察、思考计算结
果中探究、归纳出同底数幂的除法法则，并会直接运用该法则进
行计算．
13.4 尺规作图
目标突破
目标一会经过已知点作已知直线的垂线
例 1 教材补充例题如图 13－4－10 所示，过点 P 作∠A 两边的垂线．

华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件第13章全等三角形 13.4 尺规作图习题 13.4

4. 如图，已知线段a和b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边长分别等于线段a和b.
a
提示：先作直角，再在两边上
分别取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和b的线段，连结，就
b
是所画的直角三角形.
5. 已知△ABC，作它的三边AB、BC、CA的垂直平分线.你发现了什么?
发现三条垂直平分线交于一点.
华东师大版·八年级数学上册
习题13.4
完成下列作图. 1. 如图，已知线段AB和CD，求作一条线段，使它等于AB －2CD.
提示：先作与AB长度相等的线段，再从一个端点向前依次作两条与CD等长的线段，剩余部分即为所求作的线段.
2．如图，已知∠A和∠B，求作一个角，使它等于∠A －2∠B.
A
B
提示：先作与∠A相等的角，再在∠A的内部依次作两个与 ∠B大小相等的角，剩余部分可得所求作的角.
3. 如图，已知线段a和 b ，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于a，底边长等于b.
提示：先画长度等于b的线段，作其垂直平分线，再以线段的一个端点为圆心，a长为半径画弧,与线段垂直平分线交于一点，这一点就是等腰三角形的顶点.连结线段两端点和顶点便可得到所求作的等腰三角形.

华师版八年级数学 13.4 尺规作图(学习、上课课件)

则线段AB就是要求作的线段.
图示
感悟新知
知2－讲
特别解读作一条线段等于已知线段，也可以用度量方法截取，
但由于度量时会有误差，故选择尺规作图更精确.
感悟新知
知2－练
例 2 如图13.4-1，已知线段a，b(a>b)，求作一条线段AB，使AB＝2(a－b).
解题秘方：运用线段的和、差来转化线段之间的数量关系.
知3－练
解题秘方：通过作一对相等的内错角来作已知直线的平行线.
感悟新知
解：作法如下： (1)过点C作直线MN与AB相交，交点为F； (2)在直线MN的右侧作∠FCE，使 ∠FCE＝∠AFC； (3)反向延长射线CE得到射线CD，则直线DE即为所求(如图13.4 -5).
知3－练
感悟新知
知3－练
3-1. 如图，已知∠α，求作∠AOB，使∠AOB＝3∠α .(写出作法)
感悟新知
解：如图所示．
知3－练
作法：(1)作射线OA，分别以∠α的顶点和点O为圆心，以相等的任意长为半径作弧，分别交∠α的两边于点M，N，交OA于点E；
感悟新知
知3－练
(2)以点E为圆心，以线段MN的长为半径作弧，两弧交于点F； (3)过点F作射线OC，则∠AOC＝∠α； (4)同理，以OC为一边，在∠AOC 的外部，作∠COD＝ ∠α，再以OD为一边，在∠AOD的外部，作∠BOD ＝ ∠α，则∠AOB＝3∠α. ∠AOB就是所求作的角．
感悟新知
例 1 下列属于尺规作图的是( ) A. 用量角器画出∠AOB的平分线OC B. 已知线段a，求作线段AB，使AB＝2a C. 作线段AC＝3 cm D. 平移法作线段AB的平行线CD
知1－练
解题秘方：紧扣尺规作图的工具及常见的五种基本

八年级数学第13章全等三角形13.4 尺规作图 4 经过一已知点作已知直线的垂线作业数学

(4)作______直__线__CF，则直线CF即为所求．
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
知识点：过一点作已知直线的垂线 1．过直线l外一点A，作l的垂线，下列作法中正确的是( D ) A．过点A作AB⊥l于点B，则线段AB即为所求 B．过点A作AB⊥l于点B，则射线AB即为所求 C．过点A作AB⊥l于点B，则线段BA即为所求 D．过点A作AB⊥l于点B，则直线AB即为所求
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
练习1.已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：
(1)任意取一点K，使点K和点C在直线AB的_____两__旁__；
(2)以点_____C_为圆心，____线__段__C__K_的__长__为半径作弧交AB于点D，E； (3)分别以点_____D_和______E_为圆心，以_____大__于__12_D__E的长为半径作弧，两弧交于点F；
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
第13章全等三角形
13.4 尺规作图
13．4.4 经过一已知点作已知直线的垂线
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分
1．过一点作已知直线的垂线有两种情况：一是已知点在__直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_线__上____；二是已知点在___直__线__外_____．
制作人：罗小秀
制作时间2021年12月24日下午14：时14分

华东师大版八年级上册13.4尺规作图(共19张PPT)

华师版八年级上学期第13章《全等三角形》
13.4尺规作图
学而不疑则怠，疑而不探则空
情境导入
上数学课的时候，老师说：“任意一个三角形的三条内角平分线都会交于同一个点，三边中线、三边上的高也有相同的性质。我们不仅可以证明，还可以用作图的方法来验证。”
A
B
C
怎么能准确地作出需要的图形呢？我们这节课就来学习一个重要的作图方式——尺规作图。
已知：线段AB，求作：直线MN，使MN垂直平分AB.
作法：
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N； A
M B
(2)连接MN并双向延长. N
则直线MN为所求。
及时反馈
1、为什么用这样的方法作出的直线MN是 AB的垂直平分线？你能证明吗？
2、已知线段AB，请作出该线段的四等分点.
学习目标 1、掌握五种基本尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言；
2、通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力；
3、认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学习兴趣。
了解：
1、根据需要，几何作图分为作草图和尺规作图两种方式。作草图一般用于分析图形问题，要求准确度不高的时候。
2、尺规作图是用不带刻度的直尺(或三角尺) 和圆规进行准确的作图。直尺的主要作用是连结两个点、作直线、线段等；圆规的主要作用是作弧线。
3、最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组合的。
基本作图
1、作一条线段等于已知线段。
已知：线段a，求作：线段MN，使MN=a.
(3)在射线EP上截取EF=CD；
(4)在射线FP上截取FG=CD.

2021秋八年级数学上册第13章全等三角形13、4尺规作图1作已知线段与已知角华东师大版

解：(1)如图所示． (2)如图所示．
(3)在上述作图条件下，若CB＝8 cm，求BD的长度．
解：由题意可得AC＝3AB，则CB＝4AB. ∵CB＝8 cm，∴AB＝2 cm. ∵AD＝3AB，∴BD＝2AB＝4 cm.
13．【2021·合肥期末】如图，已知∠α，线段m、n，请按下列步骤完成作图(不需要写作法，保留作图痕迹)．
第13章全等三角形
13.4 尺规作图
第1课时作已知线段与已知角
新知笔记 1 没有刻度 2
提示：点击进入习题
1C 2D 3D 4 见习题 5D
答案显示
6A 7 见习2 见习题 13 见习题 14 见习题
答案显示
1．我们把只能使用圆规和__没__有__刻__度___的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
2．在用尺规作图时规定： (1)直尺无刻度，其用法是经过两点作直线或连结两点； (2)圆规的用法是以任意给定的点为圆心，以任意给定(适
当)的长为半径，作圆或弧．
1．下列作图语言表述准确、无歧义的是( C ) A．延长线段AB至点C，使AB＝AC B．以点O为圆心画弧 C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧 D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋b
(5)过O′、D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．以上作法中，开始出现错误的一步是( C ) A．(2) B．(3) C．(4) D．(5)
12．【2021·郑州期末】如图，已知线段AB，请用尺规按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法：
(1)延长线段BA到C，使AC＝3AB； (2)延长线段AB到D，使AD＝3AB；
(1)作∠MON＝∠α； (2)在边OM上截取OA＝m，

华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》全章知识复习

5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于
点D，则下列结论中，正确的是
.
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③D在∠BAC的平分线上.
C E
D
A
FB
巩固练习
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A等于 º.
变式2：
已知在△ABC和△ADC中，AB=CD. 若不添加
任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则
还需增加一个条件是
.
BD
A
C
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：
如图，在△ABD中，AB=BD. 要使BE=BC，
需增加一个条件是
.
B
AE
CD
解法：(1)AE=DC; (2)∠ABE＝∠DBC;
(3)AC=DE; (4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB; (6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
A
B
F E
C D
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF，再由全等三角形的性质得证.
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为 AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF. 则图中全等的三角形共有 15 对.
证法三：延长DM，交AB的延长线于点E.
例7：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
D
F

华师版八年级上册数学课件第13章全等三角形经过一已知点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线

(全等三角形的对应角相等).
A
B
∴ CD 垂直平分线段 AB
(等腰三角形的“三线合一”).
D
探究讨论通过上面的作图，你还能发现什么？你
会作任意一个三角形的三条中线吗？
通过作图，知道直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段 AB 的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三条中线
直线 CD 就是所要求作的线段 AB
的垂直平分线．
B D
想一想：为什么 CD 是线段 AB 的垂直平分线呢？
你能给出证明吗？
证明：如图，连结 CA、CB、DA、DB.
∵ AC = BC，ＡD = BD，CD = CD，
C
∴ △ACD≌△BCD (S. S. S. ).
∴ ∠ACD =∠BCD，∠ADC =∠BDC
典例精析例2 如图，A，B 是路边两个新建小区，要
在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路
程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足
到两个小区的路程一样长，应在
线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到 AB 的垂 A 直平分线与公路的交点便是.
B
公共汽车站
N 两处参加植树劳动，现要在道路 AB、AC 的交叉区域
内设一个茶水供应点 P，使 P 到两条道路的距离相等，
且 PM = PN，
B
请你用折纸的方法找出 P 点并说明理由.
PM
N A
C
课堂小结
经过一已知点作已知直线的垂线
经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长.

龙门县一中八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时尺规作图教案新版华东师大版7

13．4 尺规作图第1课时尺规作图(1)1．掌握五种基本作图的方法．2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题．重点五种基本作图的方法．难点作图语言的叙述．一、自学教材自学教材第85～88页，体会前三种基本作图的方法．学生自学教材，交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法．二、探究新知教师演示作图过程．1．作一条线段等于已知线段已知：线段AB.求作：线段A′B′，使A′B′＝AB.作法：(1)作射线A′C′；(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径作弧，交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段．2．作一个角等于已知角如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB.①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；②以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′B于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径作弧交前弧于点A′；④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求．3．作已知角的平分线已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求．教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项，并实际动手操作．学生活动：组织积极讨论，小组交流，代表发言．教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹．三、练习巩固1．如图，已知∠AOB.(1)求作∠EDF，使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG.2．如图，已知∠A，∠B ，求作一个角，使其等于∠A－2∠B.3．如图，已知线段AB ，CD ，求作一个等腰三角形，使其腰长等于AB ，底边长等于CD.四、小结与作业小结1．尺规作图的概念．2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法．作业教材第91页习题13.4第2题．这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目的是规范作图语言，搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想，较为复杂，要让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键．运用基本作图方法解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成．对于作图语言应逐步规范．勾股定理一、选择题（每题3分,共18分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=. 3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-=由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得 222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB BC BC =-=-=故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.由勾股定理,得22211x y =+.因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.因此直角三角形的周长为121+11=132.图1故选（A ）5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+.整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .因为只有81是3的倍数. 故选（C ）二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____. 解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=. 故此三角形为直角三角形.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.解：本题在Rt ABC ∆中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=，图2∴ 2222534b c a =-=-=；当C ∠不为直角时, c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a cb +=， ∴ 22223534.b ac =+=+= 因此,本题答案为4或34.9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.10. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______.解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，5,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+== 12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____.解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==. 由130,52ABF S BF AB AB ∆=⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,得图6图5图4图32213AF AB BF =+=.所以13AD =.设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()22251x x -+=.解得135x =. 故()211131316.9225ADE S AD DE cm ∆=⋅=⨯⨯=. 13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =，这边上的中线长1AD =，13AB AC +=+，则AB AC ⋅为_____.解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.又13AB AC +=+,两边平方,得222423AB AC AB AC ++⋅=+.而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=. 即2AB AC ⋅=.14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC-=-=-+=⋅.所以2221AP BP PC AB +⋅==. 因此2122006120062006m m m ++=⨯=.三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．在Rt ABD ∆中，因为51015AD AN ND =+=+=，8BD =，所以22222215828917AB AD BD =+=+==．图8图7所以()17AB cm =．因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．16．如图11所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．解：连结AC ，在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222AC AD DC =+，即222129AC =+，所以15AC =．在ABC ∆中，由22222153639AC BC +=+=，即222AC BC AB +=．所以ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒．所以()211153612921622ABC ADC S S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=．所以这块地的面积为2216m ．17．如图12所示，在Rt ABC∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12答图13图9 图10图11解:如图13,因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒. 所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.18．ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=︒，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。

八年级数学上第13章全等三角形13.4尺规作图3经过一已知点作已知直线的垂线课华东师大

解：图略．
9．【中考·河池】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交 BF于C.
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于 D(保留作图痕迹，不写作法)；解：如图．
(2)在(1)的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
解：(答案不唯一)BA＝BC.证明如下： ∵AE∥BF，∴∠EAC＝∠BCA. ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC.
7．【教材改编题】如图，求作已知锐角的余角．
【点拨】先用尺规作出一个直角(已知直线的垂线)，再在直角内部作已知角，余下的角就是已知角的余角．解：略．
8．【教材改编题】如图，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.
【点拨】(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段 PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是所要求作的点．
10．【中考·青岛】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知线段c，直线l及l外一点A. 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜
边AB＝c.
解：如图，Rt△ABC即为段b，h，求作等腰三角形ABC，使AC＝b，底边BC上的高AD＝h.
下列结论不一定正确的是( C ) A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称 C．点C，D关于直线l对称 D．CD平分∠ACB
3．如图所示的作图痕迹是( B ) A．线段的垂直平分线 B．过一点作已知直线的垂线 C．一个角的平分线 D．作一个角等于已知角
4．【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( B )
性质
6．如图，已知Rt△ABC，求作斜边BC上的高．
【点拨】先以点 A 为圆心，大于点 A 到 BC 的距离为半径画弧，弧与 BC 有两个交点 D，E，再分别以 D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于一点 F，最后连结 AF，与 BC 交于点 M，则 AM 即为所求作的高．