第十章概率与数理10-7

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概率论第7-10章课后习题答案

习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1）似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：1-求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =0.094.EX x ==-由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计. (2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9. 因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}ii x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量.(2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19) 2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫±-=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=-所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0nn ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本（1）求θ的矩估计量ˆθ；（2）求ˆ()D θ. 【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===，又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ= 13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<2)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2）似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ±=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为 ˆθ=15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1）当α=1时，求β的矩估计量；（2）当α=1时，求β的极大似然估计量；（3）当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0, 1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i n i i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏其他显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？2/2()dz tz tϕ-=⎰z【解】26~ 3.4,X Nn⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),XZ N={1.4 5.4}33210.95333ZP X PP ZΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛⎫⎛⎛⎫=-=-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是0.975Φ≥ 1.96≥,∴n≥35.17. 设总体X的概率密度为f(x，θ)=,01,1,12,0,.xxθθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,X n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,x n中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计.解(1)由于1201(;)d d(1)dEX xf x x x x x xθθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-.令32Xθ-=，解得32Xθ=-，所以参数θ的矩估计为32Xθ=-.似然函数为1()(;)(1)nN n NiiL f xθθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=，所以θ的最大似然估计为Nnθ=. 18. 19. 习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55) 3.851,0.108.H H n Z Z x x Z Z Z αμμμμασ==≠=======-===-> 所以拒绝H 0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25 设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H H n t n t x s x t t t αμμμμα==≠===-====-===<所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s 2=0.1(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35) 2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）.【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H H n z x x z z z μμμασ≥<======-===->-=- 所以接受H 0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1） H 0：μ=0.5(%)；H 1：μ＜0.5(%).（2）0:H σ' =0.04(%)；1:H σ'＜0.04(%). 【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n t x s x t t t αμα===-====-===-<-=-所以拒绝H 0，接受H 1. (2)2222010.95222220220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).n x s n s ασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H 0，拒绝H 1.6.某种导线的电阻服从正态分布N （μ，20.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s =0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.025220:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H H n s n s αασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===> 故应拒绝H 0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n 1=200，x =0.532kg, s 1=0.218kg ；第二批棉纱样本：n 2=200，y =0.57kg, s 2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05)【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1. 9. 10. 11. 12. 习题九1 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结试验批号1 2 3 4 5 678灯丝材料水平A 1 A 2 A 3A 41600 1580 1460 15101610 1640 1550 1520 1650 1640 1600 1530 1680 1700 1620 1570 1700 1750 1640 16001720 1660 16801800 1740 1820【解】14,26;====∑ri i r n n2442..11===-∑∑T iji j T S x n =69895900-69700188.46=195711.54, 242...11==-∑A i i iT S T n n =69744549.2-69700188.46=44360.7, =-E T A S S S =151350.8,0.05/(1)44360.7/3 2.15/()151350.8/22(3,22) 3.05.-===-=>A E S r F S n r F F ,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响. 方差来源平方和S自由度均方和SF 值因素影响44360.73 14786.92.152. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相等.【解】13,40,====∑ri i r n n232..11in T iji j T S x n ===-∑∑=199462-185776.9=13685.1, 232...11==-∑A i i iT S T n n =186112.25-185776.9=335.35, =-E T A S S S =13349.65,0.05/(1)167.70.465/()360.8(2,37) 3.23.-===-=>A E S r F S n r F F故各班平均分数无显著差异.取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异？【解】由已知r =4,s =3,t =3........,,,ij i j T T T T 的计算如表9-3-1.22 (111)22 (12)2.....122. (11)1106510920.25144.75,11092310920.25 2.75,110947.4210920.2527.17,173.50=====⨯===-=-==-=-==-=-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑rstT ijki j k r A i i s B j j r s ij A B A B i j T S x rst T S T st rst T S T rt rst T T S S S t rst ,41.33.⨯=---=E T A B A B S S S S S0.050.050.05(3,24) 3.01,(2,24) 3.40,(6,24) 2.51.===F F F接受假设01H ，拒绝假设0203,H H .即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4. 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配【解】由已知r =s =3,经计算x =52, 1.x =50.66, 2.x =533.x =52.34, .1x =52, .2x =57, .3x =47,2112.12.1()162;()8.73,()150,3.27.r sT ij i j rA i i rB j j E T A B S x x S s x x S r x x S S S S =====-==-==-==--=∑∑∑∑表9-4-1得方差分析表由于0.050.05(2,4) 6.94,(2,4).A B F F F F =>< 因而接受假设01H ,拒绝假设02H .即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A ）、防老剂（B ）、硫化系统（C ）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，4试作最优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系. 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.【解】(1) 对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次顺序为：主→次B ,A ,C最优工艺条件为：223A B C .(2) 利用表9-5-1的结果及公式2211==-∑r j ij i T S T r P,得表9-5-2.表9-5-2 表9-5-2中第4列为空列，因此40.256==e S S ,其中2=e f ，所以eeS f =0.128方差分析表如表9-5-3.由于0.05(2,2)19.00F，故因素C作用较显著，A次之，B较次，但由于要求油体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BAC，这与前面极差分析的结果是一致的.6. 某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比例（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结果分析见下表：(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.(2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.【解】被考察因素有4个：A，B，C，D每个因素有两个水平，所以选用正交表L8（27），进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为：,,,→主次B C A D 最优方案为：1222A B C D(2) 利用表9-6-1的结果及公式2211n j ij i T s T r P==-∑得表9-6-2.表9-6-2表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以ees f =6.110.而在上表中其他列中j ejes s f f <.故将所有次均并入误差，可得 ΔΔ18.895,7.===e T e s s f整理得方差分析表为表9-6-3.由于0.05(1.7) 5.59=F ，故4因素的影响均不显著，但依顺序为：,,,→主次B C A D 与（1）中极差分析结果一致.习题十1. 在硝酸钠(NaNO 3)的溶解度试验中，测得在不同温度x (℃)下，溶解于100份水9999211112234,811.3,10144,24628.6,110144(234)4060,9124628.6234811.33534.8.9ii ii i i i i i xx xy xy x x y S S =========-==-⨯⨯=∑∑∑∑故^^^811.32340.8706,67.5078,99xyxx S b a b S ===-⨯=从而回归方程：^67.50780.8706.y x =+求（1）儿子身高y 关于父亲身高x 的回归方程.（2）取α=0.05，检验儿子的身高y 与父亲身高x 之间的线性相关关系是否显著. （3）若父亲身高70英寸，求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间. 【解】经计算得，9999922111112291603,604.6,40569,40584.9,40651.68140569(603)168,9140584.9603604.676.7,9140651.68(604.6)35.9956.9ˆˆˆ(1)0.4565,/9/ii ii i i i i i i i xx xy yy xyi i i xx xy x x y y S S S S b a x b x S ============-==-⨯⨯==-====-⨯∑∑∑∑∑∑91936.5891,i ==∑故回归方程：ˆ36.58910.4565.yx =+20.05(2) 35.0172,35.995635.01720.9784,250.5439(1,7) 5.59./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0，即两变量的线性相关关系是显著的.00.025/2ˆ(3)36.58910.45657068.5474,ˆ0.05,(7) 2.3646,0.3739,1.0792, (2) 2.36460.3739 1.079yt t n αασσ=+⨯========-=⨯⨯给定故20.9540.=从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为(68.5474±0.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了10个家庭，调查了他们的家庭月收入x （单位：百元）和月支出y (单(2) 求y 与x 的一元线性回归方程.(3) 对所得的回归方程作显著性检验.（α=0.025）【解】(1) 散点图如右，从图看出，y 与x 之间具有线性相关关系. (2) 经计算可得10101010102211111191,170,3731,3310,2948,82.9,63,58.170191ˆˆ0.7600,0.76 2.4849,1010ii ii i i i i i i i xx xy yy xy xx xy x x y y S S S S b a S ================-⨯=∑∑∑∑∑故从而回归方程：ˆ 2.48490.76.yx =+题3图20.05(3) 47.8770,5847.87710.1230,37.8360(1,8)7.57./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0,即两变量的线性相关关系是显著的.4.设y 为树干的体积，x 1为离地面一定高度的树干直径，x 2为树干高度，一共测量了31棵树，数据列于下表，作出y 对x 1,x 2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x 1x 1(直径) x 2(高) y (体积) x 1(直径) x 2(高)y (体积) 8.3 7010.3 12.9 85 33.8 8.6 6510.3 13.3 86 27.4 8.8 6310.2 13.7 71 25.7 10.5 7210.4 13.8 64 24.9 10.7 8116.8 14.0 78 34.5 10.8 8318.8 14.2 80 31.7 11.0 6619.7 15.5 74 36.3 11.0 7515.616.0 72 38.3 11.1 8016.3 7701201201231411.72356923.9,411.75766.5531598.713798.85,235631598.718027472035.6.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，b 0=-54.5041,b 1=4.8424,b 2=0.2631. 故回归方程：^y =-54.5041+4.8424x 1+0.2631x 2.5.一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量.由n =25个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下，求日报周末发行量y 关于总零售额x 1和人口密度x 2的线性回归方程.14 3.0 22.2 45.3 15 4.5 35.7 73.6 16 4.1 30.9 65.1 17 4.8 35.5 75.2 18 3.4 24.2 54.6 19 4.3 33.4 68.7 20 4.0 30.0 64.8 21 4.6 35.1 74.7 22 3.9 29.4 62.7 23 4.3 32.5 67.6 24 3.1 24.0 51.3 254.433.970.8【解】类似于习题4，可得正规方程组01201201225 739.5 1576.6 98.2,739.5 22429.15 47709.1 2968.58,1576.6 47709.1 101568 6317.95.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，b 0=0.3822,b 1=0.0678,b 2=0.0244.故回归方程：ˆy=0.3822+0.0678x 1+0.0244x 2. 6.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各做3次试验，得数据如下：浓度x 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 抗压强度y25.2 29.8 31.2 31.7 29.427.3 31.1 32.6 30.1 30.8 28.7 27.8 29.7 32.3 32.8(1) 作散点图.(2) 以模型y =b 0+b 1x 1+b 2x 2+ε,ε~N (0,σ2)拟合数据，其中b 0,b 1,b 2,σ2与x 无关，求回归方程ˆy =0ˆb +1ˆb x +2ˆb x 2. 【解】散点图如下图.题6图122，根据表中数据可得下表浓度x (x 1)10 15 20 25 30 x 2(x100225400625490根据上表中数据可得正规方程组01201201215 300 6750 450.5,300 6750 165000 9155,6750 165000 4263750 207990.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得:b 0=19.0333,b 1=1.0086,b 2=-0.0204.故y 关于x 1与x 2的回归方程：=19.0333+1.0086x 1-0.0204x 2,从而抗压强度y 关于浓度x 的回归方程: ˆy=19.0333+1.0086x -0.0204x 2.。

适用于新教材2025版高中数学第十章概率10

10.1 随机事务与概率10.1.1 有限样本空间与随机事务1.随机试验特点(1)试验可以在下重复进行;(2)试验的全部可能结果是明确可知的,并且个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先出现哪一个结果.2.假如一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω=为有限样本空间.3.随机试验的结果能事先确定吗?4.我们将样本空间Ω的子集称为随机事务,简称事务,并把只包含的事务称为基本领件.随机事务一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中出现时,称为事务A发生.一、单选题1.袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事务多于一个样本点的是()A.取出的两球标号为3和7B.取出的两球标号的和为4C.取出的两球的标号都大于3D.取出的两球的标号的和为82.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事务“点P落在x轴上”包含的样本点共有()A.7个B.8个C.9个D.10个3.(教材改编题)掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.一枚是3点,一枚是1点B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点二、多选题4.下列四种说法中正确的是()A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必定事务B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不行能事务C.“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必定事务D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事务5.从12本书(其中10本语文书,2本英语书)中随意抽取3本,则下列事务中的必定事务是()A.3本都是语文书B.至多有2本是英语书C.3本都是英语书D.至少有一本是语文书三、填空题6.给出下面四个事务:(1)某地2月3日将下雪;(2)函数y=a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数;(3)实数a,b都不为零,则a2+b2=0;(4)a,b∈R,则ab=ba,其中必定事务是;不行能事务是;随机事务是.7.哥德巴赫猜想是“任何一个大于4的偶数都是两个质数之和”,如16=3+13.现从不超过16的质数中随机选取两个不同的数(两个数无序),则满意条件的样本点共有个.四、解答题8.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数;(3)“x+y=5”这一事务包含哪几个样本点?“x<3且y>1”呢?(4)“xy=4”这一事务包含哪几个样本点?“x=y”呢?9.从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),其中x为第1次取到的数字,y 为第2次取到的数字.(1)写出样本空间;(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事务的集合表示.一、选择题1.有一列北上的火车,已知停靠的车站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.铁路局需为该列车打算种北上的车票. ()A.9B.10C.45D.552.先后抛掷两枚质地匀称的硬币,视察落地后硬币的正反面状况,则下列事务中包含3个样本点的是()A.至少一枚硬币正面对上B.只有一枚硬币正面对上C.两枚硬币都是正面对上D.两枚硬币中一枚正面对上,另一枚反面对上二、填空题3.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则事务“其和为奇数”包含的样本点个数为.4.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个,视察取到的小正方体的状况,则事务A“从小正方体中任取1个,恰有两面涂有颜色”含有个样本点.三、解答题5.袋子中有4个大小和质地相同的球,标号为1,2,3,4,从中随机摸出一个球,记录球的编号,先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回,写出试验的样本空间;(2)若第一次摸出的球放回,写出试验的样本空间.6.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间;(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请接着回答上述两个问题.第十章概率10.1 随机事务与概率10.1.1 有限样本空间与随机事务必备学问·落实1.(1)相同条件(2)不止一(3)不能确定2.{ω1,ω2,…,ωn}3.不能事先确定试验的结果,但可确定有哪些可能结果.4.一个样本点某个样本点知能素养·进阶【基础巩固组】1.D选项A,B,C都只含有一个样本点,D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点,所以D不是一个样本点.2.C“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因为A中有9个非零数,所以样本点共有9个.3.B掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点.4.ABD A正确,因为无论怎么放,其中一个盒子的球的个数都不小于2;B正确,因为无论x为何实数,x2<0均不行能发生;C错误,三角形中大边对大角,所以③是不行能事务;D正确,因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”这件事有可能发生,也有可能不发生,是随机事务.5.BD因为12本书中只有2本英语书,从中任取3本,必定至少有一本语文书,至多有2本是英语书.6.【解析】(1)随机事务,某地在2月3日可能下雪,也可能不下雪;(2)随机事务,函数y=a x,当a>1时在定义域上是增函数,当0<a<1时在定义域上是减函数;(3)不行能事务;(4)必定事务,若a,b∈R,则ab=ba恒成立.答案:(4)(3)(1)(2)7.【解析】用(x,y)表示从不超过16的质数2,3,5,7,11,13中随机选取两个不同的数,则样本空间为{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11), (7,13),(11,13)}共含15个样本点.答案:158.【解析】(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)样本点的总数为16.(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).(4)“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).9.【解析】(1)用有序数对(x,y)表示事务,所以Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.(2)依据题意可知,0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,第一次取出2,则其次次取出的只能是0或1,所以“第1次取出的数字是2”这一事务的集合表示为{(2,0),(2,1)}.【素养提升组】1.C铁路局须要打算从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,…,从S9站发车的车票有1种,合计共9+8+…+2+1=45(种).2.A先后抛掷两枚质地匀称的硬币各一次的基本领件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四个基本领件.“至少一枚硬币正面对上”包括“(正,正),(正,反),(反,正)”3个样本点,故A正确;“只有一枚硬币正面对上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故B错误;“两枚硬币都是正面对上”包括“(正,正)”1个样本点,故C错误;“两枚硬币中一枚正面对上,另一枚反面对上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故D错误.3.【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)三个数字之和为奇数,共有4个样本点.答案:44.【解析】每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体,共12个.答案:125.【解析】用m表示第一次摸出的球的编号,用n表示其次次摸出的球的编号,则样本点可用(m,n),m,n∈{1,2,3,4}表示.(1)若第一次摸出的球不放回,则m≠n,此时的样本空间可表示为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回,则m,n可以相同.此时试验的样本空间可表示为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},共有16个样本点.6.【解析】(1)样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.(2)A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.(3)若改为取出后放回,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.。

(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点总结全面整理

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识点总结全面整理单选题1、若随机事件A,B 满足P (AB )=16，P (A )=23，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（） A ．互斥B ．相互独立C ．互为对立D ．互斥且独立答案：B分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可解：因为P (A )=23， P (B )=14，又因为P (AB )=16≠0，所以有P (AB )=P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥也不对立故选：B.2、龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（）A ．25B ．12C ．310D ．35 答案：A解析：利用古典概型的概率进行列举所有情况，然后即可求解依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共4种，故所求概率P =410=25 故选A ．小提示：关键点睛：利用古典概型的概率进行求解，主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力，属于基础题3、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380.故选：C.4、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（） A ．62%B ．56% C ．46%D ．42% 答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+ B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.5、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A=“向上的点数为3”，B=“向上的点数为6”，C=“向上的点数为3或6”，则有（）A．A⊆B B．C⊆B C．A∩B=C D．A∪B=C答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A：事件A=“向上的点数为3”发生，事件B=“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件C=“向上的点数为3或6”发生，事件B=“向上的点数为6”不一定发生，但事件B=“向上的点数为6”发生，事件C=“向上的点数为3或6”一定发生，所以B⊆C，故选项B不正确；对于C：事件A和事件B不能同时发生，A∩B=∅，故选项C不正确；对于D：事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的点数为6”发生，则事件C=“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确；故选：D6、生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．15答案：B分析：本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．设其中做过测试的3只兔子为a,b,c ，剩余的2只为A,B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}, {b,c,A},{b,c,B}共6种，所以恰有2只做过测试的概率为610=35，选B ．小提示：本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 7、若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（） A ．15B ．310C ．35D ．12答案：B分析：由古典概率模型的计算公式求解.样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310 . 故选：B.8、某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（） A ．124B ．1124C ．23D ．34答案：D分析：利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为P =1−(1−12)×(1−13)×(1−14)=34，故选：D.9、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得：P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确；对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误；对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误；对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误；故选：A10、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．38B ．58C ．316D ．516答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B 填空题11、某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为_______________. 答案：16分析：先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数，再除以班级总人数即可求解设选考物理的学生为集合A ，选考地理的同学为集合B ，由题意可得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )，即28=21+14−Card (A ∩B )，解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有7人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为742=16，所以答案是：16.12、甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________. 答案：1112分析：考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率. 两个都不命中的概率为(1−34)×(1−23)=112，故至少有一人命中的概率是1112，所以答案是：1112.13、某人抛掷硬币100次，正面向上的有53次，反面向上的频率为___________.答案：0.47##47100分析：直接利用频率公式求解.由题得反面朝上的频率为47次，=0.47.所以反面向上的频率为47100所以答案是：0.4714、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．答案：3##0.310分析：利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概．率为310．所以答案是：31015、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6，且事件A与B相互独立，则P(A+B)=________.答案：0.8##45分析：先算出P(AB)，再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3，则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是：0.8.解答题16、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案：（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.分析：本题可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果.（1）是互斥事件，不是对立事件.理由：“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生的，是互斥事件，不能保证其中必有一个发生，还可能抽出“方块”或者“梅花”，不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，则它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生，如抽得点数为10，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.17、某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．分析：（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可.解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．18、某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11)，[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.答案：（1）a=0.03，平均时长为13.5小时；（2）15.28分析：（1）由频率分布直方图概率的性质，可求得a的值，再结合平均数的计算公式，即可求解；（2）由频率分布直方图，得到落在[6,11)内数据个数为25，落在[21,26]内数据个数为15，按分层抽样，得到在[6,11)内抽取5人，在[21,26]内抽取3人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（1）由频率分布直方图的数据，可得(0.020+0.50+0.070+a+a)×5=1，解得a=0.03，又由平均数的计算公式，可得x=0.1×3.5+0.25×8.5+0.35×13.5+0.15×18.5+0.15×23.5=13.5.即估算这100位学生学习的平均时长为13.5小时.（2）由频率分布直方图，可得落在[6,11)内数据个数为5×0.05×100=25，落在[21,26]内数据个数为5×0.03×100=15.按照分层抽样方法抽取8人，则[6,11)内抽取5人，记为a1，a2，a3，a4，a5，在[21,26]内抽取3人，记为b1，b2，b3，从这8位学生中每次抽取2人，可能的情况有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,a5)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)；(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,a5)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)；(a3,a4)，(a3,a5)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,b3)；(a4,a5)，(a4,b1)，(a4,b2)，(a4,b3)；(a5,b1)，(a5,b2)，(a5,b3)；(b1,b2)，(b1,b3)；(b2,b3)，共有28种结果，且各结果等可能，其中2位学生来自不同组别的取法有15种，.所以抽取的2位学生来自不同组别的概率为p=152819、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%．现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是17O的概率为2．3(1)求n；(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．答案：(1)1；.(2)415分析：（1）求出随机选取1个氧元素是17O的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.（2）对给定的16O ，17O ，18O 进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答. （1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是17O 的概率P 1=2n+5，则有1−2n+5=23，解得n =1，所以n =1.（2）记3个16O 分别为a ，b ，c ，2个17O 分别为x ，y ，1个18O 为m ，从中随机选取2个，所有的情况为：(a,b )，(a,c )，(a,x )，(a,y )，(a,m )，(b,c )，(b,x )，(b,y )，(b,m )，(c,x )，(c,y )，(c,m )，(x,y )，(x,m )，(y,m )，共15种，它们等可能，其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b )，(a,c )，(b,c )，(x,y )，共4种，其概率为P 2=415，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是415.。

全国通用版高中数学第十章概率重点知识归纳

(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率重点知识归纳单选题1、龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（）A ．25B ．12C ．310D ．35答案：A解析：利用古典概型的概率进行列举所有情况，然后即可求解依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共4种，故所求概率P =410=25故选A ．小提示：关键点睛：利用古典概型的概率进行求解，主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力，属于基础题2、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（）A．互斥B．对立C．相互独立D．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)P(A)=P(B)，∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.3、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（）A．该教职工具有本科学历的概率低于60％B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.4、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C 42=6种，相邻的情况共有4种，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610=0.6 ，故选：C. 5、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（）A ．23B ．13C ．35D ．14答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率. 分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P =618=13.小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.6、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.5D ．0.6答案：D分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为p =6001000=0.6故选：D小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.7、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．购买彩票中奖的可能性为1100B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误.8、下列事件中不是确定事件的个数是（）①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量A．1B．2C．3D．4答案：B分析：根据随机事件的定义分析判断即可三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件；②水中捞月是不可能事件；③守株待兔是随机事件，不是确定事件；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件.故选：B.9、下列叙述正确的是（）A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小答案：B分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；对于B，事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1，即B正确；对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为1，即D错误，5即叙述正确的是选项B ，故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.10、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.11、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=34答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误. 故选：C12、从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A ．①B ．②④C ．③D ．①③答案：C分析：列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C填空题13、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：93514、连续掷一颗骰子两次，事件“向上的点数之和为5”相对应的基本事件空间是____________________. 答案：{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}分析：用列举法可得出两次点数之和为5包含的基本事件．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次点数之和为5包含的基本事件有：(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)所以答案是：{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}15、设随机事件A、B，已知P(A)=0.4，P(B|A)=0.3，P(B|A)=0.2，则P(B)=_____________．答案：0.24分析：根据条件概率的公式即可求解.∵P(A)=0.4，∴P(A)=1−P(A)=1−0.4=0.6，由条件概率公式得：P(BA)=P(A)P(B|A)=0.4×0.3=0.12；P(BA)=P(A)P(B|A)=0.6×0.2=0.12，所以P(B)=P(BA)+P(BA)=0.12+0.12=0.24，所以答案是：0.24.16、在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火炬手编号相连的概率为______.答案：25##0.4分析：先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率．有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手，从中任选2人，基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5)，共10个；选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有(1,2),(2,3)(3,4),(4,5)，共4个；所以选出的火炬手的编号相连的概率410=25．所以答案是：25．17、在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的“80%”是指___________.(填“频率”或“概率”)答案：频率分析：根据频率与概率的概念即可得出答案.解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的“80%”是指“频率”.只有经过很多次考试得到的及格率都是80%，才能说是概率.所以答案是：频率.解答题18、某班从50名学生中选1人作为校运动会的志愿者为师生服务，采用下面两种选法：选法一将这50名学生按1～50进行编号，相应地制作50个号签，把这50个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生入选；选法二将除颜色外完全相同的49个白球与1个红球放在一个暗箱中搅匀，让50名学生逐一从中摸取1球，摸到红球的学生成为志愿者．(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？(2)这两种选法每名学生被选中的可能性是否相等？答案：(1)选法一是抽签法，选法二不是抽签法，理由见解析(2)可能性相等分析：（1）根据抽签法的特征判断；（2）两种选法中每名学生被选中的可能性相等.（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法．选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的49个白球无法相互区分．．（2）这两种选法中每名学生被选中的可能性相等，均为15019、要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？答案：答案见解析.分析：方法一：把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，充分搅拌，从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数；方法二：利用计算机产生随机数.法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：（1）选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．小提示：本题考查了随机数的产生，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 20、从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(1)求表中字母a的值；(2)求至多遇到5个红灯的概率．答案：(1)a=0.2(2)0.97分析：（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出a的值；（2）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.（1）由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.（2）设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D̅，则P(D̅)=1−P(D)=1−0.03=0.97.。

全国通用版高中数学第十章概率经典知识题库

(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率经典知识题库单选题1、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．16 答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p =16. 故选：D2、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380. 故选：C.3、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100. 所以答案是：D4、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.=7.4，A选项结论正确.对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1=8.50625>8，16B选项结论正确.=0.375<0.4，对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616C选项结论错误.=0.8125>0.6，对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316D选项结论正确.故选：C5、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a,b∈{1,2,3,4}，若|a−b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．38B ．58C ．316D ．516答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B6、用1，2，3，4编号10个小球，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则0.4是指1号球占总体的（）A ．频数B ．频数/组距C ．频率/组距D ．频率答案：D分析：根据频率定义可得答案.因为1号球的频数为4，所以1号球占总体的频率为410=0.4.故选：D.7、掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥 C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥答案：B事件A ={2,4,6}，事件B ={3,6}，事件AB ={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16=12×13，即P(AB)=P(A)P(B)，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．故选B．8、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B̅)=1，则事件A与B的关系是（）A．互斥B．对立C．相互独立D．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(B)，P(A)∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.9、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p，p+2k).其中当k=1时，称(p，p+2)为“孪生素数”，k=2时，称(p，p+4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p､q(p<q)，令事件A={(p，q)为孪生素数}，B={(p，q)为表兄弟素数}，C={(p，q)|q−p≤4}，记事件A､B､C发生的概率分别为P(A)､P(B)､P(C)，则下列关系式成立的是（）A．P(A)P(B)=P(C)B．P(A)+P(B)=P(C)C．P(A)+P(B)>P(C)D．P(A)+P(B)<P(C)答案：D解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数p、q(p<q)，有C102=45(种)选法，从而可列举出事件A、B、C的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出P(A),P(B)和P(C)，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，事件A 发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共4个，事件B 发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共4个，事件C 发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、 (7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个， ∴P(A)=P(B)=445，P(C)=1045=29，故P(A)+P(B)<P(C). 故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力. 10、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )=2−a ，P (B )=4a −5，则实数a 的取值范围是（）A ．(54,2)B ．(54,32)C ．(54,43]D ．[54,32]答案：C分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 因随机事件A ，B 互斥，则P(A +B)=P(A)+P(B)=3a −3，依题意及概率的性质得{0<P(A)<10<P(B)<10<P(A +B)≤1 ，即{0<2−a <10<4a −5<10<3a −3≤1 ，解得54<a ≤43，所以实数a 的取值范围是(54,43]. 故选：C11、某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（） A ．至多一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶答案：D分析：利用对立事件的定义判断可得出结论.对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶， “至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件. 故选：D.12、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（） A ．4am B ．a+2mC ．a+2m mD ．4a+2m m答案：D解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1，其面积S =π4−12；则有am =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.填空题13、从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为______．答案：{0}分析：根据题意直接求解即可.取到的产品中没有次品，说明次品的个数为零，所以答案是：{0}14、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.答案：2027分析：根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.因为甲在每局比赛中获胜的概率为23，若甲前两局获胜，其概率为P1=23×23=49；若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为P2=C21⋅23⋅(1−23)×23=827,所以本次比赛中甲获胜的概率为P=P1+P2=49+827=2027.所以答案是：2027.15、假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．答案：12##0.5分析：根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为1020=0.5.所以答案是：12.16、抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.答案：23分析：根据事件的关系可知以及对应概率的计算性质，进行计算即可得解.将事件A＋B分成“出现1，2，3”和“出现5”这两个事件，记“出现1，2，3”为事件C，“出现5”为事件D，则C与D两个事件互斥，所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝36+16=23.所以答案是：23.17、“哥德巴赫猜想”是世界近代三大数学难题之一，今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数（质数）之和．若将22拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为______．答案：311分析：列举所有情况，再分析满足条件的情况求解即可.解析22可拆成1+21，2+20，3+19，4+18，5+17，6+16，7+15，8+14，9+13，10+12，11+11，共11种情况，其中符合加数全部为素数的有3+19，5+17，11+11，共3种情况，故所求的概率为3．11所以答案是：311解答题18、为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．答案：(1)16(2)118分析：（1）根据“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有2种，利用古典概型的概率求解；（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门，从地理、化学、生物中选2门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合2种，利用古典概型的概率求解.(1)解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，则共有2×6=12种，甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为p =212=16；(2)因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，，从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有2×3=6种；同理乙同学不选化学，共有2×3=6种；所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有6×6=36种；甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率p =236=118．19、排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为23，乙队发球时甲队获胜的概率为25，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方X:X 平后，甲队拥有发球权．（1）当X =24时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；（2）当X =22时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．答案：（1）2945；（2）64135．分析：(1)先确定X =24后两队共发2次球就结束比赛包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率；(2)先确定X =22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得该局胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率.(1)X =24后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．记事件A =“X =24后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以P (A )=23×23+(1−23)×(1−25)=2945．即X =24后两队共发2次球就结束比赛的概率为2945．(2)X =22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利．记事件B =“甲以25：22取得该局胜利”，C =“甲以25：23取得该局胜利”， D =“X =22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，因为各次发球的胜负结果相互独立，且B ，C 互斥，所以 P (B )=23×23×23=827，P (C )=(1−23)×25×23×23+23×(1−23)×25×23+23×23×(1−23)×25=845， P (D )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=827+845=64135．所以X =22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为64135.20、在①高一或高二学生的概率为1114；②高二或高三学生的概率为47；③高三学生的概率为314这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a 人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________. (1)求a 的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率. 答案：(1)300 (2)35分析：（1）若选①，则由题意可得600+500600+500+a =1114，从而可求出a 的值，若选②，则由题意可得500+a600+500+a =47，从而可求出a 的值，若选③，则由题意可得a600+500+a =314，从而可求出a 的值，（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的6人中，高一有4人，高三有2人，然后利用列举法列出这6人中任取2人的所有情况，再找出抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为600+500600+500+a =11001100+a=1114，解得a=300，所以a的值为300. 选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为500+a600+500+a =500+a1100+a=47，解得a=300，所以a的值为300. 选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为a600+500+a =314，解得a=300，所以a的值为300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B，则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为915=35.。

新教材高中数学第十章概率

(2)同时抛掷两枚骰子，既不出现 5 点也不出现 6 点的概率为49 ，则 5 点或 6 点至少出现一个的概率是________. 【解析】记事件 A＝“既不出现 5 点也不出现 6 点”，则 P(A)＝94 ，事件 B＝“5 点或 6 点至少出现一个”．因 A∩B＝∅，A∪B 为必然事件，故 A 与 B 为对立事件，则 P(B)＝1－P(A)＝1－94 ＝59 . 答案：59
【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1， 3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1， 1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3， 2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2， 3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共 27 种．
1．已知 A 与 B 是对立事件，且 P(A)＝0.2，P(B)＝________．【解析】因为 A 与 B 对立，所以 P(B)＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8. 答案：0.8
2．一枚均匀的正六面体骰子，设 A 表示事件“出现 3 点”，B 表示事件“出现偶数点”，则 P(A∪B)等于________．【解析】显然事件 A 与事件 B 互斥，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝16 ＋63 ＝23 . 答案：23
3．某城市的空气质量状况如下表所示：
污染指数 T 30 60 100 110 130 140
概率 P
1
11 7
21
10 6 3 30 15 30

高等数学第十章-概率与统计

第十章概率与统计
• 概率论与数理统计（简称概率统计）是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。
第一节概率的概念
• 一实际现象 • 试验： • 我们将在极广泛的意义下理解“试验”一词。做任何一件或大或小的事情均可看作是做 “试验”。如：各种科学实验、投掷硬币或骰子、吃饭、睡觉等等。
• 实际现象（包括自然现象、社会现象、思维现象等）分为三类：
• 概率的简单性质： • （1）0 P( A) 1
• （2）P( ) 0, P() 1
• 严格地讲，所谓统计规律性就是指频率的稳定性。至此便可真正从整体上理解本章开头对概率统计学科所下的定义。 • 由于在实际问题中遇到的事件大多数都是随机事件，因此，为方便计，我们往往将随机事件简称为事件。
• 四古典概型 • 概率的统计定义提供了计算概率的一种近似方法：用频率近似代替概率。但有些情形往往不必具体做试验即可预先算出概率，而且结果精确。下面将介绍的古典概型就是如此。 • 基本事件：在一定条件下做试验，根据问题的具体背景不可能进一步细分的事件。 • 复合事件：既不是基本事件又不是不可能事件的事件。
• 至此，仍没有解决“一般的P(A)究竟有多大？”这一问题。现在用“试验”来详细考察之。对于一般的随机现象，仅做一次试验是看不出什么规律的。但当多次反复试验后就会发现一种统计规律性。例如：掷一颗均匀的骰子，仅做一次试验是看不出有何规律的。但当投掷多次后，譬如讲6000次后，就会发现1，2，3，4，5，6点大致各出现1000 次左右，这些点出现的次数占试验总次数的比例（也叫频率）大约各为1000/6000=1/6，这就是一种统计规律性，而1/6就是所谓概率， 1000就是频数。
• 设 A1 , A2 ,, An 为等概基本事件组，事 • 件B由其中m个基本事件组成，人们从大量实践中总结出一个公式： • P(B)=B包含的基本事件数/基本事件总数。 • 用上式计算事件概率的概率模型称为古典概型。

中职数学教学：第10章-概率与统计初步PPT课件

概率的起源
• 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《 Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由古尔德从拉丁文翻译出来的。
• 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、
《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。
解由于100件商品中含有3件次品，随机地抽取1件，可能是次品，也可能是正品；随机地抽取4件，全是次品是不可能的；随机地抽取10 件，其中含有正品是必然的．
因此，事件B是不可能事件，事件C是必然事件．
-
19
动脑思考探索新知
作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做基本事件．可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件．
解（1）记A={ 生产的产品是次品 }，则事件A发生的频率为
m 109 0.091． n 1200 即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为0.091．
（2）本周内生产-的产品是次品的概率约为0.100．
25
运用知识强化练习
某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度．进行了5次“问卷调查”，结果如下表所示：
在描述一个事件的时候，采用加花括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正面向上的事件，记作 A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．
在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用表示．在一定条件下
不可能发生的事件叫做不可能事件，用表示．
-
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创设情境兴趣导入
任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．事件A＝{点数是1 }， B＝{点数是2 }，C＝{点数不超过2 } 之间存在着什么联系呢？

第十章统计与概率10-7二项式定理(理)

－

重点难点重点：二项式展开式的通项和二项式系数的性质．难点：二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别．知识归纳 1．二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr ＋…Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr. (a－b)n的展开式第r＋1项T ＝(－1)r·C ran
2011 2011 a2011 C2011 －2 又 2011＝＝－1，∴原式＝－1. 2 22011

答案：－1
点评：观察待求式可以发现将已知等式右边的x换为
1 1 a1 a2 a2011 可得，因此可令x＝得，a0＋＋ 2 ＋…＋ 2011 ＝0，只 2 2 2 2 2 要求出a0即可，不难发现已知等式中，当x＝0时，有a0 a1 a2 a2011 ＝1，∴ 2 ＋22…＋22011＝－1.
－－2r
＝(－1)r 1C10r 1·11 r·12 2 x Tr＋2＝C10
＋
－
－
，
r＋1
(2x)
＋
9 －r
1 ＋－ · x r 1
－－2r
＝(－1)r 1C10r 1·9 r·8 2 x
，
C r·10－r≥C r－1·11－r 2 10 2 10 ∴ r 10－r ＋－ C10 · 2 ≥C10r 1·9 r 2 C r≥2C r－1 10 10 ∴ ＋ 2C10r≥C10r 1
(2010· 全国卷Ⅰ，5)(1－x)4(1－ x )3的展开式中x2的系数是( A．－6 C．0 ) B．－3 D．3

2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率(2)教案新人教A版必修第二册

-跨学科应用：
a.与物理学科的关联：探讨物理实验中的概率现象，如量子力学中的概率波函数等。
b.与生物学科的关联：研究遗传学中的概率问题，如基因遗传概率、疾病发病率等。
c.与经济学科的关联：分析投资、风险管理等方面的概率问题，如股票收益率的概率分布等。
课后作业
1.计算题：抛掷两个公正的骰子，求两个骰子的点数和为7的概率。
d.条件概率：使用Venn图和实际案例，如疾病检测的准确性问题，帮助学生理解在给定一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
2.教学难点
-难点内容：概率乘法规则的适用条件及其理解；条件概率在实际问题中的运用；理解并区分独立事件与非独立事件。
-举例解释：
a.概率乘法规则的适用条件：解释在什么情况下可以使用乘法规则（即事件A和事件B的交集非空且A、B相互独立），通过具体问题让学生体会这一条件的重要性。
反馈作业情况：及时批改作业，提供个性化反馈，指导学生改进。
-学生活动：
完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。
拓展学习：利用教师推荐的资源，进行自我学习和探索。
反思总结：学生对学习过程进行自我反思，提出改进建议。
-教学方法/手段/资源：
自主学习法：鼓励学生在课后进行自我学习和探索。
反思总结法：引导学生通过反思，促进自我提升。
4.探究题：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
答案：取出的两个球颜色相同的概率为P(两个红球) + P(两个蓝球) = (C(5,2) / C(10,2)) + (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (5 * 4 / (2 * 1)) / (10 * 9 / (2 * 1)) = 2/9 ≈ 0.2222，即22.22%。

高中数学必修二第十章概率考点大全笔记(带答案)

高中数学必修二第十章概率考点大全笔记单选题1、打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i=0、1、2、3.那么A=A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确答案：B分析：利用并事件的定义可得出结论.A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选：B.2、已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75答案：D分析：由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.在20组随机数中含{2,3,4,5,6,7,8,9}中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，=0.75.至少击中3次的频率为1520据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D3、下列事件属于古典概型的是（）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.4、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（）A．0.09B．0.96C．0.97D．0.98答案：B分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与B+C是对立事件，所以P(A)=1−P(B+C)=1−0.03−0.01=0.96．故选：B.5、从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（）A．至少有1个红球B．至少有1个黑球C．至多有1个黑球D．至多2个红球答案：C分析：根据对立事件的定义判断即可由题，由对立事件的定义，“至少有2个黑球”与“至多有1个黑球”对立，6、已知集合M ={−1,0,1,−2}，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（）A ．516B ．716C ．38D ．58 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.由已知得，基本事件共有4×4= 16个，其中落在坐标轴上的点为：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(−2,0)，(0,−2)，共7个，∴所求的概率P =716，故选：B ．7、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.8、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”分析：根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故B中的两事件不互斥；对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球”互斥并且对立.故选：A多选题9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．P(B)的值不能确定，因为它与A1、A2、A3中究竟哪一个发生有关B．P(B|A1)=511C．事件B与事件A1相互独立D．A1、A2、A3是两两互斥的事件答案：BD分析：P(B)的值与A1、A2、A3都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件B与A1的发生有关系可判断C；A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A选项，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；B选项，P(B|A1)=510×51112=511，所以B正确；C选项，事件B与A1的发生有关系，所以C错误；D选项，A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.10、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、下列说法错误的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3，则比赛5场，甲胜3场5B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案：ABC分析：根据频率与概率的概念分析可得答案.对于A ，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，是指每场比赛，甲胜的可能性为35，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A 错误；对于B ，治愈率为10%，是指每个人治愈的可能性是10%，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B 错误；对于C ，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C 错误；对于D ，天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%，故D 正确.故选：ABC填空题12、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 答案：19分析：分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．根据题意可得基本事件数总为6×6=36个.点数和为5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为P =436=19.所以答案是：19. 小提示：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13、已知事件A ，B ，且P (A )=0.5，P (B )=0.2，如果A 与B 互斥，令m =P (AB )；如果A 与B 相互独立，令n =P (A B̅)，则n −m =___________. 答案：0.4##25分析：利用互斥事件的概念及独立事件概率公式即得.∵A 与B 互斥，∴m =P (AB )=0,∵A与B相互独立，∴n=P(A B̅)=P(A)P(B̅)=(1−0.5)×(1−0.2)=0.4，∴n−m=0.4.所以答案是：0.4.14、为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.答案：0.75##34分析：由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则{P(A)+P(B)=0.93 P(A)+P(C)=0.82P(A)+P(B)+P(C)=1，解得{P(A)=0.75P(B)=0.18P(C)=0.07，所以抽到一等品的概率为0.75.所以答案是：0.75.解答题15、某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：(每人被选到的可能性相同)．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．分析：（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可. 解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．。

(精选试题附答案)高中数学第十章概率基础知识手册

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率基础知识手册单选题1、抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．P (A +B )=23D ．P (A +B )=56答案：C解析：根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A +B ，然后计算概率．A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A +B 表示向上点数为1,3,4,5之一，∴P(A +B)=46=23．故选：C ．小提示：关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题P(A +B)≠P(A)+P(B)．2、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k ，存在无穷多个素数对(p ，p +2k).其中当k =1时，称(p ，p +2)为“孪生素数”，k =2时，称(p ，p +4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p ､q (p <q )，令事件A ={(p ，q)为孪生素数}，B ={(p ，q)为表兄弟素数}，C ={(p ，q)|q −p ≤4}，记事件A ､B ､C 发生的概率分别为P(A)､P(B)､P(C)，则下列关系式成立的是（）A ．P(A)P(B)=P(C)B ．P(A)+P(B)=P(C)C ．P(A)+P(B)>P(C)D ．P(A)+P(B)<P(C)答案：D解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，从而可列举出事件A 、B 、C 的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出P(A),P(B)和P(C)，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，事件A 发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共4个，事件B 发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共4个，事件C 发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、(7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个，∴P(A)=P(B)=445，P(C)=1045=29，故P(A)+P(B)<P(C).故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.3、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；故选：C.4、如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（）A ．0.96B ．0.88C ．1.6D ．0.64答案：A分析：根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为1−(1−0.8)×(1−0.8)=0.96故选：A5、一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．45 答案：C分析：写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.5人小组中，设2男生分别为a ,b ，3名女生分别为A,B,C ，则任意选出2名同学，共有:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)6个基本事件，所以P =610=35,故选：C6、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是13,12,23，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（）A ．19B ．16C ．13D ．718 答案：D分析：把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M =ABC +ABC +ABC ，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立，则P(M)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=13×12×(1−23)+13×(1−12)×23+(1−13)×12×23 =718，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718. 故选：D7、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．购买彩票中奖的可能性为1100B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误.故选：A.8、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（）A ．13B ．14C ．15D ．16 答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p =16.故选：D9、饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P 经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（）A ．116B ．18C ．14D ．12答案：B分析：利用古典概型的概率求解.解：点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω={（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件C ，则C ={（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知P (C )=18．故选：B ．10、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380.故选：C.填空题11、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.12、若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝1y ，P(B)＝4x，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．答案：9解析：根据对立事件的性质可知1y +4x=1，再利用基本不等式求x+y的最小值.由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝1y，P(B)＝4x ，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝1y＋4x＝1，所以x+y=(x+y)(1y +4x)=5+4yx+xy≥5+2√4yx ⋅xy=9，当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.所以答案是：9小提示：方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方13、有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.答案：512分析：根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可.解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共有6×6=36种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为P=1536=512.所以答案是：51214、“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________.答案：12##0.5分析：设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C，田忌有上、中、下三等的三匹马a、b、c，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C，田忌有上、中、下三等的三匹马a、b、c，所有比赛的方式有：Aa、Bb、Cc；Aa、Bc、Cb；Ab、Ba、Cc；Ab、Bc、Ca；Ac、Ba、Cb；Ac、Bb、Ca，一共6种.若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马c参加.就会出现两种比赛方式：Ac、Ba、Cb和Ac、Bb、Ca，其中田忌能获胜的为Ac、Ba、Cb，.故此时田忌获胜的概率最大为12.所以答案是：1215、下列试验是古典概型的为______．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．答案：①②④分析：根据古典概型的特点，结合每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响.所以答案是：①②④.解答题16、从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．(1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选3人中恰有一名女生的概率；(3)求所选3人中至少有一名女生的概率答案：(1)答案见解析(2)35(3)45分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC，ABD，ABm，ABn，ACD，ACm，ACn，ADm，ADn，Amn，BCD，BCm，BCn，BDm，BDn，Bmn，CDm，CDn，Cmn，Dmn，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为1620=4517、甲､乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为23，且各次罚球互不影响.(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；(2)求甲队获胜的概率.答案：(1)49(2)302729分析：（1）双方各罚1球后比赛结束分为两种情况，甲罚进，乙罚丢，或者乙罚进，甲罚丢，结合事件的概率可得结果；（2）把甲队获胜的事件表示为三个互斥事件的和，结合基本事件的概率可求结果.(1)设事件A k=“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；事件B k=“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.设事件C=“双方各罚1球后比赛结束”，则P(C)=P(A1B1)+P(A1B1)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)=23×(1−23)×2=49.(2)设事件E=“甲队获胜”，则P(E)=P(A1B1)+[1−P(C)]P(A2B2)+[1−P(C)]2P(A3B3)=23×13+59×23×13+(59)2×23×13=302729.18、某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）答案：（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）47.45m3.分析：（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少m3，从而求得结果.（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48．x1=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2=1500.45×16+0.55×5)=0.35．估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48−0.35)×365=47.45(m3)．小提示：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.19、已知口袋中有3个小球a1，a2，a3．(1)若从中任取2个，写出这个试验的样本空间；(2)每次任取1个，连续取两次①若每次取出后不放回，写出这个试验的样本空间；②若每次取出后放回，写出这个试验的样本空间．答案：(1){(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}(2)①{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2)}；②{(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3)}分析：（1）利用列举法求得正确答案.（2）①利用列举法求得正确答案.②利用列举法求得正确答案.（1）依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}.（2）①依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2)}.②依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3)}.。

概率论与数理统计10讲-PPT精选

随机变量.
(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论, 可测集理论.但简而言之, 这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的X在实数轴上的事件都存在着概率.)
45
实际上,连续型随机变量X的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为, 当任意两个实数a,b不相同时, 即当ab, 事件{X=a}和事件{X=b}是互不相容的, 而且连续型随机变量X取任何单个的实数的概率为0.
F(x) 1
0
4
10
x
8
在这里，分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界的连续函数，在整个数轴上没有一个跳跃点(可见, 对于这样的随机变量, 它取任何一个具体值的概率都是零). 这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因.
9
描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x) 同样也是不很方便. 因此, 用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布.
=F(2.5)-F(1.5)-0 =1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625
42
根据概率密度函数进行计算则是
2.5
P{1.5X2.5}
f(x)dx2(-x1)dx2.50dx
1.5
1.5 2
2
| | x2 2
2.5
- x -10.56250.50.0625
若[c,d][4,10], 有P{cXd}=(d-c), 为比
例常数, 特别地, 取c=4, d=10,
P{4X10}=(10-4)=6=1, 因此=1/6.
6
因此X的分布函数就是
0
x4
F(x)P(Xx)16(x-4) 4x10

新教材人教版高中数学必修第二册第十章概率(章末知识梳理与能力提升)

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2．有限样本空间与随机事件 (1)有限样本空间：随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，用 ω 表示，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，用 Ω 表示，称样本空间 Ω＝{ω1，ω2，ω3，…， ωn}为有限样本空间． (2)样本空间 Ω 的子集称为随机事件，称 Ω 为必然事件，称∅为不可能事件．
第十二页，共十六页。
僚属们都大吃一惊，认为绝无百钱字面都朝上之理，这样干只会动摇军心，影响本来就不高的士气，于是纷纷劝阻．可是狄青对此劝告不予理会，神色庄重地对侍从说了声：“铜钱伺候．” 侍从立即从一个小布袋中将铜钱取出，只见一百枚铜钱齐刷刷地一串儿穿在一根细麻绳上．侍从把系着的绳头儿解开，将铜钱一个不少地置入狄青的手掌中，狄青双手合拢，像摇卦筒似将铜钱 “哗哗”地摇了几摇，忽然，一个“孔雀开屏”，那百枚铜钱纷纷飞起，又“劈劈啪啪”地先后落下．
第四页，共十六页。
3．事件的关系与运算
事件关系或运算
含义
符号表示
包含
A 发生导致 B 发生
A⊆B
并事件(和事件) A 与 B 至少一个发生 A∪B 或 A＋B
交事件(积事件) A 与 B 同时发生
A∩B 或 AB
互斥(互不相容) A 与 B 不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A 与 B 有且仅有一个发 A∩B＝∅，且 A∪B
新教材人教版高中数学必修第二册第十章概率（章末知识梳理与能力提升）
科目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
第十章章末知识梳理与能力提升
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[本章知识结构——建体系]
第二页，共十六页。
[核心知识点拨——握重难]

全国通用版高中数学第十章概率题型总结及解题方法

(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率题型总结及解题方法单选题1、某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名选手其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是（）A ．13B ．25C ．12D ．35答案：D分析：现场选2名选手，共15种情况，设A ，B ，C ，D 四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；现场选2名选手，基本事件有：(A,B )，(A,C )，(A,D )，(A,E )，(A,F )，(B,C )，(B,D )，(B,E )，(B,F )，(C,D )，(C,E )，(C,F )，(D,E )，(D,F )，(E,F )共15种情况，不妨设A ，B ，C ，D 四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：(A,B )，(A,C )，(A,D )，(B,C )，(B,D )，(C,D )共6种，则至少有一名女同学被选中的概率为1−615=35.故选：D .2、已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A ．P (A ∩B̅) =0B ．P (A ∩B ) =P (A ) P (B ) C ．P (A ) =1−P (B ) D ．P (A ∪B̅) =1 答案：D分析：根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.因为事件A 与事件B 是互斥事件，A 、B̅不一定是互斥事件，所以P (A ∩B ̅)不一定为0，故A 错误；因为A ∩B =∅，所以P (A ∩B )=0，而P (A )P (B )不一定为0，故B 错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，A∪B是必然事件，所以P(A∪B̅)=1，故D正确.故选：D.3、若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，则实数a的取值范围是（）A．(54,2)B．(54,32)C．(54,43]D．[54,32]答案：C分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 因随机事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=3a−3，依题意及概率的性质得{0<P(A)<1 0<P(B)<10<P(A+B)≤1，即{0<2−a<10<4a−5<10<3a−3≤1，解得54<a≤43，所以实数a的取值范围是(54,4 3 ].故选：C4、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A．0.999B．0.981C．0.980D．0.729答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P1=0.9×0.9=0.81，开关3正常工作的概率P2=0.9，故该系统正常工作的概率P =1−(1−P 1)(1−P 2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.5、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．购买彩票中奖的可能性为1100B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误.故选：A.6、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4a mB ．a+2m C ．a+2m m D ．4a+2m m答案：D解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1 ，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1，其面积S =π4−12；则有a m =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.7、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B ．小概率事件很少发生，不用怕；C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D ．大概率事件就是必然事件，一定发生．答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A8、已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品全不是次品”，F 表示事件“3件产品全是次品”，G 表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是（）A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立C．E,F,G任意两个事件均互斥D．E与G对立答案：D分析：列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.设1表示取到正品, 0 表示取到次品，所有事件Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.则E={(1,1,1)},F={(0,0,0)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}F∩G=F,故F与G不互斥，故A,C错E∩G=∅,E∪G=Ω,故E与G互斥且对立,故B错，D正确故选：D9、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案：B分析：根据独立事件概率关系逐一判断P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16，，P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)，P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，故选：B小提示：判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立10、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A ，事件M ={2,4,6}，事件N ={3,6}，事件MN ={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P (M )=36=12，P (N )=26=13，P (MN )=16=12×13，即P (MN )=P (N )P (M )，因此事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项C ，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”，则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；故选：C.11、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=34答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误. 故选：C12、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（）A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35 答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项.依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12.所以A 选项正确，BCD 选项错误.故选：A填空题13、从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 答案：4分析：直接列举基本事件即可.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.所以答案是：4.14、某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.答案：0.21##21100分析：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A,B,C，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C则{P(A)+P(B)=0.86 P(B)+P(C)=0.35P(A)+P(B)+P(C)=1，则P(B)=0.21所以答案是：0.2115、A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.答案：0.994解析：根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解.某段时间内三个开关全部坏掉的概率为(1−0.9)×(1−0.8)×(1−0.7)=0.006，所以系统正常工作的概率为1−0.006=0.994，所以此系统的可靠性为0.994.所以答案是：0.994.小提示：本题主要考查对立事件和独立事件的概率求解，正面考虑情况较多时，一般考虑对立事件来转化，侧重考查数学运算的核心素养.16、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程2x−b=0的解的概率为_______.答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b),其中，a,b∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b)共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a是方程2x−b=0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112.所以答案是：11217、一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.答案：0.496分析：先求没有1个部件需要调整的概率，再用1减即可.设A,B,C分别为部件1，2，3需要调整的事件，则至少有1个部件需要调整的概率为P=1−P(A)⋅P(B̅)⋅P(C)=1−0.504=0.496所以答案是：0.496解答题18、在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色､3只白色的乒乓球（其体积､质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.(1)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？(2)假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？答案：(1)920(2)6000元分析：（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求得摸得同一颜色的概率，从而估计500人次中摸得同一颜色和非同一颜色的次数求解；(1)解：把3只黄色乒乓球标记为A､B､C，3只白色的乒乓球标记为1､2､3，从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC､AB1､AB2､AB3､AC1､AC2､AC3､A12､A13､A23､BC1､BC2､BC3､B12､B13､B23､C12､C13､C23､123，共20个，设事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，则P(F)=920(2)设事件G ={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，则P (G )=220=110，假定一天中有500人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有50次，不发生450次.则一天可赚450×1-50×5=200，每月可赚6000元.19、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，34，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人.分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题. 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(A B ̅C )=P(A )⋅P(B ̅)⋅P(C )=35×14×23=110. （Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC )+P(AB ̅C)+P(A BC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.20、垃圾分类（Garbage classification ），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p ，小亮每轮答对的概率为23,且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为1112． (1)求p 的值；(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．答案：(1)p =34(2)512 分析：（1）设C =“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.（2）设A i =“两轮活动中小明答对了1道题”，B i =“两轮活动中小亮答对了1道题”，i =0，1，2，分别求出其概率，设E =“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则E =A 1B 2+A 2B 1从而可得答案.(1)设A = “一轮活动中小明答对一题”，B =“一轮活动中小亮答对一题”，则P(A)=p ，P(B)=23. 设C =“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，则C =AB̅̅̅̅，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以A 与B 相互独立，从而A 与B̅相互独立，所以P(C )=P(AB ̅̅̅̅)=P(A )P(B ̅)=(1−p)×13=1−P(C)=112，所以p =34(2)设A i =“两轮活动中小明答对了1道题”，B i =“两轮活动中小亮答对了1道题”，i =0，1，2.由题意得，P(A1)=14×34+34×14=38，P(A2)=34×34=916P(B1)=23×13+13×23=49，P(B2)=23×23=49设E=“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则E=A1B2+A2B1.由于A i和B i相互独立，则A1B2与A2B1互斥，所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=38×49+916×49=512.所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为512.。

全国通用版高中数学第十章概率必考考点训练

(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率必考考点训练单选题1、从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③答案：C分析：列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A ．249B ．649C ．17D ．27答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则（） A ．事件A ，B 一定互斥B ．事件A ，B 一定不互斥C ．事件A ，B 一定互相独立D ．事件A ，B 一定不互相独立答案：B分析：根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可若事件A ，B 为互斥事件，则P(A +B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A +B)≤1矛盾，所以P(A +B)≠P(A)+P(B)，所以事件A ，B 一定不互斥，所以B 正确，A 错误，由题意无法判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A ，B 是否互相独立，所以CD 错误，故选：B4、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（） A ．35B ．23C ．34D ．415 答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P =69=23.故选：B.5、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A ．1999B ．11000C ．9991000D ．12答案：D每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D. 6、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（） A ．买100张彩票就一定能中奖 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D7、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（） A ．互斥B ．对立C ．相互独立D ．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(B)，P(A)∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.8、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.9、已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件答案：C分析：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．10、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C42=6种，相邻的情况共有4种，=0.6，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610故选：C.11、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）A．0.1B．0.2C．0.5D．0.6答案：D分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：=0.6估计这个人体重减轻的概率约为p=6001000故选：D小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.12、若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，则实数a的取值范围是A．(1,2)B．(54,32)C．(54,43)D．(54,43]答案：D分析：由随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)⩽1，由此能求出实数a的取值范围．∵随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，∴{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)⩽1，即{0<2−a<10<4a−5<13a−3⩽1，解得54<a⩽43，即a∈(54,43]．故选：D．小提示：本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．填空题13、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6，且事件A与B相互独立，则P(A+B)=________.答案：0.8##45分析：先算出P(AB)，再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3，则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是：0.8.14、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程2x−b=0的解的概率为_______.答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b),其中，a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b)共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a 是方程2x −b =0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112. 所以答案是：11215、一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 答案：0.9## 910分析：利用概率加法公式直接求解.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P =0.5+0.7−0.3=0.9. 所以答案是：0.9.16、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________. 答案：1415分析：“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率. 由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)=1−P(B)=1−115=1415. 所以答案是：1415.17、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____． ①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.解答题18、某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.答案：（1）a=0.015，s12>s22；（2）0.42分析：（1）根据频率之和为1求得a，根据数据的集中程度可比较方差；（2）分别求出未来的某一天，甲、乙种酸奶的销售量不高于20箱的概率即可求出.（1）根据频率分布直方图（甲）可得：(0.02+0.01+0.03+a+0.025)×10=1，解得a=0.015，根据两个频率分布直方图可得，乙种酸奶日销售量数据更集中，所以s12>s22；（2）设事件A：在未来的某一天，甲种酸奶的销售量不高于20箱，事件B：在未来的某一天，乙种酸奶的销售量不高于20箱，事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱，则P(A)=0.2+0.1=0.3，P(B)=0.1+0.2=0.3，所以P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.19、从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．(1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选3人中恰有一名女生的概率；(3)求所选3人中至少有一名女生的概率答案：(1)答案见解析(2)35(3)45分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC，ABD，ABm，ABn，ACD，ACm，ACn，ADm，ADn，Amn，BCD，BCm，BCn，BDm，BDn，Bmn，CDm，CDn，Cmn，Dmn，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为1620=4520、今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率. 答案：(1)P(C)=23,P(B)=38(2)2132分析：（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．（1）设事件A =“甲学校回答正确这道题”，事件B =“乙学校回答正确这道题”，事件C =“丙学校回答正确这道题” ，则P(A)=34，P(AC)=12，P(BC)=14， ∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的. ∴事件A ，B ，C 相互独立.∴P(AC)=P(A)⋅P(C)=12,P(BC)=P(B)⋅P(C)=14， ∴P(C)=23,P(B)=38 ；（2）设事件M =“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”M =ABC ∪AB ̅C ∪A BC ∪ABC 且ABC ,AB̅C,ABC,ABC 两两互斥，P(M)=P(ABC∪AB̅C∪A BC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(A BC)+P(ABC)；由于事件A，B，C相互独立.所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34⋅38⋅13=332P(AB̅C)=P(A)P(B̅)P(C)=34⋅58⋅23=516，P(A BC)=P(A)P(B)P(C)=14⋅38⋅23=116，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34⋅38⋅23=316，P(M)=332+516+116+316=2132。

第十章概率论与数理统计

第十章概率论与数理统计10．1写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点：（1）掷一颗骰子，出现奇数点；（2）将一枚均匀硬币抛两次，A：第一次出现正面；B：两次出现同一面；C：至少有一次出现正面；（3）一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取三个球，球的最小号码为1；（4）1，2，3，4四个数中可重复地取两个数，一个数是另一个数的2倍。

10．2在信息工作系学生中选一名学生，令事件A表示被的学生是男生，事件B 表示该生为三年级生，事件C表示该生是运动员。

（1）叙述事件CAB意义；ABC=成立？（2）在什么条件下CC⊂是正确的？（3）在什么时候关系式B（4）什么时候BA=成立？（5）什么时候BA=成立？10．3将下列事件用A，B，C表示出来：（1）A发生；（2）只有A发生；（3）A与B都发生与C不发生；（4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件中不多于两个发生；（6）三个事件都不发生。

10．4一批灯泡有40只，其中3只是坏的，从中任取5只进行检查，问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只坏的概率是多少？10．5一幢10怪楼中的一架电梯在底层走上7位乘客。

电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开都是等可能的，求没有2位乘客在同一层离开的概率。

10．6某城市的摩托车有10 000辆，牌照号从00001到10000，问事件“偶然遇到的一辆摩托，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？10．7一个中学有15个班级，每班选出3个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会。

求下列事件的概率：（1）一年级一班在委员会中有代表；（2）每个班级在委员会中都有代表。

10．8从一副扑克牌（共52张）中任意抽出4张，求4张牌花色各不相同的概率。

10．9在书架上任意放着10本书，求某给定的3本书放在一起的概率。

n≤），求下列10．10设有n个人等可能地被分配到N个房间中的任一间去住（N事件的概率：（1）指定的n间房间里各住一人；（2）恰好有n间房间，其中各住一人。