3随机信号表示法

第三章 随机信号表示法
（Random signal representation）
第一节 随机信号（Random signal）
信号可分为确定性信号和随机信号。所谓确定性信号，就是其每个时间点上的值可以用 某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。所谓随机信号就是不能用一个确切的数学公式来 描述，因而也不能准确地与以预测的信号。换句话来说，随机信号只能用统计的方法进行描 述，只能在一定的准确性（accuracy）或可信性（confidence）范围内进行预测。
随机信号的各态遍历特性(ergodicity )，使我们能由单一样本函数的时间平均来代替集总 （ensemble）平均。随机信号的平稳特性可使我们能从任意时间原点开始求取统计特征，使 得在实际工作中，估计统计平均量成为可实现。
{ } 对于一个平稳各态遍历随机过程，如果我们测得该过程的一个样本值
xi
i=n ，就可以
如果过程是高斯过程，则二阶平稳意味着完全平稳。因此，以后我们至少把二阶平稳过程叫
准平稳过程或广义平稳过程。今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广义平稳随机过程。
3.2.2 统计特征量
1. 数字期望（均值）
随机变量 xn 的均值用 mxn 表示定义为：
+∞
∫ mxn
= E[xn ] =
xp( x)dx
=
1 n
n i =1
(xi
−
mˆ x )( yi+m
−
mˆ y )
(3-20)
{ } { } { } yi
i=n i =1
是另外一个平稳随机过程的样本，mˆ
y
是它的样本平均值，当
xi
i=n 与
i =1
yi
i=n 相同时，
i =1
上式求到的就是样本自协方差。
样本相关函数
∑ Rˆ xy (m)
=
1 n
i =1
计算出以下的一些样本数字特征，可以用它们来估计统计特征量：
样本平均值
样本均方值
∑ mˆ x
=
1 n
n i =1
xi
(3-17)
样本方差
∑ E[mˆ x 2 ]
=
1 n
n i =1
xi 2
(3-18)
样本协方差
∑ σˆ x 2
=
1 n
n i =1
(xi − mˆ x )2
(3-19)
∑ Cˆ xy (m)
与时间无关的常熟，可以将时间坐标省去，今后将用 mx 和σ x 2 来表示均值与方差。 4. 协方差
一个平稳随机信号的自协方差定义为：
Cxx (m) = E[(xn − mx )(xn+m − mx )]
对于两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互协方差定义为：
C xy (m) = E[(xn − mx )( yn+m − m y )] 5. 相关函数
明显的规律性，即出现正面的次数约占抛掷总数的一半。表 3.1 是历史上几位著名学者的实
验记录。
实验者 摩根 摩根 摩根 摩根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
维尼
表 3.1 抛掷次数 n
2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000
抛掷硬币的统计结果 出现正面次数 m 1061 1048 1017 1039 2048 6019 12012 14994
(3-5)
它代表 xn1 取值 x1 同时 xn2 取值 x2 的联合概率。
从随机变量 xn1 和 xn2 的二维联合概率密度可以求得 xn1 和 xn2 各自的一维概率密度以及
条件概率密度。因此二维联合概率密度不仅蕴涵了一维概率密度，而且蕴涵了条件概率密度。
当随机变量 xn1 和 xn2 统计独立时则有：
随机变量 xn 的方差定义为：
σ2 xn
=
E[( x n
− mxn )2 ]
(3-9)
如果 xn 是电压或者电流，方差可以理解为电压或者电流的起伏分量在 1 欧姆电阻上消耗的
平均功率。 利用（3－6）容易得到方差、均值、均方值的关系：
σ2 xn
=
E[xn 2 ] − mxn 2
(3-10)
以上三个特征量仅与一维概率密度有关。对于平稳随机过程，方差、均值、均方值都是
Pxn1,xn2 (x1 , n1; x2 , n2 ) = 概率(xn1 ≤ x1 , xn2 ≤ x2 )
(3-4)
它表示 xn1 ≤ x1 同时 xn2 ≤ x2 的联合概率。
二维联合概率分布函数的二阶偏微分对应着相应的二维联合概率密度函数：
pxn1,xn2 (x1 , n1; x2 , n2 ) = 概率(xn1 = x1 , xn2 = x2 )
用(3-11)和(3-13)可以看出两者有如下关系：
Cxx (m) = Rxx (m) − mx 2
(3-15)
两者只相差一个常熟 mx 2 ，它们之间没有本质上的区别。
互相关函数和互协方差是衡量两个随机过程{xn}和{yn}的随机变量间的相关性，利用 (3-12)和(3-14)可以看出两者有如下关系：
(3-1) (3-2)
表示 xn 取某一值 x1 的概率。例如前面抛掷硬币的例子， xn 只有两种可能的值：－1 和
＋1，如果 xn ＝＋1 的概率为 p，则 xn ＝－1 的概率为（1－p）。两者之间的关系为：
∫ Pxn (x1, n) =
x1 −∞
p xn
( x,
n)dx
(3-3)
图 3.2 表示了这个随机变量 xn 的概率分布函数及概率密度函数。
由于平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而变化，全体集合的平均就可以用无穷时 间的平均来代替，这就是各态遍历假设。
各态遍历随机信号（ergodic random signal）是指所有样本函数在某给定时刻的统计特性 与单一样本函数在长时间内的统计特性一致的平稳随机信号。这就是说，单一样本函数随时 间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历（valued history）。
(3-11) (3-12)
一个平稳随机信号中的两个时间点上的随机变量 xn 和 xn+m 之间的自相关函数定义为：
Rxx (m) = E[xn ⋅ xn+m ]
(3-13)
对于两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互相关函数定义为：
Rxy (m) = E[xn ⋅ yn+m ]
(3-14)
自相关函数和自协方差是衡量随机过程在不同时刻上的随机变量之间的相关性的量，利
m/n 0.5181 0.5117 0.4966 0.5073 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
由表 3.1 可以看出，随着抛掷次数的增加，比值 m/n 在 1/2 附近摆动，而且总是在 1/2
附近摆动。这种在个别实验中其结果呈现不确定性，在大量重复实验中其结果又具有规律性
的现象，称之为随机现象，大量同类随机现象所呈现的固有规律称为随机现象的统计特征。
本章下一节将介绍随机信号的统计特征量。
随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。一方面，任何确定性信号经过测量
后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，
通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。噪声按功率谱密度划分可以分
为白噪声（white noise）和色噪声（color noise），我们把均值为 0 的白噪声叫纯随机信号（pure
mˆ x 2 = 0.0023
∑ E[mˆ x 2 ] =
1 n
n i =1
xi 2
= 0.7491
∑ σˆ x 2
=
1 n
n i =1
(xi − mˆ x )2 = 0.7468
Pxn ( x1, n)
pxn ( x1, n)
1− p{ −1
1
p{
01
1− p
p
xn
−1
01
xn
图 3.2 抛掷硬币的概率分布函数和概率密度函数
2. 二维概率分布函数
如果我们要描述一个随机过程中的两个时间点（n1与n2）上的随机变量 xn1 和 xn2 之间的
关系，可以用二维联合概率分布函数来表示：
−∞
如果 xn 是电压或者电流，均值可理解为第 n 点上电压或电流的“直流分量”。
2. 均方值
(3-7)
随机变量 xn 的均方值定义为：
∫ E[xn2 ] =
+∞x2 p(x)dx
−∞
(3-8)
如果 xn 是电压或者电流，均方值可理解为在第 n 点上电压或电流在 1 欧姆电阻上的“平均
功率”。
3. 方差
干扰。干扰也可以是噪声，纯随机信号（白噪声）加上一个直流成分（确定性信号），就成
了最简单的混合随机信号。医学数字信号处理的目的是要提取包含在随机信号中的确定成
Fra Baidu bibliotek
分，并探求它与生理、病理过程的关系，为医学决策提供一定的依据。
随机信号的表示法有古典的统计法和现代的参数建模法。
第二节 随机信号的古典表示法
(Classical statistical method)
C xy (m) = Rxy (m) − mx m y
(3-16)
相关函数或者协方差是与二维概率分布有关的统计特性，也隐含了一维特征量，因此相
关函数或协方差是表征一个随机过程的最重要的统计特性。
3.2.3 各态遍历随机信号
上面我们讨论了一些统计特征量的定义与求法，都需要预先知道一维、二维概率分布， 在实际上这是不现实的。虽然用无穷多个平行样本序列（集合）的平均得到的统计特性倾于 统计平均，但要对一个平稳随机过程获得很多的平行样本序列在实际中也是很困难的。
pxn1,xn2 (x1, n1; x2 , n2 ) = pxn1 (x1, n1 ) ⋅ pxn2 (x2 , n2 ) 3. 平稳随机信号
(3-6)
如果随机信号的概率特性不随时间变化而变化，则称为平稳随机信号。完全平稳的要求
是非常苛刻的。一般可使用较弱的条件：即用 m 阶平稳来描述一个随机过程，阶数越高，
越接近平稳。
一阶平稳过程( first order stable process )：信号的平均值与 t 无关的过程叫一阶平稳过程
（m=1）。二阶平稳过程：二阶（m=2）平稳过程需满足：（1）信号的平均值与 t 无关；（2）
信号的均方值与 t 无关；（3）信号的协方差只是时间间隔的函数，而与时间原点的选择无关。
3.2.1 概率分布函数
1. 一维概率分布函数
对于一个随机变量 xn ,用 Pxn (x1 , n) 来表示它的概率分布函数，则有： Pxn (x1 , n) = 概率[xn ≤ x1 ]
如果 xn 的取值是离散的，则用 pxn (x1 , n) 来表示概率密度函数： pxn (x1 , n) = 概率[xn = x1 ]
图 3.1 抛硬币得到的随机样本序列 2) 随机信号可以用它的统计平均特征来表征。 虽然上述抛硬币实验所得到的随机序列在任何 n 点上都无法事先预料确定的结果，但人 们经过长期实践和深入研究之后发现，在大量重复实验或者观察下，它的结果会呈现某种规 律性。例如，抛同一枚均匀硬币，无法肯定下一次抛掷的结果，但多次重复抛掷后就回发现
随机信号有以下性质： 1) 随机信号中的任何一个点上的取值都是不能先验确定的随机变量。 以最简单的抛硬币实验为例，每次抛掷结果有两种可能的状态，一是硬币的正面朝上， 另一是硬币的反面朝上。如果把正面朝上用 x=+1 表示，反面朝上用 x=-1 表示，连续地抛掷， 可以得到一个由+1 和-1 组成的一个序列 x(n)，如图 3.1 所示。这个序列在任何 n 点上的取 值都是不能先验确知的，因此，我们称抛硬币过程所产生的是一个随机过程，抛硬币产生的 序列是一个随机信号（或随机序列）。显然，任何一个具体实验所得到的序列都只能是随机 序列的一个样本序列。
random signal）。因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合
随机信号或简称为随机信号。要区别干扰（interference）和噪声( noise)两种事实和两个概念。
非目标信号（nonobjective signal）都可叫干扰。干扰可以是确定信号，如国内的 50Hz 工频
n i =1
xi yi+m
(3-21)
【例 3-1】图 3.3 所示是随机产生的符合高斯分布的 100 点样本序列，并且均值为零，
方差为 1。讨论该信号的样本特征量。
图 3.3 一段 100 点的随机样本序列 我们用样本统计法来估计这一个样本的数字特征量，有：
∑ mˆ x
=
1 n
n i =1
xi
= 0.0479
对于一个随机信号，虽然我们不能确定它的每个时刻的值，但可以从统计平均的角度来 认识它。我们可以知道它在每个时刻可能取哪几种值和取各种值的概率是多少，以及各个时
间点上取值的关联性。因此，如果已经知道了它的概率分布，我们就认为对这个随机信号在 统计意义上有了充分的了解。而随机过程的各种统计特征量分别从各个侧面间接反映了概率 分布特性。